第三講 不等式一、 核心要點1、 不等式的性質(zhì)（1）不等式的基本性質(zhì)：（同向不等式可加不可減，可乘不可除）（盡量減少加和乘的次數(shù)）A、對稱性：；B、傳遞性：；C、可加性：；D、可乘性：；E、加法法則：;F、乘法法則：;G、乘方法則：;H、開方法則：.（2）比較兩數(shù)或兩式的大小方法：（作差法步驟：作差變形定號）A、作差法：對于任意，； ； ；B、作商法：設，則 ； ； .備注1：不等式作差時常用到因式分解、配方法、通分、有理化等變形技巧;備注2：對于比較大小時，要考慮各種可能情況，對不確定的因素進行分類討論；備注3：平方差公式：；平方和公式：.2、 不等式的解法；（1）一元二次不等式及的解法：（轉(zhuǎn)化為）A、若方程的且兩實根分別為，則不等式的解集為，不等式的解集為；B、若方程的且兩相等實根分別為，則不等式的解集為，不等式的解集為；C、若方程的，則不等式的解集為，不等式的解集為.（2）分式不等式的解法：化分式不等式為整式不等式進行求解（具體見模塊）； （3）高次不等式的解法：序軸標根法（過程見模塊）；（4）無理不等式的解法：平方法化無理不等式為有理不等式（具體見模塊）；（5）絕對值不等式的解法：分類討論或平方法（具體見模塊）.3、 基本不等式：如果，則（當且僅當時取“”）（一正二定三相等）.（1）特例：，；（同號）.（2）變形：；（3）擴展：.（備注：調(diào)和幾何算術平方）.4、 均值定理：已知.（1）如果（定值），則（當且僅當時取“”）“和定積最大”.（2）如果（定值），則（當且僅當時取“”）“積定和最小”.5、 判斷二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的方法“選點法”：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.6、 線性規(guī)劃中常見代數(shù)式的幾何意義：（1）表示點與原點之間的距離；（2）表示點與點之間的距離；（3）表示點與原點連線的斜率；（4）表示點與點連線的斜率.二、考點突破考點一：不等式的基本性質(zhì)：題型一：不等式的性質(zhì)：例1、如果滿足且，那么下列選項中不一定成立的是（ ）A、B、C、D、練1：設，則下列不等式成立的是（ ）A、B、C、D、練2：已知，并且，那么一定成立的是（ ）A、B、C、D、題型二：比較數(shù)（式）的大小與比較法證明不等式：例2、若且，試比較與的大小.解：由于又且，所以，所以.練3：若，試比較與的大小.答案：由于，所以且，故，所以.練習4：設且，試比較與的大小.答案：，因為且.若，所以，故；若，所以，故.綜上所述，.題型三：已知不等式的關系，求目標式的取值范圍：例3、（10遼寧理）已知且，則的取值范圍是 . 解析：令，得，解得，即.由，得，所以，故的取值范圍是.練習1：已知且，求的取值范圍.解析：設，所以，解得.所以.所以，即，所以的取值范圍是 .練習2：設，且，求的取值范圍.解：設，則，即，于是得，得.所以.因為，所以，故.練習3：（10江蘇）設為實數(shù)，滿足，則的最大值是 . 解：設，化簡得，得，所以的最大值是.考點二、一元二次不等式及其解法：題型一：一元二次不等式的定義：例1、下列不等式中，一元二次不等式的個數(shù)為（ ）； ； .A、B、C、D、題型二：簡單一元二次不等式的求解：例2、求下列一元二次不等式的解集：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）由，得. 又方程的兩根是或，所以原不等式的解集為.（2），即， 又方程的根為.所以的解集為.（3）由，得，而的兩個根是或.所以不等式的解集為.（4）原不等式可化為，即，所以不等式的解集為.題后感悟解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：(1)通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0，使二次項系數(shù)為正(2)對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式(3)求出相應的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程無實根(4)根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數(shù)的草圖(5)根據(jù)圖象寫出不等式的解集.練1：求下列不等式的解集：（1）；（2）；（3）；（4）.答案：（1）；（2）；（3）；（4）.練2：設集合，則中有 個元素. 練3：解下列不等式：（1）；（2）；（3）.答案：（1）；（2）；（3）.題型三：解含參數(shù)的一元二次不等式：例3、解關于的不等式.（因式分解比較兩根大小分類討論求解）解：原不等式可化為，對應的一元二次方程的根為，（1）當時，不等式的解集為.（2）當時，原不等式化為，無解.（3）當時，不等式的解集為.綜上所述，原不等式的解集為：時，；時，；時，.