專題2.5錐曲線題組一、圓錐曲線中的直線問題1、（2022江蘇南京市高淳高級中學(xué)高三10月月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Qy中，橢圓E： + p- = l（Z>Z?>0）的離心率為奪，上頂點A到右焦點的距離為.過點研o,m） （m"0）作不垂直于尤軸，y軸的直線/,交橢圓E于P, Q兩點，C為線段PQ的中點，且AC1OC.D（1）求橢圓E的方程;(2)求實數(shù)秫的取值范圍;S 8(3)(3)延長AC交橢圓E于點3,記破與AAOC的面積分別為52,若矽=§，求直線/的方程.【解析】 【分析】（1）由橢圓的離心率可得q = J赤，由上頂點A到右焦點的距離為扼可得。值，從而可求得橢圓方程;?= (1 -2m) (2/71 -2),由 x()2>0 即可求得 m（2）利用點差法及直線垂直的關(guān)系，即可求得此=2”- 1, &的取值范圍;4xoyo設(shè)3點坐標(biāo)，代入橢圓方程，根據(jù)直線的斜率公式即可求得根據(jù)三角形的面積公式,即可求得m的值，從而可得直線AB的方程;【詳解】（1）由橢圓的離心率e【詳解】（1）由橢圓的離心率e,則由上頂點A到右焦點的距離為J萬,a 2r2即。逐，"* = 1,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：疽喜1；/4、31+ 2 好+T2+3好40儂2+1)4(號+ 2) 16寸(號+ 2) 16壽 號+ 2 6也 所以 ABEF2= 2 + 3 好妙+1因為厚仁0, +00),所以ABEF,1綜上，ABEF，1N = 1（q50）上，點刀在第一象限,1- 3、（2022 江蘇如皋中學(xué)高三10月月考）己知點4 8在橢圓% +CC。為坐標(biāo)原點，且OA±AB.（1）若a = Rb = ,直線04的方程為工3y = 0,求直線QB的斜率;（2）若Q4B是等腰三角形（點。，A, 8按順時針排列），求° 最大值.a【解析】r2由得橢圓方程為亍牛.9x 21耳r，得，x-3y = 0,3尤=2I y = 一I 2或，3x=-p1 y = 一一2(3 1)因為點刀在第一象限，所以A .<2 2/XOAA.AB,XOAA.AB,所以直線方程為y5 = 3所以直線方程為y5 = 33)x 2JABx+寸=1,得. 3x + y 5 = 0,+寸=1,得. 3x + y 5 = 0,121或<127>1所以直線OB的斜率為加g =-j- = - T（2）法1：設(shè)直線Q4的斜率為k（k>0）,則直線AB的斜率為-L. k因為OAB是等腰直角三角形（點O, A, 8按順時針排列），所以設(shè)24（工,凹）,8（花,、2），（茶>°，乂 >°，茶 <花）.又OA = AB,所以+ *得M =所以y =x2-x,即氣=羽+ Vi又由。曲AB,得*xW = T所以力FF22=1上,=1上,因為點人（氣，乂），3（工1+乂，乂 一為）在橢圓； cT b22旦+ J / b2 ，（M + yj2 +（乂而）222旦+ J / b2 ，（M + yj2 +（乂而）2a2b2=1,k _ （玉 +M）2 （乂一叫）2十屏 +F-h2整理得屏2_2（疽_屏所以 = 4人2 ） 4。2 0 ,即（疽 _ 屏 + 瀝）（口2 屏 _ 瀝）.0 .因為疽項+汕。,（A A2bH1” 0，a所以疽屏_。如0,艮|J -"當(dāng) k=-當(dāng) k=-d=P=T時,'取最大值婦2b2法2：設(shè)直線Q4的斜率為k（k>0）,傾斜角為6>（0°<6»<90°）.因為是等腰直角三角形（點O, A, 8按順時針排列），且OA1AB,所以直線QB的斜率為灼=tan （。- 45。）或kOB = tan （。+135。）.設(shè)A（m，m）, 8（花況），3>。雙>。,茶工2）.