2.2.1 向量的加法整體設(shè)計教學(xué)分析 向量的加法是學(xué)生在認識向量概念之后首先要掌握的運算,其主要內(nèi)容是運用向量的定義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則,并對向量加法的交換律、結(jié)合律進行證明.同時運用它們進行相關(guān)計算,這可讓學(xué)生進一步加強對向量幾何意義的理解,也為接下來學(xué)習(xí)向量的減法奠定基礎(chǔ),起到承上啟下的重要作用.學(xué)生已經(jīng)通過上節(jié)的學(xué)習(xí),掌握了向量的概念、幾何表示,理解了什么是相等向量和共線向量.在學(xué)習(xí)物理的過程中,已經(jīng)知道位移、速度和力這些物理量都是向量,可以合成,而且知道這些矢量的合成都遵循平行四邊形法則,這為本課題的引入提供了較好的條件. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育的主題,本節(jié)課的內(nèi)容與實際問題聯(lián)系緊密,更應(yīng)強化數(shù)學(xué)來源于實際又應(yīng)用于實際的意識.在向量加法的概念中,由于涉及到兩個向量有不平行和平行這兩種情況,因此有利于滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想.而在猜測向量加法的運算律時,通過引導(dǎo)學(xué)生利用實數(shù)加法的運算律進行類比,則能培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移等能力.在實際教學(xué)中,類比數(shù)的運算,向量也能夠進行運算.運算引入后,向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮.實際上,引入一個新的量后,考察它的運算及運算律,是數(shù)學(xué)研究中的基本問題.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會考察一個量的運算問題,最主要的是認清運算的定義及其運算律,這樣才能正確、方便地實施運算. 向量的加法運算是通過類比數(shù)的加法,以位移的合成、力的合力等兩個物理模型為背景引入的.這樣做使加法運算的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)上,同時還可以提醒學(xué)生注意,由于向量有方向,因此在進行向量運算時,不但要考慮大小問題,而且要考慮方向問題,從而使學(xué)生體會向量運算與數(shù)的運算的聯(lián)系與區(qū)別.這樣做,有利于學(xué)生更好地把握向量加法的特點.因此本節(jié)的主要思想方法是類比思想、數(shù)形結(jié)合思想等.三維目標(biāo)1.通過經(jīng)歷向量加法的探究,掌握向量加法概念,結(jié)合物理學(xué)實際理解向量加法的意義.能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,并能作出已知兩向量的和向量.2.在探究活動中,理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個運算律的幾何意義.掌握有特殊位置關(guān)系的兩個向量的和,比如共線向量、共起點向量、共終點向量等.3.通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),使學(xué)生認識事物之間的相互轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,體會數(shù)學(xué)在生活中的作用.培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移、分類、歸納等能力,初步體會向量內(nèi)容與其他知識的交匯特點.重點難點 教學(xué)重點:向量加法的運算及其幾何意義. 教學(xué)難點:對向量加法法則定義的理解.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié),我們一起學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念,明確了向量的表示方法,了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念,并掌握了這些概念的辨析判斷.另外,向量和我們熟悉的數(shù)一樣也可以進行加減運算,這一節(jié),我們先學(xué)習(xí)向量的加法.思路2.(問題導(dǎo)入)2004年大陸和臺灣沒有直航,因此春節(jié)探親,要先從臺北到香港,再從香港到上海,這兩次位移之和是什么?怎樣列出數(shù)學(xué)式子？一位同學(xué)按以下的指令進行活動:向北走20米,再向西走15米,再向東走5米,最后向南走10米,怎樣計算他所在的位置?由此導(dǎo)入新課.推進新課新知探究提出問題數(shù)能進行運算,向量是否也能進行運算呢？類比數(shù)的加法,猜想向量的加法,應(yīng)怎樣定義向量的加法？猜想向量加法的法則是什么?與數(shù)的運算法則有什么不同?