題后感悟含參數(shù)的不等式的解題步驟為：(1)將二次項系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)；(2)判斷相應方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；(3)根據(jù)根的情況寫出相應的解集(若方程有相異根，為了寫出解集還要分析根的大小)另外，當二次項含有參數(shù)時，應先討論二次項系數(shù)是否為0，這決定不等式是否為二次不等式練4：解關于的不等式：（1）；（2）.答案：（1）原不等式可化為.當時，所以原不等式的解集為；當時，所以原不等式的解集為；當時，所以原不等式的解集為；當時，所以原不等式的解集為；當時，所以原不等式的解集為.（2）當時，原不等式可化為，解得，所以原不等式的解集為；）當時，原不等式可化為，對應方程的兩根為.當時，所以原不等式的解集為；當時，所以原不等式的解集為；當時，所以原不等式的解集為.）當時，原不等式可化為，對應方程的兩根為，又，所以原不等式的解集為.練5：解不等式.答案：（1）當時，原不等式轉(zhuǎn)化為，即，得不等式的解集為.（2）當時，將原不等式兩邊同時除以可轉(zhuǎn)化為，因為，所以不等式的解集為.（3）當時，原不等式轉(zhuǎn)化為，當時，解集為；當時，所以不等式的解集為；當時，所以不等式的解集為.考點三、一元二次不等式的應用：題型一：不等式的恒成立問題：例1、已知不等式對于所有的實數(shù)都成立，求實數(shù)的取值范圍.解：若，則原不等式可化為，即，不合題意，故.令，因為原不等式對任意都成立，所以二次函數(shù)的圖像在軸的下方.則且，即，所以，故的取值范圍為.題后感悟不等式恒成立問題方法總結(jié)：(1) 恒成立；(2) 恒成立；練1：若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.答案：當時，原不等式可化為，其解集不為，故不滿足題意，舍去；當時，要使原不等式的解集為，只需，解得.綜上，所求實數(shù)的取值范圍為.練2：若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.答案：（1）當，即時，若，則原不等式可化為，恒成立，若，則原不等式為，即，不符合題目要求，舍去.（2）當，即時，原不等式的解集為的條件是，解得綜上所述，當時，原不等式的解為全體實數(shù).練3：若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.答案：因為時，原不等式為，所以時成立.當時，由題意得，即，解得.綜上兩種情況可知.題型二：二次方程、二次函數(shù)、二次不等式的關系：例2、若不等式的解集為，求不等式的解集.解：方法一：由的解集為知，又，則.又為方程的兩個根，所以，即，又，所以.此時不等式變?yōu)?，即，又因為，所?所以所求不等式的解集為.方法二：由已知得且知.設方程的兩根分別為，則，其中.所以不等式的解集為.題后感悟方法總結(jié)：(1) 給出一元二次不等式的解集，則可知二次項的符號和一元二次方程的根，由根與系數(shù)的關系可知之間的關系；練4：已知不等式的解集為，求的解集答案：因為的解集為，所以是方程的兩實根.由根與系數(shù)的關系得，解得.所以.則不等式的解集為.題型三：一元二次不等式的實際應用：例3、汽車在行駛時，由于慣性作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”剎車距離是分析交通事故的一個重要因素在一個限速的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了事發(fā)后現(xiàn)場勘查測得甲車的剎車距離略超過，乙車的剎車距離略超過，又知甲、乙兩種車型的剎車距離與車速之間分別有如下關系：.試判斷甲、乙兩車有無超速現(xiàn)象，并根據(jù)所學數(shù)學知識給出判斷的依據(jù)解：由題意，對于甲車，有， 即.解得或 (舍去).這表明甲車的車速超過，但根據(jù)題意剎車距離略超過，由此估計甲車不會超過限速. 對于乙車，有，即.解得或 (舍去).這表明乙車的車速超過，超過規(guī)定限速. 題后感悟(1)解不等式應用題，一般可按如下四步進行：閱讀理解、認真審題、把握問題中的關鍵量、找準不等關系；引進數(shù)學符號，用不等式表示不等關系(或表示成函數(shù)關系)；解不等式(或求函數(shù)最值)；回扣實際問題考點四、分式不等式、高次不等式及無理不等式的解法：題型一：分式不等式的解法：化分式不等式為整式不等式（1）；（2）；（3）；（4）例1、（12重慶理）不等式的解集為（ ）A、B、C、D、練1：不等式的解集是 . 解析：. 練2：不等式的解集是 . 解析：.題型二：高次不等式的解法：（序軸標根法）序軸標根法要點：從右向左，從上到下，奇穿偶不穿（前提：保證因式分解后的系數(shù)為正）.例2、解不等式：解：設，則的根分別是，將其分別標在數(shù)軸上，并畫出如右圖所示的示意圖：所以原不等式的解集是.練3：（10全國）不等式的解集為（ ）A、B、C、D、練4：不等式的解集是 . 題型三：無理不等式的解法：（化無理不等式為有理不等式）（1）；（2）或.例3、解不等式.