由土得"a2 b2由k-y =x,1 +上X2尸 信 屏+疽a2b22Z?2(1 + C)2+q2(i 一幻2怎1V又OB = iOA，所以2OA2 = OB2,得2(1 + V)x12 =(k 1a2b2(l + k)2+ k) b2(l + k)2+a2(k-l)2 整理得以2 +2（屏一疽）# +。2 = 0,所以 = 4 (屏/ )2 4以2. 0 ,即("屏)2 _ a2b2 ° , 所以(q Z? + /?) (q b cib. 0.因 Ja2-b2+ah>0,< a>2 b 所以a2-b2-ab.O,即- 所嶺旦當(dāng)陣一蘭*書平時，5取最大值斜 題組三、圓錐曲線中的定點、定值問題2- k (2022 -南京9月學(xué)情【零?！?(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，橢圓C： /+/?2=1(。/?0)的左，右頂點分別為A, B.尸是橢圓的右焦點，AF =3而 AF FB=3.(1) 求橢圓C的方程；不過點刀的直線/交橢圓。于A/, N兩點，記直線/, AM, 4V的斜率分別為奴k, k2.若A(婦+句=1, 證明直線/過定點，并求出定點的坐標(biāo).【考點】圓錐曲線中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系：定點問題【解析】由題意，知 A(-a, 0), B(q, 0), F(c, 0).因為石 =3而，無聲=3,q+c=3(qc),所以i(o+c)(Q c)=3, 2 分Q 2解得c=,從而朋=。2 2 = 3.22X_ ?所以橢圓C的方程4 + 3 = 1.4分設(shè)直線/的方程為y=kx+m, M(xi9 yi), Ng 貝).因為直線/不過點4 因此一2+初頭0.(22由 4 + 3I，得(3+4|2)：+8饑乂+4秫2_2=o.y=k-m, 8km 4m212則xi+x2 = 3+* xi*2= 3+4® 6 分.I .22 如 X2 + (2k+m)(xi+x2)+4i所以 &1+*2=X+2+x2 + 2=XX2 + 2(X1 +X2)+ 44話一128km2必 3+法 +(2t+m)3+4+4m= 4矛一128/an3+4® +2?+4®+412（m2 幻3=4（初2_4饑7+4必）=7_2人由 *（肌+比2）=1,可得 3*=m2七 BP m 5k. 10 分故/的方程為y=kx+5k,恒過定點（一5, 0）. 12分223-2、（2022 江蘇如皋期初考試）已知雙曲線：二-土 = 1（q>0,/?>0）的焦距為4,直線/：x my-4 = 0a b（meR ）與交于兩個不同的點。、E,且m = O時直線/與的兩條漸近線所圍成的三角形恰為等邊三角形.（1）求雙曲線的方程；（2分）（2）若坐標(biāo)原點。在以線段OE為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)2的取值范圍；（4分）（3）設(shè)A、B分別是的左、右兩頂點，線段的垂直平分線交直線于點P,交直線AO于點Q,求證：線段PQ在工軸上的射影長為定值.（6分）【考點】雙曲線的綜合應(yīng)用：求標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系應(yīng)用【解析】（1）當(dāng)m = O直線l:x = 4與C的兩條漸近線圍成的三角形恰為等邊三角形，由根據(jù)雙曲線的性質(zhì)得，A21% = tan2 3（r=k又焦距為4,則疽+屏=4,a232解得Q = g, b = l,貝IJ所求雙曲線的方程為£ 一 ）,2=1.3匚2=1（2）設(shè) £>（知乂），頊尤2況），由 < 3 ' ，得（m2-3）j2+8m + 13 = 0,x-my-4 = 013則 乂 +力=，乂力= 一，且 = 64如2-52（秫2一3） = 12（"廣 + 13）>。，3 _ mm _ 3又坐標(biāo)原點。