《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2 從位移的合成到向量的加法 2.2.1 向量的加法教案 北師大版必修4.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.2 從位移的合成到向量的加法 2.2.1 向量的加法教案 北師大版必修4.doc（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.2.1 向量的加法整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 向量的加法是學(xué)生在認(rèn)識(shí)向量概念之后首先要掌握的運(yùn)算,其主要內(nèi)容是運(yùn)用向量的定義和向量相等的定義得出向量加法的三角形法則、平行四邊形法則,并對(duì)向量加法的交換律、結(jié)合律進(jìn)行證明.同時(shí)運(yùn)用它們進(jìn)行相關(guān)計(jì)算,這可讓學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)向量幾何意義的理解,也為接下來(lái)學(xué)習(xí)向量的減法奠定基礎(chǔ),起到承上啟下的重要作用.學(xué)生已經(jīng)通過(guò)上節(jié)的學(xué)習(xí),掌握了向量的概念、幾何表示,理解了什么是相等向量和共線向量.在學(xué)習(xí)物理的過(guò)程中,已經(jīng)知道位移、速度和力這些物理量都是向量,可以合成,而且知道這些矢量的合成都遵循平行四邊形法則,這為本課題的引入提供了較好的條件. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)是當(dāng)今

2、數(shù)學(xué)教育的主題,本節(jié)課的內(nèi)容與實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系緊密,更應(yīng)強(qiáng)化數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際又應(yīng)用于實(shí)際的意識(shí).在向量加法的概念中,由于涉及到兩個(gè)向量有不平行和平行這兩種情況,因此有利于滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想.而在猜測(cè)向量加法的運(yùn)算律時(shí),通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生利用實(shí)數(shù)加法的運(yùn)算律進(jìn)行類比,則能培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移等能力.在實(shí)際教學(xué)中,類比數(shù)的運(yùn)算,向量也能夠進(jìn)行運(yùn)算.運(yùn)算引入后,向量的工具作用才能得到充分發(fā)揮.實(shí)際上,引入一個(gè)新的量后,考察它的運(yùn)算及運(yùn)算律,是數(shù)學(xué)研究中的基本問(wèn)題.教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)考察一個(gè)量的運(yùn)算問(wèn)題,最主要的是認(rèn)清運(yùn)算的定義及其運(yùn)算律,這樣才能正確、方便地實(shí)施運(yùn)算. 向量的加法運(yùn)算是通過(guò)類比數(shù)的加法,以位移

3、的合成、力的合力等兩個(gè)物理模型為背景引入的.這樣做使加法運(yùn)算的學(xué)習(xí)建立在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上,同時(shí)還可以提醒學(xué)生注意,由于向量有方向,因此在進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),不但要考慮大小問(wèn)題,而且要考慮方向問(wèn)題,從而使學(xué)生體會(huì)向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的聯(lián)系與區(qū)別.這樣做,有利于學(xué)生更好地把握向量加法的特點(diǎn).因此本節(jié)的主要思想方法是類比思想、數(shù)形結(jié)合思想等.三維目標(biāo)1.通過(guò)經(jīng)歷向量加法的探究,掌握向量加法概念,結(jié)合物理學(xué)實(shí)際理解向量加法的意義.能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則,并能作出已知兩向量的和向量.2.在探究活動(dòng)中,理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個(gè)運(yùn)算律的幾何意義.掌握有特殊位置關(guān)系的兩

4、個(gè)向量的和,比如共線向量、共起點(diǎn)向量、共終點(diǎn)向量等.3.通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí),使學(xué)生認(rèn)識(shí)事物之間的相互轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的作用.培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移、分類、歸納等能力,初步體會(huì)向量?jī)?nèi)容與其他知識(shí)的交匯特點(diǎn).重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):向量加法的運(yùn)算及其幾何意義. 教學(xué)難點(diǎn):對(duì)向量加法法則定義的理解.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)上一節(jié),我們一起學(xué)習(xí)了向量的有關(guān)概念,明確了向量的表示方法,了解了零向量、單位向量、平行向量、相等向量等概念,并掌握了這些概念的辨析判斷.另外,向量和我們熟悉的數(shù)一樣也可以進(jìn)行加減運(yùn)算,這一節(jié),我們先學(xué)習(xí)向量的加法.思路2.(問(wèn)題導(dǎo)入

