六年級(jí)奧數(shù)圖形題22、3、4、5、6、如果一個(gè)正方形的周長(zhǎng)和一個(gè)圓的周長(zhǎng)相等，那么正方形的面積是圓面積的（）%解析：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則正方形的周長(zhǎng)為4，圓形周長(zhǎng)也是4，那么圓形的半徑=4（2）=2/ 正方形的面積=1x1=1 圓形的面積=x（2/）=4/ 正方形的面積是圓面積的：1（4/）=/43.144=78.5% 答：正方形的面積大約是圓面積的78.5%。7、一、相加法：這種方法是將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個(gè)基本規(guī)則圖形，分別計(jì)算它們的面積，然后相加求出整個(gè)圖形的面積.例如，右圖中，要求整個(gè)圖形的面積，只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就可以了（如圖）。二、相減法：這種方法是將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個(gè)基本規(guī)則圖形的面積之差.例如，右圖，若求陰影部分的面積，只需先求出正方形面積再減去里面圓的面積即可（如圖）。三、直接求法：這種方法是根據(jù)已知條件，從整體出發(fā)直接求出不規(guī)則圖形面積.如下頁(yè)右上圖，欲求陰影部分的面積，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)底2，高4的三角形，就可以直接求面積了（如圖）。四、重新組合法：這種方法是將不規(guī)則圖形拆開(kāi)，根據(jù)具體情況和計(jì)算上的需要，重新組合成一個(gè)新的圖形，設(shè)法求出這個(gè)新圖形面積即可.例如，欲求右圖中陰影部分面積，可以把它拆開(kāi)使陰影部分分布在正方形的4個(gè)角處，這時(shí)采用相減法就可求出其面積了（如圖）。五、輔助線(xiàn)法：這種方法是根據(jù)具體情況在圖形中添一條或若干條輔助線(xiàn)，使不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成若干個(gè)基本規(guī)則圖形，然后再采用相加、相減法解決即可.如右圖，求兩個(gè)正方形中陰影部分的面積.此題雖然可以用相減法解決，但不如添加一條輔助線(xiàn)后用直接法作更簡(jiǎn)便（如圖）。六、割補(bǔ)法：這種方法是把原圖形的一部分切割下來(lái)補(bǔ)在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)則圖形，從而使問(wèn)題得到解決.例如，如右圖，欲求陰影部分的面積，只需把右邊弓形切割下來(lái)補(bǔ)在左邊，這樣整個(gè)陰影部分面積恰是正方形面積的一半（如圖）.七、平移法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來(lái)平行移動(dòng)到一恰當(dāng)位置，使之組合成一個(gè)新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積.例如，如上頁(yè)最后一圖，欲求陰影部分面積，可先沿中間切開(kāi)把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個(gè)陰影部分恰是一個(gè)正方形（如圖）。八、旋轉(zhuǎn)法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來(lái)之后，使之沿某一點(diǎn)或某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補(bǔ)在另一圖形的一側(cè)，從而組合成一個(gè)新的基本規(guī)則的圖形，便于求出面積.例如，欲求上圖（1）中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180，使A與C重合，從而構(gòu)成如右圖（2）的樣子，此時(shí)陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積（如圖）.九、對(duì)稱(chēng)添補(bǔ)法：這種方法是作出原圖形的對(duì)稱(chēng)圖形，從而得到一個(gè)新的基本規(guī)則圖形.原來(lái)圖形面積就是這個(gè)新圖形面積的一半.例如，欲求右圖中陰影部分的面積，沿AB在原圖下方作關(guān)于A(yíng)B為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積（如圖）。十、重疊法：這種方法是將所求的圖形看成是兩個(gè)或兩個(gè)以上圖形的重疊部分，然后運(yùn)用“容斥原理”（SABSASB-SAB）解決。例如，欲求右圖中陰影部分的面積，可先求兩個(gè)扇形面積的和，減去正方形面積，因?yàn)殛幱安糠值拿娣e恰好是兩個(gè)扇形重疊的部分（如圖）.1、如圖，ABCG是 的長(zhǎng)方形，DEFG是 的長(zhǎng)方形。那么，三角形BCM的面積與三角形DCM面積之差是多少？解答：長(zhǎng)方形ABCG的面積是28，長(zhǎng)方形DEFG的面積是20，梯形ABEF的面積是51，從圖中可以看出，三角形BCM的面積與三角形DCM面積之差就等于梯形ABEF的面積減去長(zhǎng)方形ABCG的面積再減去長(zhǎng)方形DEFG的面積，得到結(jié)果。2、如圖所示，長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，AB= 8， AD=15四邊形BFGO的面積為_(kāi)解答：四邊形EFGO的面積=三角形AFC+ 三角形BDF- 白色部分的面積三角形AFC+三角形BDF =長(zhǎng)方形面積的一半即60，白色部分的面積等于長(zhǎng)方形面積減去陰影部分的面積，即120-70=50所以四邊形的面積:60-50=103、4. 利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。(斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的面積)梯形對(duì)角線(xiàn)連線(xiàn)后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的78.5%。4、在三角形ABC中，點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)F是中線(xiàn)AE上的點(diǎn)，其中AE3AF，并且延長(zhǎng)BF與AC相交于D，如下圖所示。若三角形ABC的面積為48，請(qǐng)問(wèn)三角形AFD的面積為多少？六年級(jí)奧數(shù)下冊(cè)：第五講 巧求面積 習(xí)題簡(jiǎn)單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會(huì)計(jì)算面積，首先要能識(shí)別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會(huì)計(jì)算這些圖形的面積.