圖1活動:向量是既有大小、又有方向的量,教師引導(dǎo)學(xué)生回顧物理中位移的概念,位移可以合成,如圖1.在大型生產(chǎn)車間里,一重物被天車從A處般運到B處,它的實際位移,可以看作水平運動的分位移與豎直向上運動的分位移的合位移. 由分位移求合位移,稱為位移的合成.由物理學(xué)知識我們知道,位移合成遵循平行四邊形法則,即AB是以AC,AD為鄰邊的ACBD的對角線. 數(shù)的加法啟發(fā)我們,從運算的角度看,可以認為是與的和,即位移、力的合成看作向量的加法.討論結(jié)果:向量加法的定義:如圖2,已知非零向量a、b,在平面內(nèi)任取一點A,作=a,=b,則向量叫作a與b的和,記作a+b,即a+b=+=.圖2求兩個向量和的運算,叫作向量的加法.向量加法的法則:1向量加法的三角形法則 已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點A,作=a,=b,再作向量,則向量叫作向量a與b的和,這種求向量和的作圖方法就是向量加法的三角形法則.運用這一法則時要特別注意“首尾相接”,即第二個向量要以第一個向量的終點為起點,則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量,如圖2. 位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型. 向量求和的三角形法則,可推廣至多個向量求和的多邊形法則:n個向量經(jīng)過平移,順次使前一個向量的終點與后一個向量的起點重合,組成一向量折線,這n個向量的和等于折線起點到終點的向量,即+.2向量加法的平行四邊形法則圖3如圖3,以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè)為起點的對角線就是a與b的和.我們把這種作兩個向量和的方法叫作向量加法的平行四邊形法則.力的合成可以看作向量加法的物理模型.提出問題對于零向量與任一向量的加法,結(jié)果又是怎樣的呢?兩共線向量求和時,用三角形法則較為合適.當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個向量時,它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？思考|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關(guān)系?數(shù)的運算和運算律緊密聯(lián)系,運算律可以有效地簡化運算.類似地,向量的加法是否也有運算律呢?活動:觀察實際例子,教師啟發(fā)學(xué)生思考,并適時點撥,誘導(dǎo),探究向量的加法在特殊情況下的運算,共線向量加法與數(shù)的加法之間的關(guān)系.數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律,即對任意a,bR,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律?引導(dǎo)學(xué)生畫圖進行探索.討論結(jié)果:對于零向量與任一向量,我們規(guī)定a+0=0+a=a.兩個數(shù)相加其結(jié)果是一個數(shù),對應(yīng)于數(shù)軸上的一個點;在數(shù)軸上的兩個向量相加,它們的和仍是一個向量,對應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段.當(dāng)a,b不共線時,|a+b|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng)a,b共線且方向相同時,|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a,b共線且方向相反時,|a+b|a|-|b|(或|b|-|a|)，其中當(dāng)向量a的長度大于向量b的長度時,|a+b|=|a|b|;當(dāng)向量a的長度小于向量b的長度時,|a+b|=|b|a|.一般地,我們有|a+b|a|+|b圖4如圖4,作=a,=b以AB、AD為鄰邊作ABCD,則=b,=a.因為=+=a+b,=+= b+a,所以a+b=b+a.圖5如圖5,因為=+=(+)+=(a+b)+c,=+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).綜上所述,向量的加法滿足交換律和結(jié)合律.應(yīng)用示例思路1例1 如圖6,已知向量a、b,求作向量a+b.活動:教師引導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量.在向量加法的作圖中,學(xué)生體會作法中在平面內(nèi)任取一點O的依據(jù)它體現(xiàn)了向量起點的任意性.在向量作圖時,一般都需要進行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時應(yīng)強調(diào)向量的起點放在一起,而用三角形法則作圖則要求首尾相連. 圖6 圖7 圖8解:作法一:在平面內(nèi)任取一點O(如圖7),作=a,=b,則=a+b.作法二:在平面內(nèi)任取一點O(如圖8),作=a,=b.