5、)2004年大陸和臺(tái)灣沒(méi)有直航,因此春節(jié)探親,要先從臺(tái)北到香港,再?gòu)南愀鄣缴虾?這兩次位移之和是什么?怎樣列出數(shù)學(xué)式子？一位同學(xué)按以下的指令進(jìn)行活動(dòng):向北走20米,再向西走15米,再向東走5米,最后向南走10米,怎樣計(jì)算他所在的位置?由此導(dǎo)入新課.推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算,向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算呢？類比數(shù)的加法,猜想向量的加法,應(yīng)怎樣定義向量的加法？猜想向量加法的法則是什么?與數(shù)的運(yùn)算法則有什么不同?圖1活動(dòng):向量是既有大小、又有方向的量,教師引導(dǎo)學(xué)生回顧物理中位移的概念,位移可以合成,如圖1.在大型生產(chǎn)車間里,一重物被天車從A處般運(yùn)到B處,它的實(shí)際位移,可以看作水平運(yùn)動(dòng)的分位移與豎

6、直向上運(yùn)動(dòng)的分位移的合位移. 由分位移求合位移,稱為位移的合成.由物理學(xué)知識(shí)我們知道,位移合成遵循平行四邊形法則,即AB是以AC,AD為鄰邊的ACBD的對(duì)角線. 數(shù)的加法啟發(fā)我們,從運(yùn)算的角度看,可以認(rèn)為是與的和,即位移、力的合成看作向量的加法.討論結(jié)果:向量加法的定義:如圖2,已知非零向量a、b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作=a,=b,則向量叫作a與b的和,記作a+b,即a+b=+=.圖2求兩個(gè)向量和的運(yùn)算,叫作向量的加法.向量加法的法則:1向量加法的三角形法則 已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A,作=a,=b,再作向量,則向量叫作向量a與b的和,這種求向量和的作圖方法就是向量加法的三角形法則.運(yùn)

7、用這一法則時(shí)要特別注意“首尾相接”,即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn),則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量,如圖2. 位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型. 向量求和的三角形法則,可推廣至多個(gè)向量求和的多邊形法則:n個(gè)向量經(jīng)過(guò)平移,順次使前一個(gè)向量的終點(diǎn)與后一個(gè)向量的起點(diǎn)重合,組成一向量折線,這n個(gè)向量的和等于折線起點(diǎn)到終點(diǎn)的向量,即+.2向量加法的平行四邊形法則圖3如圖3,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和.我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫作向量加法的平行四邊形法則.力的合成可以看作向量加法的物理模型.

8、提出問(wèn)題對(duì)于零向量與任一向量的加法,結(jié)果又是怎樣的呢?兩共線向量求和時(shí),用三角形法則較為合適.當(dāng)在數(shù)軸上表示兩個(gè)向量時(shí),它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？思考|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關(guān)系?數(shù)的運(yùn)算和運(yùn)算律緊密聯(lián)系,運(yùn)算律可以有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.類似地,向量的加法是否也有運(yùn)算律呢?活動(dòng):觀察實(shí)際例子,教師啟發(fā)學(xué)生思考,并適時(shí)點(diǎn)撥,誘導(dǎo),探究向量的加法在特殊情況下的運(yùn)算,共線向量加法與數(shù)的加法之間的關(guān)系.數(shù)的加法滿足交換律與結(jié)合律,即對(duì)任意a,bR,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).任意向量a,b的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律?引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖進(jìn)行探索.討論結(jié)果:對(duì)于零向量與任

9、一向量,我們規(guī)定a+0=0+a=a.兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù),對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn);在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相加,它們的和仍是一個(gè)向量,對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段.當(dāng)a,b不共線時(shí),|a+b|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng)a,b共線且方向相同時(shí),|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a,b共線且方向相反時(shí),|a+b|a|-|b|(或|b|-|a|)，其中當(dāng)向量a的長(zhǎng)度大于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|a|b|;當(dāng)向量a的長(zhǎng)度小于向量b的長(zhǎng)度時(shí),|a+b|=|b|a|.一般地,我們有|a+b|a|+|b圖4如圖4,作=a,=b以AB、AD為鄰邊作ABCD,則=b,=a.因?yàn)?+=a+b,=+=