在以線段DE為直徑的圓內(nèi)，則ODOE<0即+<0,即g + 4）0力+ 4） +泌v 0 ,即4次凹+ %）+ （冰+ 1）凹力+16 v 0 ,血 13廠+138m 八 nn 3m 35 八 麗 k -f* rr貝U z+ 16v0, 即<0 , 貝IJ3 vm 或z<-j3 ,廠 一3_3_3即實數(shù)，的取值范圍m e （-8,-右,）U （右,+8）（3）線段戶。在尤軸上的射影長是|設(shè)Q（%Vo），由（1）得點B（V3,0）,又點P是線段8D的中點，則點p（血號），直線的斜率為一 ，直線A。的斜率為一土房，又BD上PQ ,x0 a/3x0 +v3則直線PQ的方程為y-21 =足近3-山1）,即 > =吏二虻+ 土 + 4,%2見 2%2又直線AQ的方程為尸;3 +構(gòu)，聯(lián)立方程，右_工0工|工（）2_3 | y°%2y°2a/3 +氣z zz?消去y化簡整理，得（右-x°M+五+站=旦（尤+右），又2=泣_1,22Xo+/33代入消去虹，得（右-尤0）工+ 2（"' =&（尤0-后）（工+右）,即 _x+200+右）= 右則 x=2x°+0,2 34即點。的橫坐標(biāo)為*則|七-劃=血*-勁* =¥4244故線段PQ在工軸上的射影長為定值.3-3. 2022-廣東省廣州市10月調(diào)研】己知拋物線C:x2=2py（p>0）的焦點為/點A（2,y°）在。上，|AF|=2 .（1）求P;（2）過g作兩條互相垂直的直線ZP/2,，與C交于M,N兩點，£與直線y = -i交于點P，判斷ZPMN + ZPNM是否為定值?若是，求出其值；若不是，說明理由.7T 【答案】（1），= 2； （2）是定值，ZPMN + ZPNM =-.2【解析】【分析】（1）由題知4 = 2py° 口,由焦半徑公式得AF = 2 = y.+ ,兩式聯(lián)立即可求得答案；（2）先討論當(dāng)直線«與%軸平行時得ZPMN + ZPNM =-,再討論當(dāng)直線，與工軸不平行且斜率存在時,證明PM A.PN ,再設(shè)方程，聯(lián)立方程，禾ij用向量方法求痛.前=o即可.【詳解】解:（1）因為點A（2,%）在。上，所以4 = 2 ，因為俱日=2,所以由焦半徑公式得|Ag| = 2 = y°+f ,由解得 = 1, = 2所以P = 2.（2）由（1）知拋物線的方程為r=4y,焦點坐標(biāo)為F（O,1）,當(dāng)直線4與X軸平行時，此時，2的方程為工=0，的方程為y = l，M（2,1）,7V（2,1）,P（O,1）,此時71初VP為等腰直角三角形且PM JLPN ,故ZPMN + ZPNM =-.27T 當(dāng)直線4與x軸不平行且斜率存在時，若ZPMN + ZPNM為定值，則定值比為一，下面證明.271要證明匕PMN +匕PNM =一,只需證明PM A_PN ,2只需證pm _LPN 即 PM PN = O9設(shè)直線，的斜率為k,則直線4的方程為: =奴+ 1,直線£的方程為y = -Lx + l,k聯(lián)立方程_4 得工2-4奴一 4 = 0，設(shè)肱3，1）,2（工2，2），則X+工2 =4*2 =4,所以 乂力=（*“2）=, 乂+夕2 =*（工1+易）+ 2 = 4摩+2 ,161 y x +1/ ,、聯(lián)立方程<k得P（2奴1）,y = -1->>所以皿=0_2奴乂+1）,戶' =32_2化+1），所以 -/W = （1-2）（x2-2） + （ji+1）（2+1）=而尤2 2k（M + 花）+4k + 乂，2 + （ 乂 + %） +1 = -48砂 + 4亍 + +4比之 +2+1 = 0,所以 PM ± PN，即 PM J- PN ,71所以 ZPMN + ZPNM =-.271綜上，ZPMN + ZPNM 為定值，ZPMN + ZPNM =-.2題組四、圓錐曲線中的探索性問題3- k （2022 武漢部分學(xué)校9月起點質(zhì)量檢測）（12分）x2 y2也己知橢圓E： /+朋=1(。