如果我們把這些圖形畫(huà)在方格紙上，不但容易識(shí)別，而且容易計(jì)算.上面左圖是邊長(zhǎng)為 4的正方形，它的面積是 44 16（格）；右圖是 35的長(zhǎng)方形，它的面積是 35 15（格）.上面左圖是一個(gè)銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 542 10（格）；右圖是一個(gè)鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4428（格）.這里特別說(shuō)明，這兩個(gè)三角形的高線(xiàn)一樣長(zhǎng)，鈍角三角形的高線(xiàn)有可能在三角形的外面.上面左圖是一個(gè)平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5 3 15（格）；右圖是一個(gè)梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是（4+7）4222（格）.上面面積計(jì)算的單位用“格”，一格就是一個(gè)小正方形.如果小正方形邊長(zhǎng)是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形邊長(zhǎng)是1米，1格就是1平方米.也就是說(shuō)我們?cè)O(shè)定一個(gè)方格的邊長(zhǎng)是1個(gè)長(zhǎng)度單位，1格就是一個(gè)面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長(zhǎng)度或面積，省略了相應(yīng)的長(zhǎng)度單位和面積單位.一、三角形的面積用直線(xiàn)組成的圖形，都可以劃分成若干個(gè)三角形來(lái)計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是：三角形面積= 底高2.這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會(huì)靈活運(yùn)用.例1右圖中BD長(zhǎng)是4，DC長(zhǎng)是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢？解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4高2.三角形 ADC面積=2高2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底，和相應(yīng)的三條高.例2右圖中，BD，DE，EC的長(zhǎng)分別是2，4，2.F是線(xiàn)段AE的中點(diǎn)，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解：BC 2 4 2 8.三角形 ABC面積= 8 4216.我們把A和D連成線(xiàn)段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長(zhǎng)是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形 DFE面積= 1644.例3右圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個(gè)長(zhǎng)方形，它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影部分高都與BE一樣長(zhǎng).而三個(gè)三角形底邊的長(zhǎng)加起來(lái)，就是FE的長(zhǎng).因此這三個(gè)三角形的面積之和是FEBE2，它恰好是長(zhǎng)方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長(zhǎng)方形，它內(nèi)部三個(gè)三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長(zhǎng)方形ABCD面積的一半，也就是20122120.通過(guò)方格紙，我們還可以從另一個(gè)途徑來(lái)求解.當(dāng)我們畫(huà)出中間兩個(gè)三角形的高線(xiàn)，把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后，圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長(zhǎng)方形的一半，而長(zhǎng)方形ABCD是由這若干個(gè)長(zhǎng)方形拼成.因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長(zhǎng)方形ABCD面積的的一半.例4右圖中，有四條線(xiàn)段的長(zhǎng)度已經(jīng)知道，還有兩個(gè)角是直角，那么四邊形ABCD（陰影部分）的面積是多少？解：把A和C連成線(xiàn)段，四邊形ABCD就分成了兩個(gè)，三角形ABC和三角形ADC.對(duì)三角形ABC來(lái)說(shuō)，AB是底邊，高是10，因此面積=4102 20.對(duì)三角形 ADC來(lái)說(shuō)， DC是底邊，高是 8，因此面積=78228.四邊形 ABCD面積= 20 28 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線(xiàn)有可能是在三角形的外面.例5在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形BEF，線(xiàn)段AE3，DF2，求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積三角形 ABE面積=362 9.三角形 BCF面積= 6（6-2）2 12.三角形 DEF面積=2（6-3）2 3.我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出：三角形 BEF面積=66-9-12-312.例6在右圖中，ABCD是長(zhǎng)方形，三條線(xiàn)段的長(zhǎng)度如圖所示，M是線(xiàn)段DE的中點(diǎn)，求四邊形ABMD（陰影部分）的面積.解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們?cè)O(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長(zhǎng)方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線(xiàn)段連起來(lái)，將三角形DCE分成兩個(gè)三角形.三角形 DCE的面積是 7227.因?yàn)镸是線(xiàn)段DE的中點(diǎn)，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 723.5.因?yàn)?BE 8是 CE 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是3.5414.長(zhǎng)方形 ABCD面積=7（82）=70.四邊形 ABMD面積=70-7- 14 49.二、有關(guān)正方形的問(wèn)題先從等腰直角三角形講起.