10、 b+a,所以a+b=b+a.圖5如圖5,因?yàn)?+=(+)+=(a+b)+c,=+=+(+)=a+(b+c),所以(a+b)+c=a+(b+c).綜上所述,向量的加法滿足交換律和結(jié)合律.應(yīng)用示例思路1例1 如圖6,已知向量a、b,求作向量a+b.活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生,讓學(xué)生探究分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量.在向量加法的作圖中,學(xué)生體會(huì)作法中在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O的依據(jù)它體現(xiàn)了向量起點(diǎn)的任意性.在向量作圖時(shí),一般都需要進(jìn)行向量的平移,用平行四邊形法則作圖時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)向量的起點(diǎn)放在一起,而用三角形法則作圖則要求首尾相連. 圖6 圖7 圖8解:作法一:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖7

11、),作=a,=b,則=a+b.作法二:在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O(如圖8),作=a,=b.以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB,連結(jié)OC,則=a+b.變式訓(xùn)練化簡(jiǎn):(1)+;(2);(3)+活動(dòng):根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾順次相接,再運(yùn)用向量加法的結(jié)合律調(diào)整運(yùn)算順序,然后相加.解:(1)+=+=.(2)=(=0.(3)+=+=+=+=+=0.點(diǎn)評(píng):要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法則及運(yùn)算律來(lái)求和向量.例2 長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方,常常通過(guò)輪渡進(jìn)行運(yùn)輸.如圖9所示,一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)出發(fā),以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,同時(shí)江水的速度為向東2km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實(shí)際

12、航行的速度(保留兩個(gè)有效數(shù)字);(2)求船實(shí)際航行的速度的大小與方向(用與江水速度間的夾角表示,精確到度). 圖9 圖10活動(dòng):本例結(jié)合一個(gè)實(shí)際問(wèn)題說(shuō)明向量加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用.這樣的問(wèn)題在物理中已有涉及,這里是要學(xué)生能把它抽象為向量的加法運(yùn)算,體會(huì)其中應(yīng)解決的問(wèn)題是向量模的大小及向量的方向(與某一方向所成角的大小).引導(dǎo)點(diǎn)撥學(xué)生正確理解題意,將實(shí)際問(wèn)題反映在向量作圖上,從而與初中學(xué)過(guò)的解直角三角形建立聯(lián)系.解:如圖10所示,表示船速,表示水速,以AD、AB為鄰邊作ABCD,則表示船實(shí)際航行的速度.(2)在RtABC中,|=2,|=5,所以|=5.4.因?yàn)閠anCAB=,由計(jì)算器得CAB=7

13、0.答:船實(shí)際航行速度的大小約為5.4km/h,方向與水的流速間的夾角為70.點(diǎn)評(píng):用向量法解決物理問(wèn)題的步驟為:先用向量表示物理量,再進(jìn)行向量運(yùn)算,最后回扣物理問(wèn)題,解決問(wèn)題.變式訓(xùn)練用向量方法證明對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.圖11活動(dòng):本題是一道平面幾何題,如果用純幾何的方法去思考,問(wèn)題不難解決,如果用向量法來(lái)解,不僅思路清晰,而且運(yùn)算簡(jiǎn)單.將互相平分利用向量表達(dá),以此為條件推證使四邊形為平行四邊形的向量等式成立.教師引導(dǎo)學(xué)生探究怎樣用向量法解決幾何問(wèn)題,并在解完后總結(jié)思路方法.證明:如圖11,設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,=,.AC與BD互相平分,=,=,=,因此

