標(biāo)準(zhǔn)仿真模擬練（一）(120分鐘150分)第卷一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合要求的)1.已知集合A=(x,y)|x,yR,且x2+y2=1,B=(x,y)|x,yR,且y=x,則AB的元素個(gè)數(shù)為()A.0B.1C.2D.3【解析】選C.集合A表示的是圓心在原點(diǎn)的單位圓,集合B表示的是直線y=x,據(jù)此畫出圖象,可得圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即AB的元素個(gè)數(shù)為2.2.設(shè)z=1+i(i是虛數(shù)單位),則-=()A.iB.2-iC.1-iD.0【解析】選D.因?yàn)?=-1+i=-1+i=1-i-1+i=0.3.“直線y=x+b與圓x2+y2=1相交”是“0<b<1”的()A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】選C.當(dāng)-1<b<1時(shí),直線y=x+b與圓x2+y2=1都相交,因此題中應(yīng)選必要不充分條件.4.在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若sin2A-sin2B=sin Bsin C, c=2b,則角A 等于()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】選A.由正弦定理=及sin2A-sin2 B=sin Bsin C,可得a2-b2=bc.又c=2b,所以cos A=,所以A=30°.5.中國(guó)古代有計(jì)算多項(xiàng)式值的秦九韶算法,如圖是實(shí)現(xiàn)該算法的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,若輸入的x=2,n=2,依次輸入的a為3,3,7,則輸出的S=()A.9B.21C.25D.34【解析】選C.程序運(yùn)行過程如下:第一次循環(huán):a=3,s=sx+a=3,k=k+1=1,第二次循環(huán):a=3,s=sx+a=9,k=k+1=2,第三次循環(huán):a=7,s=sx+a=25,k=k+1=3,此時(shí)跳出循環(huán),輸出的s值為25.6.三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上,SA平面ABC,ABBC,又SA=AB=BC=1,則球O的表面積為()A.B.C.3D.12【解析】選C.如圖,因?yàn)锳BBC,所以AC是ABC所在截面圓的直徑,又因?yàn)镾A平面ABC,所以SAC所在的截面圓是球的大圓,所以SC是球的一條直徑.由題設(shè)SA=AB=BC=1,由勾股定理可求得:AC=,SC=,所以球的半徑R=,所以球的表面積為4×=3.7.如圖程序框圖的功能是尋找使2×4×6×8××i>2 019成立的i的最小正整數(shù)值,則輸出框中應(yīng)填()A.輸出i-2B.輸出i-1C.輸出iD.輸出i+1【解析】選A.假設(shè)使不等式成立的i的最小正整數(shù)為k.則當(dāng)i=k-2時(shí),S>2 019不成立,繼續(xù)循環(huán);S=2×4×6×8××(k-2),i=i+2=k;S>2 019不成立,繼續(xù)循環(huán);S=2×4×6×8××k,i=i+2=k+2,S>2 019成立,跳出循環(huán),此時(shí)i值為k+2,故應(yīng)輸出i-2.8.已知f(x)=2sin,若將它的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)圖象的一條對(duì)稱軸的方程為()A.x=B.x=C.x=D.x=【解析】選C.f(x)=2sin,若將它的圖象向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)g(x)=2sin=2sin的圖象,令2x-=k+,kZ,得x=+,kZ,故函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸的方程為x=.9.已知,|=,|=t,若P點(diǎn)是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且= +,當(dāng)t變化時(shí),·的最大值等于()A.-2B.0C.2D.4【解析】選B.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,因?yàn)?|=,|=t,所以B,C(0,t),因?yàn)镻點(diǎn)是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且=+,所以=(1,0)+(0,1)=(1,1),即P(1,1),所以=,=(-1,t-1),所以·=-+1-t+1=2-,因?yàn)?t2=2,所以·的最大值等于0,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=1時(shí),取等號(hào).10.已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+1=,當(dāng)x0,1時(shí),f(x)=x.