方0)的離心率為2，點刀(0，1)是橢圓8短軸的一個四等分點.(1) 求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)過點A且斜率為k的動直線與橢圓E交于M, N兩點，且點B(0, 2),直線BM, BN分別交OC：?2x+(y1)=1于異于點8的點P, 0 設(shè)直線的斜率為昭，求實數(shù)刀 使得比2=Mi恒成立.【考點】圓錐曲線中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓與直線的位置關(guān)系：與斜率相關(guān)的恒成立問題【解析】人_(_1)(1) 由題意，(1)(3)=3,解得 b=2,c a/2 音 19設(shè)橢圓半焦距為c,貝場=2，即1決=公解得。 = 8.22X V .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為錄+ 4 = 1.4分設(shè)M(xi, /), Ng 貝)，P(xp, yP), 0知，網(wǎng))，直線肋V方程為y=Sxl.方法一："222直線方程為y= X x+2,與x +(y1) =1聯(lián)立.22 2得(xi +(yi2) )x +2xi(yi2)x=0._2xi(yi2)由E0,解得為=也2+3_2)2xi2 y2_2xi(yi_2) 2為又百+4=1,即x/ = 82乃2,代入上式，得樣=2(4-仍+一?)?，+，力一216yp= x x+2=4y+6.2為 162*216即點F偵+6，4 *+6), 同理'點Q(y2 + 6? 4 一貝 + 6)1616 )必一VO 4yi + 6_(4+6)8(yi 2)*2 Xp_XQ _2'2x2=Xy2_X2P1 +6xi_6x2.*1 + 6 火 + 6將yi=*ixi 1, yi=kX2 1 代入上式,%(xi乂2) 8比 i(x.2)得 =Xl(kX2 1) X2(kX 1) + 6(x1 X2)= 5(X1X2).7 8即 k2=sk, /.2=5，.12 分方法二：4ir2X1+X2 = 22_ 22<y=kx 1 與§"+ 4 = 1 聯(lián)立得：(2比i +l)x 4Sx6=0,貝j)6 .嚴(yán)=弄？yi2 ,2 2 kx3 kx33(xi +%2)kBMkBN= Xi + X2 = X2 =2*1 X1X2 =44y2y22 (kixi 3)(iX23) k2xX23ki(x +%2)+ 9 kBMkBN= Xi X2 = Xl%2=%1%26岸一12 婦 2 + 9(2妒+1)3= -2.2222設(shè)直線 P。方程為y=A：2x+，與x +(y 1) =1 聯(lián)立得：的 +l)x +2比2。一 l)x+r(L2)=0.2偵，一1)XpXQ 一1則 <e2)¥。=號+1yp一2 yQ一2 kzxp+1一2 kXQ-Vt_2(/_2)(xp+x。)kBP kBQ= 樣 + X。= xp + xo =2暇+ xpXQ2&2(Z2)(，一 1) 2七=2k2 -仃_2)=yp2yQ2 (左2樣+，2)(上2工。+，一2) kxpXQ-k2(t2)(xq+xq) + (，一 2)。 kBpkBQ= xp XQ =XpXQ=XpXQkt(t2) 2k(t2)(/ 1) + (幻2 +1)(72尸 k；t2k(t 1) +1)。一2) t2=t(t_2)=i=T.22 r 4kBMkBN= kBp + kBQ< 牧一fI t=5由、/mkBN=kapkBQ，即 3 t_2,解得 8 -2=T修2=孫8 A2=5.12 分4-2、4-2、（202b深圳市龍崗區(qū)平岡中學(xué)高三月考）在平面直角坐標(biāo)系尤Qy中，已知橢圓C:y += 1(Q >/?