第三章 空間向量與立體幾何(時(shí)間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和|是()A.，B.，C.，D.，解析：選A.設(shè)P(x，y，z)是AB中點(diǎn)，則()(3，2，1)(1，0，4)，dAB|.2直三棱柱ABC­A1B1C1中，若a，b，c，則等于()Aabc BabcCabc D.abc解析：選D.如圖，bac.3平面的法向量u(1，2，1)，平面的法向量v(2，2，8)，若，則的值是()A2 B2C±2 D.不存在解析：選C.uvu·v02480±2.4在空間四邊形ABCD中，若向量(3，5，2)，(7，1，4)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為()A(2，3，3) B(2，3，3)C(5，2，1) D.(5，2，1)解析：選B.取AC中點(diǎn)M，連接ME，MF，則，所以(2，3，3)，故選B.5已知四面體ABCD的所有棱長都是2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點(diǎn)，則·()A1 B1C. D.解析：選B.如圖所示，所以··()×2×2cos 60°1，故選B.6在正方體ABCD­A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則與直線CE垂直的直線是()AAC BBDCA1D D.A1A解析：選B.以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)設(shè)正方體的棱長為1，則A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E，所以，(1，1，0)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，1)顯然·00，所以，即CEBD.7已知a3m2n4p0，b(x1)m8n2yp，且m，n，p不共面，若ab，則x，y的值為()Ax13，y8 Bx13，y5Cx7，y5 D.x7，y8解析：選A.因?yàn)閍b且a0，所以ba，即(x1)m8n2yp3m2n4p.又因?yàn)閙，n，p不共面，所以，所以x13，y8.8已知棱長為1的正方體ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1，則·的值為()A1 B0C1 D.2解析：選C.由于()()，而，則·()·()()2(22)1.9已知直線l的方向向量為n(1，0，2)，點(diǎn)A(0，1，1)在直線l上，則點(diǎn)P(1，2，2)到直線l的距離為()A. B.C. D.2解析：選A.過P點(diǎn)作PHl于H點(diǎn)，則，由n，可設(shè)n(，0，2)所以(1，1，1)(，0，2)(1，1，21)，由n，得12(21)0，解得.所以.因此點(diǎn)P到l的距離為|，選A.10在四棱錐P­ABCD中，(4，2，3)，(4，1，0)，(6，2，8)，則這個(gè)四棱錐的高h(yuǎn)()A1 B2C13 D.26解析：選B.設(shè)平面ABCD的法向量為n(x，y，z)，則，即，設(shè)y4，則n，所以cosn，所以h×22，故選B.11.如圖，將邊長為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，若點(diǎn)P滿足，則|2的值為()A. B3C. D.解析：選D.由題可知|1，|1，|.，45°，45°，60°.所以|2()2222···2×1×1×1××1××.12三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，且滿足：，則直線PN與平面ABC所成角取最大值時(shí)的值為()A. B.C. D.解析：選A.如圖，分別以，為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則P(，0，1)，N，(，1)易得平面ABC的一個(gè)法向量n(0，0，1)，則直線PN與平面ABC所成的角滿足：sin |cos，n|，于是問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，而，所以當(dāng)sin 最大時(shí)，最大所以當(dāng)時(shí)，sin 最大，為，同時(shí)直線PN與平面ABC所成的角取到最大值二、填空題：本題共4小題，每小題5分13已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為a，則·_解析：··|·|·cos，a×a×cos 60°a2.答案：a214在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A(1，2，0)，B(2，1，)，則向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為_解析：設(shè)平面xOz的法向量為n(0，t，0)(t0)又(1，3，)，所以cosn，因?yàn)閚，0，所以sinn， .答案：15點(diǎn)P是底邊長為2，高為2的正三棱柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，MN是該棱柱內(nèi)切球的一條直徑，則·的取值范圍是_解析：由題意知內(nèi)切球的半徑為1，設(shè)球心為O，則·()·()·()·|21.因?yàn)?|，所以·0，4答案：0，416如圖所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以ABC為直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，則AE_解析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(a，0，0)，B1(0，0，3a)，C(0，a，0)設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(a，0，z)，則(a，a，z)，(a，0，z3a)由，得2a2z23az0，解得za或2a，即AEa或2a.答案：a或2a三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分10分)如圖所示，在四棱錐M­ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱AM的長為3，且AM和AB，AD的夾角都是60°，N是CM的中點(diǎn)，設(shè)a，b，c，試以a，b，c為基向量表示出向量，并求BN的長解：()().