若g(x)= f(x)-mx-2m在區(qū)間(-1,1上有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.0<mB.0<m<C.<m<1D.m<1【解析】選A.當(dāng)-1<x<0時(shí),0<x+1<1,由f(x)+1=,可得f(x)=-1,則y=f(x)在區(qū)間(-1,1上的圖象如圖所示.若g(x)=f(x)-mx-2m在(-1,1上有兩個(gè)零點(diǎn),則函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=mx+2m在(-1,1上有兩個(gè)交點(diǎn).從圖象分析可知,直線y=mx+2m恒過定點(diǎn)(-2,0),且與y軸的交點(diǎn)(0,2m)應(yīng)位于y軸的正半軸,可知m>0,即直線y=mx+2m的斜率大于0,而此時(shí)應(yīng)使直線y=mx+2m上的點(diǎn)(1,3m)位于點(diǎn)(1,1)或其下方,則可得3m1,即m.綜上所述,0<m.11.從集合A=-2,-1,2中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為a,從集合B=-1,1,3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b,則直線ax-y+b=0不經(jīng)過第四象限的概率為()A.B.C.D.【解析】選A.因?yàn)閍A=-2,-1,2,bB=-1,1,3,得到(a,b)的所有可能取值結(jié)果有(-2,-1),(-2,1),(-2,3),(-1,-1),(-1,1), (-1,3),(2,-1),(2,1),(2,3)共9種結(jié)果,由ax-y+b=0得y=ax+b,當(dāng)時(shí),直線不經(jīng)過第四象限,符合條件的(a,b)有(2,1),(2,3),2種結(jié)果,所以直線不過第四象限的概率P=.12.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x,g(x)=x3-x2+ax-(a>1),若對(duì)任意的x10,4,總存在x20,4,使得f(x1)=g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.B.9,+)C.9,+)D.9,+)【解析】選C.函數(shù)f(x)=x3-6x2+9x,導(dǎo)數(shù)為f(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),可得f(x)的極值點(diǎn)為1,3,由f(0)=0,f(1)=4,f(3)=0,f(4)=4,可得f(x)在0,4的值域?yàn)?,4;g(x)=x3-x2+ax-(a>1),導(dǎo)數(shù)為g(x)=x2-(a+1)x+a=(x-1)(x-a),當(dāng)1<x<a時(shí),g(x)<0,g(x)遞減;當(dāng)x<1或x>a時(shí),g(x)>0,g(x)遞增.由g(0)=-,g(1)=(a-1),g(a)=-a3+a2-,g(4)=13-4a,當(dāng)3a4時(shí),13-4a(a-1),g(x)在0,4的值域?yàn)?由對(duì)任意的x10,4,總存在x20,4,使得f(x1)=g(x2),可得0,4,即有4(a-1),解得a9不成立;當(dāng)1<a<3時(shí),13-4a>(a-1),g(x)在0,4的值域?yàn)?由題意可得0,4,即有413-4a,解得a,即為1<a;當(dāng)a>4時(shí),可得g(1)取得最大值,g(4)<-3為最小值,即有0,4,可得13-4a0,4(a-1),即a且a9,解得a9.綜上可得,a的取值范圍是9,+).第卷本卷包含必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22題第23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分)13.在ABC中,BAC=,AB=6,AC=3,點(diǎn)D在BC邊上,AD=BD,則AD=_. 【解析】設(shè)ABC的內(nèi)角BAC,角B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由題設(shè)知0<B<,所以cos B=.在ABD中,因?yàn)锳D=BD,所以ABD=BAD,所以ADB=-2B,故由正弦定理得AD= =.答案:14.已知函數(shù)f(x)=log2,若f(a)=,則f(-a)=_. 【解析】由已知得,函數(shù)的定義域?yàn)?-1,1),且f(-x)=log2 =-log2=-f(x),所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù),故f(-a)=-f(a)=-.答案:-15.平行四邊形ABCD中,已知AB=4,AD=3,BAD=60°,點(diǎn)E,F分別滿足=2,=,則·=_. 【解析】依題意得=+=+,=-=-,·=(+)·(-)=-·=×32-×42-×3×4cos 60°=-6.答案:-616.設(shè)F1,F2為橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn).已知P,F1,F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),且|PF1|>|PF2|,則的值為_. 【解析】若PF2F1=90°,則|PF1|2=|PF2|2+,因?yàn)閨PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2,解得|PF1|=,|PF2|=,所以=.若F2PF1=90°,則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=|PF1|2+(6-|PF1|)2,解得|PF1|=4,|PF2|=2,所以=2.綜上所述,=2或.答案:2或三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(本小題滿分12分)數(shù)列an中,a1=8,a4=2,且滿足an+2-2an+1+an=0.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)設(shè)Sn=|a1|+|a2|+|an|,求Sn.【解析】(1)因?yàn)閍n+2-2an+1+an=0,所以an+2-an+1=an+1-an,所以an是以a1為首項(xiàng)的等差數(shù)列,則an=a1+(n-1)d,a4=a1+3d,所以d=-2,所以an=10-2n.(2)令Tn=a1+a2+an,因?yàn)閍n=10-2n,令an=0,得n=5.當(dāng)n>5時(shí),an<0;當(dāng)n=5時(shí),an=0;當(dāng)n<5時(shí),an>0.所以當(dāng)n>5時(shí),Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a5-(a6+a7+an)= T5-(Tn-T5)=2T5-Tn=n2-9n+40,當(dāng)n5時(shí),Sn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=Tn=9n-n2.所以Sn=18.(本小題滿分12分)全世界人們?cè)絹碓疥P(guān)注環(huán)境保護(hù)問題,某監(jiān)測(cè)站點(diǎn)于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI),數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下:空氣質(zhì)量指數(shù)(g/m3)區(qū)間0,50)50,100)100,150)150,200)200,250)空氣質(zhì)量等級(jí)空氣優(yōu)空氣良輕度污染中度污染重度污染天數(shù)2040m105(1)根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出n,m的值,并完成頻率分布直方圖.(2)由頻率分布直方圖求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù).(3)在空氣質(zhì)量指數(shù)分別屬于50,100)和150,200)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,用分層抽樣的方法抽取5天,再?gòu)闹腥我膺x取2天,求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率.【解析】(1)因?yàn)?.004×50=,所以n=100因?yàn)?0+40+m+10+5=100,所以m=25.=0.008,=0.005,=0.002,=0.001.(2)由組中點(diǎn)值代替組中值計(jì)算平均數(shù)0.2×25+0.4×75+0.25×125+0.1×175+0.05×225=95,由50+×50=87.5知中位數(shù)為87.5.所以平均數(shù)為95,中位數(shù)為87.5.(3)在空氣質(zhì)量指數(shù)為50,100)和150,200)的監(jiān)測(cè)天數(shù)中應(yīng)分別抽取4天和1天,在所抽取的5天中,將空氣質(zhì)量指數(shù)為50,100)的4天分別記為a,b,c,d;將空氣質(zhì)量指數(shù)為150,200)的1天分別記為e;從中任取2天的基本事件分別為:(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)共10種.其中事件A“兩天空氣都為良”包含的基本事件為:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共6種.所以事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率是P(A)=.19.(本小題滿分12分)如圖1,在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中,DAB=60°,點(diǎn)E,F分別是邊CD,CB的中點(diǎn),ACEF=O.沿EF將CEF翻折到PEF,連接PA,PB,PD,得到如圖2的五棱錐P-ABFED,且PB=.(1)求證:BD平面POA.(2)求四棱錐P-BFED的體積.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別是邊CD,CB的中點(diǎn),所以BDEF.