14、ABCD且|=|,即四邊形ABCD是平行四邊形.點(diǎn)評(píng):證明一個(gè)四邊形是平行四邊形時(shí),只需證明=或即可.而要證明一個(gè)四邊形是梯形,需證明與共線,且|.例3 輪船從A港沿東偏北30方向行駛了40n mile (海里)到達(dá)B處,再由B處沿正北方向行駛40n mile到達(dá)C處,求此時(shí)輪船與A港的相對(duì)位置.圖12解:如圖12，設(shè)、分別表示輪船的兩次位移,則表示輪船的合位移,=+.在RtADB中,ADB=90,DAB=30,|=40n mile,所以|=20n mile,|=20n mile.在RtADC中,ADC=90,|=60n mile,所以|=n mile因?yàn)閨=2|,所以CAD=60.答:輪船此

15、時(shí)位于A港東偏北60,且距A港40n mile的C處.思路2例1 如圖13,O為正六邊形ABCDEF的中心,作出下列向量:(1);(2);(3).活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生由向量的平行四邊形法則(三角形法則)作出相應(yīng)的向量.教師一定要讓學(xué)生親自動(dòng)手操作,對(duì)思路不清的學(xué)生教師適時(shí)地給予點(diǎn)撥指導(dǎo).圖13解:(1)因四邊形OABC是以O(shè)A、OC為鄰邊的平行四邊形,OB是其對(duì)角線,故=.(2)因,故與方向相同,長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度的2倍,故=.(3)因,故=0.點(diǎn)評(píng):向量的運(yùn)算結(jié)合平面幾何知識(shí),在長(zhǎng)度和方向兩個(gè)方面作文章.應(yīng)深刻理解向量的加、減法的幾何意義.例2 在小船過(guò)河時(shí),小船沿垂直河岸方向行駛的速度為v1=3.

16、46km/h,河水流動(dòng)的速度為v2=2.0 km/h,試求小船過(guò)河實(shí)際航行速度的大小和方向.圖14解:如圖14,設(shè)表示小船垂直于河岸行駛的速度,表示水流的速度,以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB,則就是小船實(shí)際航行的速度.在RtOBC中,|=v1=3.46km/h,|=v2=2.0km/h,所以|=4.0(km/h).因?yàn)閠anBOC=1.73,所以BOC60.答:小船實(shí)際航行速度的大小約為4.0km/h,方向與水流方向約成60角.變式訓(xùn)練已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),若=0,則四邊形ABCD是怎樣的四邊形?點(diǎn)O是四邊形的什么點(diǎn)?圖15活動(dòng):要判斷四邊形的形狀就必須找出四邊形邊的某些關(guān)系,如平行、相

17、等等;而要判斷點(diǎn)O是該四邊形的什么點(diǎn),就必須找到該點(diǎn)與四邊形的邊或?qū)蔷€的關(guān)系.解:如圖15所示,設(shè)點(diǎn)O是任一四邊形ABCD內(nèi)的一點(diǎn),且=0,過(guò)A作AEOD,連結(jié)ED,則四邊形AEDO為平行四邊形.設(shè)OE與AD的交點(diǎn)為M,過(guò)B作BFOC,則四邊形BOCF為平行四邊形.設(shè)OF與BC的交點(diǎn)為N,于是M、N分別是AD、BC的中點(diǎn).=0,+=0,即與的長(zhǎng)度相等,方向相反.M、O、N三點(diǎn)共線,即點(diǎn)O在AD與BC的中點(diǎn)連線上.同理,點(diǎn)O也在AB與DC的中點(diǎn)連線上.點(diǎn)O是四邊形ABCD對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn),且該四邊形可以是任意四邊形.例3 兩個(gè)力F1和F2同時(shí)作用在一個(gè)物體上,其中F1=40N,方向向東,F2

18、=30N,方向向北,求它們的合力.圖16解:如圖16,表示F1,表示F2,以O(shè)A、OB為鄰邊作OACB,則表示合力F.在RtOAC中,|=F1=40N,|=|=F2=30N.由勾股定理,得F=|=50(N).設(shè)合力F與力F1的夾角為，則tan=0.75.所以37.答：合力大小為50N，方向?yàn)闁|偏北37.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)14.課堂小結(jié)1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí):向量的加法定義,向量加法的三角形法則和平行四邊形法則,向量加法滿足交換律和結(jié)合律,幾何作圖,向量加法的實(shí)際應(yīng)用.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法:特殊與一般,歸納與類比,數(shù)形結(jié)合,分類討論,特別是通過(guò)知識(shí)遷移類比獲得新