以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB,連結(jié)OC,則=a+b.變式訓(xùn)練化簡:(1)+;(2);(3)+活動:根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相接,再運用向量加法的結(jié)合律調(diào)整運算順序,然后相加.解:(1)+=+=.(2)=(=0.(3)+=+=+=+=+=0.點評:要善于運用向量的加法的運算法則及運算律來求和向量.例2 長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡進行運輸.如圖9所示,一艘船從長江南岸A點出發(fā),以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度(保留兩個有效數(shù)字);(2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度). 圖9 圖10活動:本例結(jié)合一個實際問題說明向量加法在實際生活中的應(yīng)用.這樣的問題在物理中已有涉及,這里是要學(xué)生能把它抽象為向量的加法運算,體會其中應(yīng)解決的問題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小).引導(dǎo)點撥學(xué)生正確理解題意,將實際問題反映在向量作圖上,從而與初中學(xué)過的解直角三角形建立聯(lián)系.解:如圖10所示,表示船速,表示水速,以AD、AB為鄰邊作ABCD,則表示船實際航行的速度.(2)在RtABC中,|=2,|=5,所以|=5.4.因為tanCAB=,由計算器得CAB=70.答:船實際航行速度的大小約為5.4km/h,方向與水的流速間的夾角為70.點評:用向量法解決物理問題的步驟為:先用向量表示物理量,再進行向量運算,最后回扣物理問題,解決問題.變式訓(xùn)練用向量方法證明對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.圖11活動:本題是一道平面幾何題,如果用純幾何的方法去思考,問題不難解決,如果用向量法來解,不僅思路清晰,而且運算簡單.將互相平分利用向量表達,以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.教師引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣用向量法解決幾何問題,并在解完后總結(jié)思路方法.證明:如圖11,設(shè)四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,=,.AC與BD互相平分,=,=,=,因此ABCD且|=|,即四邊形ABCD是平行四邊形.點評:證明一個四邊形是平行四邊形時,只需證明=或即可.而要證明一個四邊形是梯形,需證明與共線,且|.例3 輪船從A港沿東偏北30方向行駛了40n mile (海里)到達B處,再由B處沿正北方向行駛40n mile到達C處,求此時輪船與A港的相對位置.圖12解:如圖12，設(shè)、分別表示輪船的兩次位移,則表示輪船的合位移,=+.在RtADB中,ADB=90,DAB=30,|=40n mile,所以|=20n mile,|=20n mile.在RtADC中,ADC=90,|=60n mile,所以|=n mile因為|=2|,所以CAD=60.答:輪船此時位于A港東偏北60,且距A港40n mile的C處.思路2例1 如圖13,O為正六邊形ABCDEF的中心,作出下列向量:(1);(2);(3).活動:教師引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則(三角形法則)作出相應(yīng)的向量.教師一定要讓學(xué)生親自動手操作,對思路不清的學(xué)生教師適時地給予點撥指導(dǎo).圖13解:(1)因四邊形OABC是以O(shè)A、OC為鄰邊的平行四邊形,OB是其對角線,故=.(2)因,故與方向相同,長度為的長度的2倍,故=.(3)因,故=0.點評:向量的運算結(jié)合平面幾何知識,在長度和方向兩個方面作文章.應(yīng)深刻理解向量的加、減法的幾何意義.例2 在小船過河時,小船沿垂直河岸方向行駛的速度為v1=3.46km/h,河水流動的速度為v2=2.0 km/h,試求小船過河實際航行速度的大小和方向.圖14解:如圖14,設(shè)表示小船垂直于河岸行駛的速度,表示水流的速度,以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB,則就是小船實際航行的速度.在RtOBC中,|=v1=3.46km/h,|=v2=2.0km/h,所以|=4.0(km/h).因為tanBOC=1.73,所以BOC60.答:小船實際航行速度的大小約為4.0km/h,方向與水流方向約成60角.變式訓(xùn)練已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點,若=0,則四邊形ABCD是怎樣的四邊形?點O是四邊形的什么點?