學(xué)道教育初中數(shù)學(xué)圓一、圓的概念集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫中垂線）； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線； 4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點與圓的位置關(guān)系1、點在圓內(nèi) 點在圓內(nèi)；2、點在圓上 點在圓上；3、點在圓外 點在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離 無交點；2、直線與圓相切 有一個交點；3、直線與圓相交 有兩個交點；四、圓與圓的位置關(guān)系外離（圖1） 無交點 ；外切（圖2） 有一個交點 ；相交（圖3） 有兩個交點 ；內(nèi)切（圖4） 有一個交點 ；內(nèi)含（圖5） 無交點 ； 五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??； （2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??； （3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結(jié)論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結(jié)論，即： 是直徑 弧弧 弧弧中任意2個條件推出其他3個結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個結(jié)論中，只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結(jié)論，即：； 弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：和是弧所對的圓心角和圓周角2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧；即：在中，、都是所對的圓周角 推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在中，是直徑 或 是直徑 推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注意：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補，外角等于它的內(nèi)對角。 即：在中， 四邊是內(nèi)接四邊形 九、切線的性質(zhì)與判定定理1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：且過半徑外端 是的切線2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖） 推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。 推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點；垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。十、切線長定理切線長定理： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：、是的兩條切線 ；平分十一、圓冪定理1、相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在中，弦、相交于點， 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。即：在中，直徑， 2、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在中，是切線，是割線 3、割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如右圖）。即：在中，、是割線 十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：、相交于、兩點 垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計算公式：（1）公切線長：中，；（2）外公切線長：是半徑之差； 內(nèi)公切線長：是半徑之和 十四、圓內(nèi)正多邊形的計算（1）正三角形 在中是正三角形，有關(guān)計算在中進行：；（2）正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計算在中進行，：（3）正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計算在中進行，.十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計算公式1、扇形：（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式： ：圓心角 ：扇形多對應(yīng)的圓的半徑 ：扇形弧長 ：扇形面積2、圓柱： （1）圓柱側(cè)面展開圖 =（2）圓柱的體積：3、圓錐側(cè)面展開圖（1）=（2）圓錐的體積：十六、內(nèi)切圓及有關(guān)計算。（1）三角形內(nèi)切圓的圓心是三個內(nèi)角平分線的交點，它到三邊的距離相等。（2）ABC中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c，則內(nèi)切圓的半徑r= 。 B OA D（3）SABC=，其中a，b，c是邊長，r是內(nèi)切圓的半徑。（4）弦切角：角的頂點在圓周上，角的一邊是圓的切線，另一邊是圓的弦。 如圖，BC切O于點B，AB為弦，ABC叫弦切角，ABC=D。 C 考點一：與圓相關(guān)概念的應(yīng)用利用與圓相關(guān)的概念來解決一些問題是必考的內(nèi)容，在復(fù)習(xí)中準確理解與圓有關(guān)的概念，注意分清它們之間的區(qū)別和聯(lián)系.1.運用圓與角（圓心角，圓周角），弦，弦心距，弧之間的關(guān)系進行解題【例1】 已知：如圖所示，在ABO中，AOB=90，B=25，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓交AB于D，求弧AD的度數(shù).