1.7.1 定積分在幾何中的應(yīng)用 1.7.2 定積分在物理中的應(yīng)用 [A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)] 1．曲線y＝x3與直線y＝x所圍成圖形的面積等于(　　) A.(x－x3)dx　　　　　　 B.(x3－x)dx C．2(x－x3)dx D．2(x－x3)dx 解析：選C.由求得直線y＝x與曲線y＝x3的交點(diǎn)分別為(－1，－1)，(1，1)，由于兩函數(shù)都是奇函數(shù)，根據(jù)對稱性得S＝2(x－x3)dx. 2．已知自由落體運(yùn)動的速度v＝gt(g是常數(shù))，則做自由落體運(yùn)動的物體從時刻t＝0到t＝t0所走的路程為(　　) A. B．gt C. D. 解析：選C.由定積分的物理意義，得所走的路程為s＝gtdt＝gt2＝gt. 3．如圖所示，陰影區(qū)域是由函數(shù)y＝cos x的一段圖象與x軸圍成的封閉圖形，那么這個陰影區(qū)域的面積是(　　) A．1 B．2 C. D．π 解析：選B.這個陰影區(qū)域的面積是S＝－ cos xdx＝2. 4.如圖中陰影部分的面積是(　　) A．e＋ B．e＋－1 C．e＋－2 D．e－ 解析：選C.陰影部分的面積S＝(ex－e－x)dx＝(ex＋e－x)|＝e＋－2. 5．由曲線y＝x2，y＝x3圍成的封閉圖形面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.作出曲線y＝x2，y＝x3的草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積． 解方程組得曲線y＝x2，y＝x3交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝0及x＝1. 因此，所求圖形的面積為S＝(x2－x3)dx＝|＝－＝. 6．若1 N的力能使彈簧伸長2 cm，則使彈簧伸長12 cm時克服彈力所做的功為________． 解析：彈簧的伸長與所受到的拉力成正比，設(shè)F＝kx，求得k＝50，所以F(x)＝50x， 所以W＝50xdx＝25x2|＝0.36(J)． 答案：0.36 J 7．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，則過C，M，D三點(diǎn)的拋物線與CD圍成的陰影部分的面積是________． 解析：由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， D(2，1)，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，則p＝，所以y＝±，所以S＝2dx＝2××x|＝. 答案： 8．如圖，已知點(diǎn)A，點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0)在曲線y＝x2上，若陰影部分面積與△OAP面積相等，則x0＝________． 解析：由題意得x2dx＝××x0，即x＝x0， 解得x0＝. 答案： 9．求由拋物線y2＝8x(y＞0)與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成圖形的面積． 解：法一：由解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，如圖，所以所求面積為A＝dx＋(6－x)dx＝2×x|＋|＝×2＋(36－18)－(12－2)＝. 法二：由 解得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)，如圖，所以所求面積為 A＝dy＝| ＝24－8－×43＝. 10．A、B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車開出t s后到達(dá)途中C點(diǎn)，這一段的速度為1.2t m/s，到C點(diǎn)的速度為24 m/s，從C點(diǎn)到B站前的D點(diǎn)以等速行駛，從D點(diǎn)開始剎車，經(jīng)t s后，速度為(24－1.2t) m/s，在B站恰好停車，試求： (1)A，C間的距離； (2)B，D間的距離． 解：(1)設(shè)A到C的時間為t1s，則1.2t1＝24，解得t1＝20.則AC＝1.2tdt＝0.6t2|＝240(m)． 即A，C間的距離為240 m. (2)設(shè)D到B的時間為t2 s， 則24－1.2t2＝0，解得t2＝20， 則BD＝(24－1.2t)dt＝(24t－0.6t2)|＝240(m)． 即B，D間的距離為240 m. [B　能力提升] 11．如圖，求由曲線y＝－x2，4y＝－x2及直線y＝－1所圍圖形的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.由圖形的對稱性知，所求圖形面積為位于y軸右側(cè)圖形面積的2倍． 法一：由得C(1，－1)．同理得D(2，－1)． 則所求圖形的面積 S＝2 ＝2 ＝2 ＝. 法二：同法一得C(1，－1)，D(2，－1)．則所求圖形的面積為S＝2(2－)dy＝2dy＝2××(－y)|＝. 12．過原點(diǎn)的直線l與拋物線y＝x2－2ax(a>0)所圍成的圖形面積為a3，則直線l的方程為________． 解析：設(shè)直線l的方程為y＝kx， 由得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，(2a＋k，2ak＋k2)，圖形面積 S＝[kx－(x2－2ax)]dx＝|＝－＝＝a3， 所以k＝a，所以直線l的方程為y＝ax. 答案：y＝ax 13．求正弦曲線y＝sin x與余弦曲線y＝cos x與直線x＝－，x＝圍成的圖形的面積． 解：如圖，畫出y＝sin x與y＝cos x在上的圖象，它們共有三個交點(diǎn)，分別為， ，. 在上，cos x>sin x， 在上，sin x>cos x， 所以所求的面積S＝ (cos x－sin x)dx＋ (sin x－cos x)dx＝2 (sin x－cos x)dx ＝－2(sin x＋cos x) ＝4. 14．(選做題)如圖，設(shè)點(diǎn)P在曲線y＝x2上，從原點(diǎn)向A(2，4)移動，記直線OP與曲線y＝x2所圍成的圖形的面積為S1，直線OP、直線x＝2與曲線y＝x2所圍成的圖形的面積為S2. (1)當(dāng)S1＝S2時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)當(dāng)S1＋S2有最小值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和最小值． 解：(1)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(0<t<2)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(t，t2)，直線OP的方程為y＝tx. S1＝(tx－x2)dx＝t3， S2＝(x2－tx)dx＝－2t＋t3. 因?yàn)镾1＝S2， 所以t＝.點(diǎn)P的坐標(biāo)為. (2)令S＝S1＋S2＝t3＋－2t＋t3 ＝t3－2t＋， S′＝t2－2， 令S′＝0得t2－2＝0. 因?yàn)?<t<2， 所以t＝， 因?yàn)?<t<時，S′<0； <t<2時，S′>0. 所以當(dāng)t＝時，S1＋S2有最小值－，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，2)． 7