()的右頂點為A(2,0),且其兩個焦點與短軸頂點相連形成的四邊形為正方形.過點T(r,0)(-2<f<2)且與工軸 不重合的直線/與橢圓C交于P，Q兩點.(1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)FQ的中點為M ,試判斷是否存在實數(shù)，使得呼為定值.若存在，求出，的值，并求出該 定值；若不存在，請說明理由.r2 v22【答案】(1) 土 +匕=1； (2)存在，t = ；, 0.3 23【分析】(1) 由題可得。=2, b = c,結(jié)合a2 =Z?2+c2可求；(2) 可得AM2- = AP AQ,設(shè)出直線FQ方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理表示出麗禎，可得4后.禎/一2岬-2),即可得出定值./?r + 2【詳解】(1) .由題意可知，。=2,且b = c,又因為屏=屏+2 ,解得b = c =也，所以橢圓C的方程為+=422(2) .因為M是PQ的中點，故AM? 一號_ =出諾2一心戶2=(而訂+祐).(禎一祐)=后.血，由題意可知，直線PQ的斜率不為0,設(shè)PQ：x = "y + 4m£R,，c(-2,2)f 22% + 匕=1與橢圓C的方程聯(lián)立，42 ,消去X,整理得(麻+2”2+2舟，+產(chǎn)_4 = 0,x = my-t設(shè)戶(知乂)，Q(花,力)，乂 +力=一y況=壬§m +2m +1因為 A(2,0),所以后=(而 一2涵)=(咐+s2,yj , AQ = (my2+t-29y2),則 AP AQ = (my +/-2)(my2+r-2)+= (/?r 4-l)y2+ m(/-2)(y1 + 2) + (/-2)2,將"y-半?，壯=與代入上式，整理得而.禎=(一2?(3；2),m+2m +2廣+2 2若對任意meR, APAQ為定值，貝t = 2或/ = §，（2）由 A（O,1）,設(shè)尸（“1）,。（易見），。（劣0，%），且M更花，由p, Q在橢圓上，Xj2 + 2yf = 2 ,尤；+ 2y； = 2 ,2x0=x +x2 , 2% = 乂 + 力，兩式相減得：號咔=-!兩式相減得：號咔=-!,由 q = Qx2 一 玉 x0則乂逃二號，整理得：Xg =2y0（m-y0）,*o *0 Z則乂逃二號，整理得：Xg =2y0（m-y0）,*o *0 Z由 AC-LOC,則業(yè)二 x4 = 1,整理得：蚌=%（1 y°）, 玉） 玉）由解得：允=2秫一1,=（l-2m）（2m-2）0,解得:-<m<l,2m的取值范圍:m的取值范圍:S，i）；（3）設(shè)8（七,力），由B在橢圓E上，x；+2y；=2,（3）設(shè)8（七,力），由B在橢圓E上，x；+2y；=2,由AC項C,則%1 = 一】，即為=片”'4x0y0代入上式消去為，5=芥覆，AO忍.AO5No + 2尤0所以m =2由（2）可知：y（）=2m_l,=（l-2m）（2m-2）0,4（2m-l）4（2m-l）2+2（l-2m）（2/n-2）3-2mS243-2m由¥=?，即解得：m=rS2 33-2/7? 34此時 = 2m-1 = ,=（l-2m）（2m-2）=,解得：x0 = ±,（1 1）r 3）± ,Do,_I 2 2 JI 4 J此時c點坐標(biāo)因為偵-2,2),所以f = |，此時網(wǎng)2-(= APAQ = O口直線方程為 > =上尤+ 2或）=_1尤+。.24241-2. 2022-廣東省深圳市外國語學(xué)校第一次月考10月】已知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點，且以直線x + my-y/2 =0 （mUR）所過的定點為一個焦點，過右焦點凡且與x軸垂直的直線被橢圓。截得的線段長為2.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；.