【例2】 如圖，A、B、C是O上的三點，AOC=100，則ABC的度數(shù)為（ ）. . 30. 45 . 50. 60 2.利用圓的定義判斷點與圓，直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【例3】 已知O的半徑為3cm，A為線段OM的中點，當(dāng)OA滿足： （1）當(dāng)OA=1cm時，點M與O的位置關(guān)系是 . （2）當(dāng)OA=1.5cm時，點M與O的位置關(guān)系是 . （3）當(dāng)OA=3cm時，點M與O的位置關(guān)系是 .【例4】 O的半徑為4，圓心O到直線l的距離為3，則直線l與O的位置關(guān)系是（ ）. . 相交. 相切. 相離. 無法確定【例5】 兩圓的半徑分別為3cm和4cm，圓心距為2cm，那么兩圓的位置關(guān)系是_.3.正多邊形和圓的有關(guān)計算【例6】 已知正六邊形的周長為72cm，求正六邊形的半徑，邊心距和面積.4.運用弧長及扇形面積公式進行有關(guān)計算【例7】 如圖，矩形ABCD中，BC=2，DC=4，以AB為直徑的半圓O與DC相切于點E，則陰影部分的面積為 （結(jié)果保留）.5.運用圓錐的側(cè)面弧長和底面圓周長關(guān)系進行計算【例8】 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的母線長與底面半徑長的比是 .考點二：圓中計算與證明的常見類型1.利用垂徑定理解題 垂徑定理及其推論中的三要素是：直徑、平分、過圓心，它們在圓內(nèi)常常構(gòu)成圓周角、等分線段、直角三角形等，從而可以應(yīng)用相關(guān)定理完成其論證或計算.【例1】 在O中，弦CD與直徑AB相交于點P，夾角為30，且分直徑為15兩部分，AB=6，則弦CD的長為 . . 2. 4. 4. 22.利用“直徑所對的圓周角是直角”解題 “直徑所對的圓周角是直角”是非常重要的定理，在解與圓有關(guān)的問題時，常常添加輔助線構(gòu)成直徑所對的圓周角，以便利用上面的定理.【例2】 如圖，在O的內(nèi)接ABC中，CD是AB邊上的高，求證：ACD=OCB.3.利用圓內(nèi)接四邊形的對角關(guān)系解題 圓內(nèi)接四邊形的對角互補，這是圓內(nèi)接四邊形的重要性質(zhì)，也揭示了確定四點共圓的方法.【例3】 如圖，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，E為DA延長線上一點，若C45，AB，則點B到AE的距離為_.4. 判斷圓的切線的方法及應(yīng)用 判斷圓的切線的方法有三種：（1）與圓有惟一公共點的直線是圓的切線；（2）若圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，則該直線是圓的切線；（3）經(jīng)過半徑外端，并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 【例4】 如圖，O的直徑AB=4，ABC=30，BC=，D是線段BC的中點. （1）試判斷點D與O的位置關(guān)系，并說明理由. （2）過點D作DEAC，垂足為點E，求證：直線DE是O的切線. 【例5】 如圖，已知O為正方形ABCD對角線上一點，以O(shè)為圓心，OA的長為半徑的O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F，求證CD與O相切. 【例6】 如圖，半圓O為ABC的外接半圓，AC為直徑，D為劣弧上一動點，P在CB的延長線上，且有BAP=BDA.求證：AP是半圓O的切線.題庫1. 選擇題：1. O的半徑為R，點P到圓心O的距離為d，并且dR，則P點 A.在O內(nèi)或圓周上 B.在O外 C.在圓周上 D.在O外或圓周上2. 由一已知點P到圓上各點的最大距離為5，最小距離為1，則圓的半徑為 A、2或3 B、3 C、4 D、2 或43.如圖，O中，ABDC是圓內(nèi)接四邊形，BOC=110，則BDC的度數(shù)是A.110 B.70 C.55 D.1254.在O中，弦AB垂直并且平分一條半徑，則劣弧AB的度數(shù)等于A.30 B.120 C.150 D.605.直線上有一點到圓心O的距離等于O的半徑，則直線與O的位置關(guān)系是、相離、相切、相切或相交、相交6、如圖，切O于，交O于點、，若PA5，PBB，則的長是、10、5、 、7如圖，某城市公園的雕塑是由3個直徑為1m的圓兩兩相壘立在水平的地面上，則雕塑的最高點到地面的距離為A B. C. D. 8、已知兩圓的圓心距是9，兩圓的半徑是方程2x217x+35=0的兩根，則兩圓有條切線。A、 1條 B、2條 C、3條 D、4條9、如果等腰梯形有一個內(nèi)切圓并且它的中位線等于20cm，則梯形的腰長為、 、 、 、10、如圖，O1和O2相交于A、B兩點，且A O1、A O2分別是兩圓的切線，A是切點，若O1的半徑r=3，O2的半徑R=4，則公共弦AB的長為A、2 B、4.8 C、3 D、2.411、水平放置的排水管（圓柱體）截面半徑是1cm，水面寬也是1cm，則截面有水部分（弓形）的面積是A、 B、 C、 D、 或 二. 填空題：12.6cm長的一條弦所對的圓周角為90，則此圓的直徑為 。 13.在O中，AB是直徑，弦CD與AB相交于點E，若 ，則CE=DE（只需填一個適合的條件）。14.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，ABC=521，則D= 。15.若三角形的外心在它的一條邊上，那么這個三角形是 。16.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC，BD交于E點，AB=120，CD=70則AEB= 。 17已知兩個圓的半徑分別為8 cm和3 cm，兩個圓的圓心距為7 cm，則這兩個圓的外公切線長為 。18.如圖，O中，弦AB弦CD于E，OFAB于F，OGCD于G，若AE=8cm，EB=4cm，則OG= cm。19. 已知圓錐的母線長為5厘米，底面半徑為3厘米，則它的側(cè)面積為 。四.解答題20.如圖在ABC中，C=90，點O為AB上一點，以O(shè)為圓心的半圓切AC于E，交AB于D，AC=12，BC=9，求AD的長。21.如圖在O中，C為ACB的中點，CD為直徑，弦AB交CD于點P，又PECB于E，若BC=10，且CEEB=32，求AB的長 22.已知：如圖，A是以EF為直徑的半圓上的一點，作AGEF交EF于G，又B為AG上一點，EB的延長線交半圓于點K，求證：23.已知：如圖，ABC內(nèi)接于O，AE是O的直徑，CD是ABC中AB邊上的高，求證：ACBC=AECD11