所以abc，|22(a2b2c22a·b2a·c2b·c)，所以|，即BN的長為.18(本小題滿分12分)四邊形ABCD為矩形，PA平面ABCD，PAAD，M、N分別是PC、AB的中點(diǎn)，求證：MN平面PCD.證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)PAADa，ABb，則P(0，0，a)，D(0，a，0)，B(b，0，0)，C(b，a，0)，N，M，所以，(b，0，0)，(b，a，a)，所以·0，·0，所以，即MNPC，MNDC，又因?yàn)镻CDCC，MN平面PCD，所以MN平面PCD.19(本小題滿分12分)如圖所示，平行四邊形ABCD中，DAB60°，AB2，AD4，將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；(2)若點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，求直線AF與平面ADE所成角的正弦值解：(1)證明：在ABD中，由余弦定理，得BD2AB2AD22AB·ADcosDAB，即BD241616×12，所以BD2，所以BD2AB2AD2，所以ABD和EBD均為直角三角形，所以EDDB.又DB是平面EBD和平面ABD的交線，且平面EBD平面ABD，ED平面EBD，所以ED平面ABD.又AB平面ABD，所以ABDE.(2)由(1)知ABDCDB90°，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DC，DE所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，A(2，2，0)，F(xiàn)(，0，1)，所以(2，2，0)，(0，0，2)，(，2，1)設(shè)平面ADE的法向量為n(x，y，z)，則有即令x1，則y.又z0，所以n(1，0)設(shè)直線AF與平面ADE所成的角為，則有sin |cosn，|.20(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P­ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG4，AGGD，BGGC，GBGC2，E是BC的中點(diǎn)(1)求異面直線GE與PC所成角的余弦值；(2)若F是棱PC上一點(diǎn)，且DFGC，求的值解：(1)以G點(diǎn)為原點(diǎn)，GB，GC，GP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，(1，1，0)，(0，2，4)因?yàn)閏os，所以GE與PC所成角的余弦值為.(2)因?yàn)?，所以D.設(shè)F(0，y，z)，則(0，y，z).因?yàn)?，所?#183;0，即·(0，2，0)2y30，所以y.又點(diǎn)F在PC上，所以，即(0，2，4)，所以z1，故F，所以，所以3.21(本小題滿分12分)在ABC中，AB4，AC4，BAC45°，以AC的中線BD為折痕，將ABD沿BD折起，構(gòu)成二面角A­BD­C，在平面BCD內(nèi)作CECD，且CE，連接DE，AE，AC，如圖所示(1)求證：CE平面ABD；(2)若二面角A­BD­C的大小為90°，求二面角B­AC­E的余弦值解：(1)證明：由AB4，AC4，BAC45°，得BC4，所以ABC為等腰直角三角形，又D為AC的中點(diǎn)，所以BDAC.所以折起后BDCD.又CECD，所以CEBD，因?yàn)镃E平面ABD，BD平面ABD，所以CE平面ABD.(2)由二面角A­BD­C的大小為90°，ADBD，得AD平面BCD，由(1)知BDCD，于是以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC，DA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)F為AC的中點(diǎn)，連接DF，則DFAC，且DF2.因?yàn)镃ECD，AD平面BCD，所以CE平面ACD，所以DFCE，所以DF平面ACE.易求得BDCDAD2，所以D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2)，F(xiàn)(0，)所以平面ACE的一個(gè)法向量為(0，)又(2，0，2)，(0，2，2)，設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0，所以xyz，取n(1，1，1)為平面ABC的一個(gè)法向量所以cosn，根據(jù)圖形可知二面角B­AC­E的余弦值為.22(本小題滿分12分)如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE平面ABCD，BADADC90°，ABADCD1，PD.(1)若M為PA的中點(diǎn)，求證：AC平面MDE；(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn)Q(除去端點(diǎn))，使得平面QAD與平面PBC所成的銳二面角的大小為？解：(1)證明：如圖，在矩形PDCE中，設(shè)PC交DE于點(diǎn)N，則點(diǎn)N為PC的中點(diǎn)連接MN.在APC中，點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PC的中點(diǎn)，所以ACMN.又MN平面MDE，AC平面MDE，所以AC平面MDE.(2)由ADC90°，得ADCD，由平面PDCE平面ABCD，且平面PDCE平面ABCDCD，得AD平面PDCE，所以ADPD.在矩形PDCE中，PDCD，則DA，DC, DP兩兩垂直以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，所以(1，0，)，(0，2，)，(1，1，0)設(shè)平面PBC的法向量為n(x，y，z)，則，取n(1，1，)設(shè)直線PA與平面PBC所成角為，則sin .所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為.(3)假設(shè)存在點(diǎn)Q滿足條件，則可設(shè)(0<<1)，得Q(0，22，)又(1，0，0)，(0，22，)，設(shè)平面QAD的法向量為n1(x1，y1，z1)，則由，令y1，則n1(0，22)由平面QAD與平面PBC所成的銳二面角為，得cos ，所以或1(舍去)，所以所求點(diǎn)Q為線段CP上靠近點(diǎn)C的一個(gè)三等分點(diǎn)，即在線段PC上存在點(diǎn)Q滿足條件12