解：原不等式等價于：或：，解：，解：，即或，所以，則原不等式的解集為.練5：解不等式的解集.解：移項，則，所以原不等式的解集為.練6：解不等式（1）；（2）.解：（1）原不等式等價于：或：解：，解：，即：或，所以，則原不等式的解集為.（2）原不等式等價于，即或，所以原不等式的解集為.考點五：絕對值不等式的解法：（選修45）（1）；（2）；（3）；（4）.例1、（08四川文科）不等式的解集為（ ）A、B、C、D、解析：.練1：（04全國）不等式的解集為（ ）A、B、C、D、解析： .練2：（07廣東）設函數(shù)，若，則的取值范圍是 . 解析： 練3：（09山東）不等式的解集為 . 解析：.練4：若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：不等式對一切實數(shù)恒成立，由絕對值的幾何意義可知，表示數(shù)軸上點到和的距離之和，那么對任意恒成立，顯然，又，故，所以實數(shù)的取值范圍是.考點六：基本不等式和均值定理：（一正二定三相等）題型一：通過加減項配湊成基本不等式：例1、已知，求的最小值以及取得最小值時的值.解：由，得，則.當且僅當時取“”號.于是或者（舍去）答：最小值是，取得最小值時的值為.練1：已知，求函數(shù)的最大值.解：由，得，由（當且僅當時，即時取“”），得，所以函數(shù)的最大值為.練2：求函數(shù)的最小值.解：令，則，因為，所以，故（當且僅當時，即取“”）.所以函數(shù)的最小值為.練3：求的最大值.解：令，則，當且僅當，即時取等號，故的最大值為.題型二：“1”的變換：例2、已知，且，求的最小值.解：因為，所以，當且僅當，即時，的最小值為.練4：已知，則的最小值是 . 解析：由，且（當且僅當，即時取等），則的最小值為. 題型三：轉(zhuǎn)化與方程消元求二次函數(shù)最值：例3、若正數(shù)滿足，則：（1）的取值范圍是 ；（2）的取值范圍是 . 解：（1）判別式法：令，則，代入原式得，整理得,，得或（舍）.（2）判別式法，令，則，代入原式得，整理得，解得或者（舍）.備注：以上（1）（2）也可利用基本不等式及其變形解決，或者消元代入求最值解決.練5：若滿足，則的最小值是 . 練6：若滿足，則的最小值是 . 練7：（10重慶）已知滿足，則的最小值是（ ）A、B、C、D、考點七：簡單線性規(guī)劃問題：題型一：已知線性約束條件，探求線性目標關系最值問題：例1、設變量滿足約束條件，求的最大值.題型二：已知線性約束條件，探求分式目標關系最值問題：例2、設變量滿足例1中的約束條件，求的取值范圍.題型三：已知線性約束條件，探求平方和目標關系最值問題：例3、設變量滿足例1中的約束條件，求的最值，以及此時對應點的坐標.題型四：已知線性約束條件，探求區(qū)域面積與周長問題：例4、設變量滿足例1中的約束條件，試求所圍區(qū)域的面積與周長.題型五：已知最優(yōu)解，探求目標函數(shù)參數(shù)問題：例5、設變量滿足例1中的約束條件，且目標函數(shù)（其中）僅在處取得最大值，求的取值范圍.題型六：已知最優(yōu)解，探求約束條件參數(shù)問題：例6、設變量滿足約束條件，且目標函數(shù)在處取得最大值，求，例7、已知滿足不等式組，求使取得最大值的整數(shù).解：不等式組的解集為三直線所圍成的三角形內(nèi)部（不含邊界），設與，與，與的交點分別為，則的坐標分別為，作一組平行線平行于，當往右上方移動時，隨之增大，所以當過點時最大為，但不是整數(shù)解，又由知可取， 當時，代入原不等式組得，所以；當時，得或，所以或；當時，所以，故的最大整數(shù)解為或. 練習：線性規(guī)劃問題綜合練習練1：若滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）A、B、C、D、練2：滿足的點中整數(shù)（橫縱坐標都是整數(shù)）有（ ）A、個B、個C、個D、個練3：已知滿足約束條件，則的最大值和最小值分別是（ ）A、B、C、D、練4：不等式組表示的平面區(qū)域的面積為（ ）A、B、C、D、無窮大練5：已知滿足約束條件，使取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則的值為（ ）A、B、C、D、練6：已知表示的平面區(qū)域包含點和，則的取值范圍是（ ）A、B、C、D、練7：滿足線性約束條件的目標函數(shù)的最大值是（ ）A、B、C、D、練8：若實數(shù)滿足不等式組，且的最大值為，則實數(shù)（ ）A、B、C、D、練9：已知實數(shù)滿足，試求的最大值和最小值.解：由于.所以的幾何意義是點與點連線的斜率，因此的最值就是點與點連線的斜率的最值，結(jié)合圖像可知，直線的斜率最大，直線的斜率最小，即，此時；，此時.練10：設變量滿足約束條件，則的最小值為 . 練11：若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則的取值范圍是 . 或練12：已知平面區(qū)域由以，為頂點的三角形內(nèi)部和邊界組成，若在區(qū)域上有無窮多個點可使目標函數(shù)取得最小值，則 . 19