（1）設(shè)點4 3分別是橢圓C的左、右頂點，P,。分別是橢圓C和圓。必+ y2=2上的動點（P, Q位于軸兩側(cè)），且直線與工軸平行，直線0P, 8尸分別與y軸交于不同的兩點N,求證口。"與0V所在的直線互相垂直.【答案】(1)22土 +匕=1； （2）證明見解析.42【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，得到a2-b2= 2和坦 =2,聯(lián)立方程組，求得。/的值，即可求解;a（2）設(shè)P（x°,y°）,0知y°）,得到直線AP,BP的方程,求得M（0,生）和N（0,二坐），得到 玉）十Z玉）_ Z亟=（F'景）和或=E一浩）結(jié)合向量的數(shù)量積，即可求解【詳解】（1）由題意，直線a: + my - V2 = 0過定點（即橢圓。的一個焦點為（扼,0）,22設(shè)橢圓C:與+與=1（胃10）,則/_屏=2,a b因為過右焦點凡且與x軸垂直的直線被橢圓。截得的線段長為2,可得坦 =2,即屏=q,a聯(lián)立方程組，可得Q = 2,bK，22所以橢圓。的方程為土 +匕=1.4222(2)由(1) 0 + = 1,可得 A(2,0),8(2,0),4222設(shè)尸(劣0，為)，0而，為)，則+ = 1 云+對=2,且為莉，42則直線 如 的方程為)=c(' + 2),則M(0, 2° ),x0 + 2% + 2直線8戶的方程為' =壺云(工一2),則N(0,),氣-2氣-2所以 QM-(F,蘭 一 光 ) = (-X.,-主%),QN =(F ,己¥ f)=(-"主京，工。_ 2x0 -2所以亟函=蚌+尊=2-貴+住竺共=0，"4-2所以QM 1QN ,即0W與。N所在的直線互相垂直.j; xX1-3. (2022 -湖南省雅禮中學(xué)開學(xué)考試)(12分)已知橢圓C：屏+予=1(q>/)>0)的焦距與橢圓§+寸=1的焦 距相等，且。經(jīng)過拋物線y=(xlf+皿的頂點.(1) 求。的方程；若直線y=kx+m與C相交于，B兩點，且4 8關(guān)于直線/： x+(y+l= 0對稱，O為C的對稱中心，V10且403的面積為3 ，求*的值.【解析】2122n+=i2£ £由題意：匕2 解得：。=4, b =2,所以C的方程為4 + 2 = 1;b =2因為直線y=kx+m與。相交于/, 8兩點，且刀，8關(guān)于直線/： x+l= 0對稱， 所以k=t,y=kx-m<22222聯(lián)立匕 E ，可得(k+2)x -2kmx-m 4 0,4 + 2 = 1設(shè)A(x, yi), Bg 貝)，A3 的中點為P(x(), yo),kmkm2mKiJA=8(2+4m2)>0, x()=必+2, y()=)tx()+m=+2,Jcfyi 2kin因為F(xo, yo)在直線/： x+ky-V 1 =0 _h,所以一F+2+F + 2+】=°'24-即m =(左+£),所以=8(羅一«)>0,即好>2,L2寸2(> + 1)(2)(F+l)所以|,囹=。/+1尸+ 2|m|P + 2則。到直線AB的距離4=、片=崩有1所以5砧08=刃4可。=21所以5砧08=刃4可。=22(F_4) Vio之l3 ，解得：k =3, k=3.1-4、(2022 江蘇南京市中華中學(xué)高三10月月考)(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓。1的中心為坐標(biāo)原點。，焦點在X軸上，右頂點刀(2, 0)到右焦點的距離與它到右準(zhǔn)線的距離之比為尋.(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；若泌N是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩點，設(shè)R4, 0),連接皿交橢圓。