圖15活動:要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關(guān)系,如平行、相等等;而要判斷點O是該四邊形的什么點,就必須找到該點與四邊形的邊或?qū)蔷€的關(guān)系.解:如圖15所示,設(shè)點O是任一四邊形ABCD內(nèi)的一點,且=0,過A作AEOD,連結(jié)ED,則四邊形AEDO為平行四邊形.設(shè)OE與AD的交點為M,過B作BFOC,則四邊形BOCF為平行四邊形.設(shè)OF與BC的交點為N,于是M、N分別是AD、BC的中點.=0,+=0,即與的長度相等,方向相反.M、O、N三點共線,即點O在AD與BC的中點連線上.同理,點O也在AB與DC的中點連線上.點O是四邊形ABCD對邊中點連線的交點,且該四邊形可以是任意四邊形.例3 兩個力F1和F2同時作用在一個物體上,其中F1=40N,方向向東,F2=30N,方向向北,求它們的合力.圖16解:如圖16,表示F1,表示F2,以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB,則表示合力F.在RtOAC中,|=F1=40N,|=|=F2=30N.由勾股定理,得F=|=50(N).設(shè)合力F與力F1的夾角為，則tan=0.75.所以37.答：合力大小為50N，方向為東偏北37.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)14.課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識:向量的加法定義,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,向量加法滿足交換律和結(jié)合律,幾何作圖,向量加法的實際應(yīng)用.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法:特殊與一般,歸納與類比,數(shù)形結(jié)合,分類討論,特別是通過知識遷移類比獲得新知識的過程與方法.這種遷移類比的方法將把我們引向數(shù)學(xué)的王國,科學(xué)的殿堂.作業(yè)如圖17所示,已知矩形ABCD中,|=4,設(shè)=a,=b,=c,試求向量a+b+c的模.圖17解:過D作AC的平行線,交BC的延長線于E,DEAC,ADBE四邊形ADEC為平行四邊形.=,=.于是a+b+c=+=+=+=2,|a+b+c|=2|=8.點評:求若干個向量的和的模(或最值)的問題通常按下列步驟進行:(1)尋找或構(gòu)造平行四邊形,找出所求向量的關(guān)系式;(2)用已知長度的向量表示待求向量的模,有時還要利用模的重要性質(zhì).設(shè)計感想1.本節(jié)內(nèi)容是向量的加法,運算法則有三角形法則和平行四邊形法則,而兩個法則的運用有各自的條件:三角形法則適合于首尾順次相接的兩向量相加,對于共線向量的加法仍然適合；而平行四邊形法則適合于兩個同起點的向量相加,對于共線向量卻不能用此法解決.三角形法則可以推廣到多個首尾順次相接的向量的加法.2.本節(jié)要求使用多媒體輔助教學(xué),便于直觀、生動地揭示向量加法的概念,突破難點,提高效率,因為本節(jié)解決問題的方法主要是借助圖形,采用數(shù)形結(jié)合的思想方法.多讓學(xué)生動手畫圖,識圖,讓學(xué)生在動態(tài)中經(jīng)歷和體會概念的形成過程.讓學(xué)生自己類比、猜想、發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用新知識解決問題.備課資料備用習(xí)題1.已知正方形ABCD的邊長為1,=a,=c,=b,則|a+b+c|為( )A.0 B.3 C. D.22.設(shè)a=(+)+(+),b是任一非零向量,則下列結(jié)論中正確的為( )aba+b=aa+b=b|a+b|a|+|b|a+b|=|a|+|b|A B. C. D.3.設(shè)向量a,b都不是零向量:(1)若向量a與b同向,則a+b與a的方向_,且|a+b|_|a|+|b|;(2)若向量a與b反向,且|a|b|,則a+b與a的方向_,且|a|+|b|_|a|-|b|.4.如圖18所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1,設(shè)=a,=b,=c,則=_.(用a、b、c表示)圖185.某人在靜水中游泳,速度為4km/h,如果他徑直游向?qū)Π?水流速度為4km/h,則他實際以多大的速度沿何方向游?6.在中心為O的正八邊形A1A2A8中,a0=,ai=(i=1,2,7),bj=(j=1,2,8),試化簡a2+a5+b2+b5+b7.7.已知ABC為直角三角形,A=90,ADBC于D,求證:|2=|+|2+|+|2.參考答案:1.D 2.C 3.(1)相同 = (2)相同 = 4.a+b+c5.解:如圖19所示,設(shè)此人在靜水中的游泳速度為,水流速度為,則=+為此人的實際速度,易求得|=8km/h,COA=60.圖19答:此人沿與河岸的夾角為60順著水流的方向前進,速度大小為8km/h.6.解:如圖20所示,=0,a2+a5+b2+b5+b7=b5 圖20 圖217.證明:如圖21所示,以DB、DA為鄰邊作ADBE,于是+=.|=|,|+|=|.同理可得|+|=|.在RtABC中,由勾股定理,得|2=|+|2+|+|2.11