19、知識(shí)的過(guò)程與方法.這種遷移類比的方法將把我們引向數(shù)學(xué)的王國(guó),科學(xué)的殿堂.作業(yè)如圖17所示,已知矩形ABCD中,|=4,設(shè)=a,=b,=c,試求向量a+b+c的模.圖17解:過(guò)D作AC的平行線,交BC的延長(zhǎng)線于E,DEAC,ADBE四邊形ADEC為平行四邊形.=,=.于是a+b+c=+=+=+=2,|a+b+c|=2|=8.點(diǎn)評(píng):求若干個(gè)向量的和的模(或最值)的問(wèn)題通常按下列步驟進(jìn)行:(1)尋找或構(gòu)造平行四邊形,找出所求向量的關(guān)系式;(2)用已知長(zhǎng)度的向量表示待求向量的模,有時(shí)還要利用模的重要性質(zhì).設(shè)計(jì)感想1.本節(jié)內(nèi)容是向量的加法,運(yùn)算法則有三角形法則和平行四邊形法則,而兩個(gè)法則的運(yùn)用有各自的條

20、件:三角形法則適合于首尾順次相接的兩向量相加,對(duì)于共線向量的加法仍然適合；而平行四邊形法則適合于兩個(gè)同起點(diǎn)的向量相加,對(duì)于共線向量卻不能用此法解決.三角形法則可以推廣到多個(gè)首尾順次相接的向量的加法.2.本節(jié)要求使用多媒體輔助教學(xué),便于直觀、生動(dòng)地揭示向量加法的概念,突破難點(diǎn),提高效率,因?yàn)楸竟?jié)解決問(wèn)題的方法主要是借助圖形,采用數(shù)形結(jié)合的思想方法.多讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖,識(shí)圖,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中經(jīng)歷和體會(huì)概念的形成過(guò)程.讓學(xué)生自己類比、猜想、發(fā)現(xiàn)及應(yīng)用新知識(shí)解決問(wèn)題.備課資料備用習(xí)題1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,=a,=c,=b,則|a+b+c|為( )A.0 B.3 C. D.22.設(shè)a=(+)+(

21、+),b是任一非零向量,則下列結(jié)論中正確的為( )aba+b=aa+b=b|a+b|a|+|b|a+b|=|a|+|b|A B. C. D.3.設(shè)向量a,b都不是零向量:(1)若向量a與b同向,則a+b與a的方向_,且|a+b|_|a|+|b|;(2)若向量a與b反向,且|a|b|,則a+b與a的方向_,且|a|+|b|_|a|-|b|.4.如圖18所示,已知正方體ABCDA1B1C1D1,設(shè)=a,=b,=c,則=_.(用a、b、c表示)圖185.某人在靜水中游泳,速度為4km/h,如果他徑直游向?qū)Π?水流速度為4km/h,則他實(shí)際以多大的速度沿何方向游?6.在中心為O的正八邊形A1A2A8中

22、,a0=,ai=(i=1,2,7),bj=(j=1,2,8),試化簡(jiǎn)a2+a5+b2+b5+b7.7.已知ABC為直角三角形,A=90,ADBC于D,求證:|2=|+|2+|+|2.參考答案:1.D 2.C 3.(1)相同 = (2)相同 = 4.a+b+c5.解:如圖19所示,設(shè)此人在靜水中的游泳速度為,水流速度為,則=+為此人的實(shí)際速度,易求得|=8km/h,COA=60.圖19答:此人沿與河岸的夾角為60順著水流的方向前進(jìn),速度大小為8km/h.6.解:如圖20所示,=0,a2+a5+b2+b5+b7=b5 圖20 圖217.證明:如圖21所示,以DB、DA為鄰邊作ADBE,于是+=.|=|,|+|=|.同理可得|+|=|.在RtABC中,由勾股定理,得|2=|+|2+|+|2.11