于另一點E求證：直 線NE過定點B,并求出點8的坐標(biāo).【解析】X2 y2(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/+屏=l(Q>/)>0),焦距為2c,由題意得，。=2,a_c c j_由口2= q = 2,可得 C 1 ,云-。則 b2 a2c2 39£所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為彳+3=1;(2)證明：根據(jù)對稱性，直線灌過的定點8定在*軸上,由題意可知，直線 W 的斜率存在，設(shè)直線PM的方程為；=處+4),丁=件+4)< 222222聯(lián)立JL ，消去 v 得到(4A： +3)x +32Z: x+64F12 = 0,4 + 3=1設(shè)點 M(xi, yi), Eg 以)，則 N(x, -yi),.32 化 6412所以 X1+X2=4F + 3, XX2= 4F+3 ,>2+l所以 NE 的方程為 v-P2=X2 X1(X、2),V2(X2Xl)令)= 0,得X=X2=貝+個 ，將=槍1+4),貝=伯2 + 4)代上式并整理，2X1X2 + 4(X1+&)得 X= X1+X2 + 8，22(128k 24)128左整理得，x=_32F +(24+32F)= 1，所以直線*與工軸相交于定點8(1, 0).221-5、(202b廣東華僑中學(xué)高三月考)已知橢圓C：二+ 2v = i(q">0)的左右頂點分別為A” A2,右焦點 a b(3、為(1,0)，點B 1,-在橢圓上.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線/： y = k(x-4)(k0)與橢圓C交于N兩點，已知直線&W與AN相交于點G ,證明：點G在定直線上，并求出此定直線的方程.22【答案】普=1；I(2)證明見解析，定直線的方程為:nl.【分析】屏=1 + /(1)由題意知:<12即可求出1力即可;上+ J屏b2(2)由橢圓對稱性知G在工=氣上，由特殊點求出=1,再求出一般性也成立即可.【詳解】 解:（1）0為E（1，O）,所以 c=l,W =1 + K由題意知：2 ，解得,+4 = 1a b22則橢圓的方程為虧嚀T.（2）由橢圓對稱性知G在”氣上，假設(shè)直線/過橢圓上頂點，則M（0,V3）,則上=一巫，而N4則上=一巫，而N4A," ： * =歹（* + 2），、： y = 一（, 一 2）,其交點g"，¥A," ： * =歹（* + 2），、： y = 一（, 一 2）,其交點g"，¥所以G在定直線x=l上;當(dāng)以不在橢圓頂點時，設(shè)"（今弟部店況），y = k（x-4）疽 >2，整理得:（3 + 4k2） x2 32k2x+（Ak2 12 =。,32Z?64爐12聲7'*/ 3 + 泌，如：* =如：* =氣+2（才+ 2），么x"f，當(dāng)E時，羽+2邑2'3k（X _ 4）_ k （勇 _ 4）3k（X _ 4）_ k （勇 _ 4）得 2X|X2 5（X +w ） + 8 = 0,得 2、" - C得 2、" - C+ 8 = 0,上式顯然成立, 所以G在定直線x=l上.題組二、圓錐曲線中的最值與范圍問題2.1、（2022 江蘇第一次百校聯(lián)考）（本題滿分12分）x2 y2y2 x28（2, 0）. P8（2, 0）. P如圖，己知橢圓Ci： 4 + 3=1，橢圓C2： 9 + 4 = 1刀（一2, 0）, 為橢圓C2上一動點且在第一象限內(nèi)，直線網(wǎng)，P8分別交橢圓G于E, F兩點，連結(jié)時交x軸于。點.過B點作8"交橢圓G于G,旦BH/R4.(1)求證：直線GF過定點，并求出該定點；1(2)若記B。點的橫坐標(biāo)分別為Xp, XQ,求初+公。的取值范圍.