專題27 直線、平面垂直的判定和性質(zhì)一、考綱要求：1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題二、概念掌握及解題上的注意點(diǎn)：1.證明直線和平面垂直的常用方法(1）)利用判定定理.(2）)利用判定定理的推論(ab，ab).(3）)利用面面平行的性質(zhì)(a，a).(4）)利用面面垂直的性質(zhì).當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.(5）)重視平面幾何知識，特別是勾股定理的應(yīng)用.2.面面垂直的兩種證明方法(1)定義法：利用面面垂直的定義，即判定兩平面所成的二面角為直二面角，將證明面面垂直問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，把問題轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決3三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化4.平行與垂直的綜合應(yīng)用問題的主要數(shù)學(xué)思想和處理策略(1）)處理平行與垂直的綜合問題的主要數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化，要熟練掌握線線、線面、面面之間的平行與垂直的轉(zhuǎn)化.(2）)探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點(diǎn)的位置再給出證明，探索點(diǎn)的存在問題，點(diǎn)多為中點(diǎn)或三等分點(diǎn)中的某一個(gè)，也可以根據(jù)相似知識找點(diǎn).三、高考考題題例分析：例1.（2018課標(biāo)卷I節(jié)選）如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFBF（1）證明：平面PEF平面ABFD；（【答案】見解析例2.（2018課標(biāo)II節(jié)選） 如圖，在三棱錐PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)（1）證明：PO平面ABC；【答案】見解析【解析】：（1）證明：AB=BC=2，O是AC的中點(diǎn)，BOAC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，POAC，PO=2，則PB2=PO2+BO2，則POOB，OBAC=O，PO平面ABC；例3.（2018課標(biāo)卷III節(jié)選）如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)（1）證明：平面AMD平面BMC；【答案】見解析例4.（2018北京卷節(jié)選）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點(diǎn)，AB=BC=，AC=AA1=2（）求證：AC平面BEF；【答案】見解析【解析】（I）證明：E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點(diǎn)，EFCC1，CC1平面ABC，EF平面ABC，又AC平面ABC，EFAC，AB=BC，E是AC的中點(diǎn)，BEAC，又BEEF=E，BE平面BEF，EF平面BEF，AC平面BEF 3已知在空間四邊形ABCD中，ADBC，ADBD，且BCD是銳角三角形，則必有 ()A平面ABD平面ADCB平面ABD平面ABCC平面ADC平面BDC D平面ABC平面BDC4設(shè)a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則能得出ab的是 ()Aa，b， Ba，b，Ca，b， Da，b，【答案】C【解析】：選C對于C項(xiàng)，由，a可得a，又b，得ab，故選C5.如圖，在RtABC中，ABC90°，P為ABC所在平面外一點(diǎn)，PA平面ABC，則四面體P ­ABC中直角三角形的個(gè)數(shù)為()A4 B3C2 D1【答案】A【解析】：選A由PA平面ABC可得PAC，PAB是直角三角形，且PABC又ABC90°，所以ABC是直角三角形，且BC平面PAB，所以BCPB，即PBC為直角三角形，故四面體P ­ABC中共有4個(gè)直角三角形6如圖，O為正方體ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是 ()AA1DBAA1CA1D1DA1C1【答案】D【解析】易知AC平面BB1D1DA1C1AC，A1C1平面BB1D1D又B1O平面BB1D1D，A1C1B1O，故選D7設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，直線l，則“l(fā)”是“”成立的 ()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】A8已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是 ()A且mB且mCmn且nDmn且n【答案】C【解析】對于選項(xiàng)A，且m，可得m或m與相交或m，故A不成立；對于選項(xiàng)B，且m，可得m或m或m與相交，故B不成立；對于選項(xiàng)C，mn且n，則m，故C正確；對于選項(xiàng)D，由mn且n，可得m或m與相交或m，故D不成立，故選C9設(shè)a，b是夾角為30°的異面直線，則滿足條件“a，b，且”的平面，()A不存在B有且只有一對C有且只有兩對D有無數(shù)對【答案】D10在正方體ABCD­A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則 ()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC【答案】C【解析】如圖，A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，B，D錯(cuò)；A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯(cuò)故選C11如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有 () AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEF【答案】B12如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，沿AE，AF，EF把正方形折成一個(gè)四面體，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P，P點(diǎn)在AEF內(nèi)的射影為O，則下列說法正確的是 ()AO是AEF的垂心BO是AEF的內(nèi)心CO是AEF的外心DO是AEF的重心【答案】A【解析】由題意可知PA，PE，PF兩兩垂直，所以PA平面PEF，從而PAEF，而PO平面AEF，則POEF，因?yàn)镻OPAP，所以EF平面PAO，所以EFAO，同理可知AEFO，AFEO，所以O(shè)為AEF的垂心 二、填空題13如圖，BAC90°，PC平面ABC，則在ABC，PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線是_；與AP垂直的直線是_【答案】AB，BC，AC；AB【解析】PC平面ABC，PC垂直于直線AB，BC，ACABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，ABAP，故與AP垂直的直線是AB. 22.如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AMCDAB1，M為AB的三等分點(diǎn)現(xiàn)將AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，連接AB，AC (1)在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD平面MPC，請說明理由；(2)當(dāng)點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離【答案】見解析在MPC中，MPAB，MC，PC，SMPC××.點(diǎn)B到平面MPC的距離為. 11