因?yàn)锳BCD是菱形,所以BDAC,所以EFAC,所以翻折后EFAO,EFPO,因?yàn)锳O平面POA,PO平面POA,AOPO=O,所以EF平面POA,所以BD平面POA.(2)設(shè)AOBD=H,連接BO,因?yàn)锳BCD是菱形,所以AB=AD,因?yàn)镈AB=60°,所以ABD為等邊三角形,所以BD=4,BH=2,HA=2,HO=PO=,在RtBHO中,BO=,在PBO中,BO2+PO2=10=PB2,所以POBO,因?yàn)镻OEF,EFBO=O,EF平面BFED,BO平面BFED,所以PO平面BFED,又梯形BFED的面積為S=(EF+BD)·HO=3,所以四棱錐P-BFED的體積V=S·PO=×3×=3.20.(本小題滿分12分)已知橢圓C的對(duì)稱中心為原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,左,右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別為B,A,線段AB的中點(diǎn)為D,且kOD·kAB=-,AOB的面積為2.(1)求橢圓C的方程.(2)過F1的直線l與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),若MF2N的面積為,求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程.【解析】(1)設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0).由已知得A(a,0),B(0,b),D,所以kOD·kAB=·=-,即a2=2b2,又SAOB=ab=2,所以ab=4,由解得a2=8,b2=4,所以橢圓方程為+=1.(2)當(dāng)直線lx軸時(shí),易得M(-2,),N(-2,-),MF2N的面積為4,不合題意.當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.顯然有>0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=,化簡(jiǎn)得|MN|=.設(shè)圓的半徑為r,則r=,所以=|MN|r=×·=,化簡(jiǎn)得k4+k2-2=0,解得k=±1,所以r=2,所以所求圓的方程為(x-2)2+y2=8.21.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=aln x+x2-bx(a1),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線斜率為0.(1)求b.(2)若存在x01,使得f(x0)<,求a的取值范圍.【解析】(1)f(x)=+(1-a)x-b.由題設(shè)知f(1)=0,解得b=1.(2)f(x)的定義域?yàn)?0,+),由(1)知,f(x)=aln x+x2-x,f(x)=+(1-a)x-1=(x-1),若a,則1,故當(dāng)x1,+)時(shí),f(x)0,f(x)在1,+)上單調(diào)遞增.所以,存在x01,使得f(x0)<的充要條件為f(1)<,即-1<,所以-1<a<-1;若<a<1,則>1,故當(dāng)x時(shí),f(x)<0,x時(shí),f(x)>0,f(x)在上單調(diào)遞減,f(x)在上單調(diào)遞增.所以,存在x01,使得f(x0)<的充要條件為f<,而f=aln +>,所以不符合題意.若a>1,則f(1)=-1=<.綜上,a的取值范圍為:(-1,-1)(1,+).請(qǐng)考生在第22、23二題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為cos=1,M,N分別為曲線C與x軸,y軸的交點(diǎn).(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程,并求點(diǎn)M,N的極坐標(biāo).(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程.【解析】(1)因?yàn)閏os =1,所以cos cos +sin sin =1.又所以x+y=1,即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0.令y=0,則x=2,令x=0,則y=,所以M(2,0),N,所以M的極坐標(biāo)為(2,0),N的極坐標(biāo)為.(2)MN連線的中點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為,直線OP的極角為=,所以直線OP 的極坐標(biāo)方程為=(R).23.(本小題滿分10分)選修4-5:不等式選講已知f(x)=|x-a|+|x-1|.(1)當(dāng)a=2時(shí),求不等式f(x)<4的解集.(2)若對(duì)任意的x,f(x)2恒成立,求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí),不等式f(x)<4,即|x-2|+|x-1|<4,可得或或解得-<x<,所以不等式的解集為.(2)因?yàn)閨x-a|+|x-1|a-1|,當(dāng)且僅當(dāng)(x-a)(x-1)0時(shí)等號(hào)成立,由|a-1|2,得a-1或a3,即a的取值范圍為(-,-13,+).16