【解析】yoB) yo2 xo2(1) 證明：設(shè)P(xo, yo),則A兒=&+2，kpB=x°_2,且 9+彳=1，9則 kpA kpB= 一4，即 kBF kBG= 42 分當(dāng)直線GF的斜率存在時，設(shè)GF的方程為y=k(x_t)好0),y=k(xt),則3孩+4卜2=12,代入消元，得(4好+3)*8洗x+4妁212=0心0),22 28k t4k t 12設(shè) G(xi,乃)，F(xiàn)(X2, V2)，則Xl+X2 = 4*2_3, X X2= 4 + 3 義 糜 99由 kBF kBG=x_2 X2_2=& 得4R2 160+16®=一彳，2約去好，并化簡得f 3/2 = 0,解得，=1(，=2不符合題意，舍去). 5分當(dāng)直線G尸的斜率不存在時，設(shè)G尸的方程為x=m,9利用kBF kBG= 4，可解得m= 1.綜上.直線G尸過定點(1, 0).6分解：設(shè)網(wǎng)的方程為*=肌(工+2)(化0),y=k(x-2),6 8 妒127則3x2+4j2=12,解得點坐標(biāo)為(4妒+ 3, 4岸+ 3)北)4(1 xo) 一 2o由加=&+2，則E點坐標(biāo)為(xo4，&_4)82 6 2灼同理，記 如斜率為k,則尸點坐標(biāo)為(4妍+3, 4牛2+3).No4(xo+1) 2yo由kz=xo2,則義點坐標(biāo)為(&+4，xo+4)-8分3(+灼) wo則 EF 的斜率為 kEF= 3 _4礎(chǔ)2 = 2(x()2_4)'2劉 呵0 4(xo _ 1)所以直線EF的方程為y+xo2 = 2(x()24)工+4 10分_4令y=0,得x=萬.12112則 xp 22=xo -xo=> 當(dāng)且僅當(dāng) xo=xq> 即 xo=y2 時取等號其中 0Vx（）V2,1所以xp-2xQ的取值范圍是2皿，+oo）.12分 2-2., (2022 -江蘇如皋期初考試)已知。為圓(x+1)2+/=12的圓心，P是圓。上的動點，點M(l,0),若線 段MP的中垂線與CP相交于Q點.(1) 當(dāng)點P在圓上運動時，求點Q的軌跡N的方程；(4分)過點(1,0)的直線/與點。的軌跡N分別相交于4,8兩點,且與圓O：x2+y2 = 2相交于兩點，求ABEF 的取值范圍(8分)【考點】軌跡方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系應(yīng)用【解析】由題意知峋是線段刀戶的垂直平分線，所以 |CP| = |OC| + |OF| = |OC| + |04| = 2 0>|(京 | = 2, 所以點。的軌跡是以點G刀為焦點，焦距為2,長軸長為2右的橢圓， X2 A?所以a=y/3 , C=l, b=a1c1= 41 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為§+2 = 1.(1) 由(1)可知，橢圓的右焦點為(1, 0),若直線/的斜率不存在，直線/的方程為x=l,(2皿 ( 2皿則從1, 3 J，曲，一3 > 頊1,1)，F(xiàn)(l, -1),4出16*所以AB= 3 , |最平=4, |刀8|曷平=3. 若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為* =處一1), /(" J1), 5(X2, *2)V已J 3 + 2 = 1，聯(lián)立可得(2+3好)好一6*c+3好一6 = 0,，=輪一1),6好3好一6則 xi+x2=2 + 3好，xiX2 = 2 + 3®， / J 6A2 3號一6 4皿(+1)所以 AB =/(1+Z:2)(xi-X2)2=AJ (1 + 好)|_(2 + 3好犬_4、2 + 3號_|= 2 + 3 時( F ) 4(-+ 2)因為圓心0(0,0)到直線,的距離刁=歡茸所以I時|2=«2一比2+J=好+,