一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊一樣長(zhǎng)，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角（90度），還有兩個(gè)角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形.兩個(gè)一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個(gè)正方形，如圖（a）.四個(gè)一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個(gè)正方形，如圖（b）.一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長(zhǎng)，從圖（a）知，它的面積是直角邊長(zhǎng)的平方2.當(dāng)知道它的斜邊長(zhǎng)，從圖（b）知，它的面積是斜邊的平方4例7右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成.第一個(gè)三角形兩條直角邊長(zhǎng)是8.后一個(gè)三角形的直角邊長(zhǎng)，恰好是前一個(gè)斜邊長(zhǎng)的一半，求這個(gè)圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道，前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形，等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半，第一個(gè)等腰直角三角形的面積是88232.這一個(gè)圖形的面積是3216 8 4 21 63.例8如右圖，兩個(gè)長(zhǎng)方形疊放在一起，小長(zhǎng)形的寬是2，A點(diǎn)是大長(zhǎng)方形一邊的中點(diǎn)，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？解：為了說(shuō)明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母 D，E，F(xiàn)，G.三角形ABC的面積=2222.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長(zhǎng)，因此三角形 ADE面積=ABC面積24.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長(zhǎng).因此三角形EFG面積=ABC面積21.陰影部分的總面積是 415.例9如右圖，已知一個(gè)四邊形ABCD的兩條邊的長(zhǎng)度AD7，BC3，三個(gè)角的度數(shù)：角 B和D是直角，角A是45.求這個(gè)四邊形的面積.解：這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE，切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE.因?yàn)锳是45，角D是90，角E是180-45-90 45，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差，即772-33220.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來(lái)試題圖上并沒(méi)有畫(huà)出虛線(xiàn)三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對(duì)這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線(xiàn)AC把圖形分成兩個(gè)直角三角形，并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的，這就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這樣做，角 A是 45，這一條件還用得上嗎？圖形上線(xiàn)段相等，兩個(gè)三角形相等，是不能靠眼睛來(lái)測(cè)定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過(guò)幾何，千萬(wàn)不要隨便對(duì)圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線(xiàn)索.有45和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問(wèn)題.例10在右圖 1115的長(zhǎng)方形內(nèi)，有四對(duì)正方形（標(biāo)號(hào)相同的兩個(gè)正方形為一對(duì)），每一對(duì)是相同的正方形，那么中間這個(gè)小正方形（陰影部分）面積是多少？解：長(zhǎng)方形的寬，是“一”與“二”兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，是“一”、“三”與“二”三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)之和.長(zhǎng)-寬 =15-114是“三”正方形的邊長(zhǎng).寬又是兩個(gè)“三”正方形與中間小正方形的邊長(zhǎng)之和，因此中間小正方形邊長(zhǎng)=11-423.中間小正方形面積=33 9.如果把這一圖形，畫(huà)在方格紙上，就一目了然了.例11從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長(zhǎng)方形土地（見(jiàn)圖），剩下的長(zhǎng)方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長(zhǎng)方形土地的面積.解：剩下的長(zhǎng)方形土地，我們已知道長(zhǎng)-寬=1（米）.還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長(zhǎng)與寬之和呢？如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問(wèn)題了.我們把長(zhǎng)和寬拼在一起，如右圖.從這個(gè)圖形還不能算出長(zhǎng)與寬之和，但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形，如下圖就拼成一個(gè)大正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之和.可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞.它也是一個(gè)正方形，仔細(xì)觀(guān)察一下，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它的邊長(zhǎng)，恰好是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：15.754+11 64（平方米）.64是88，大正方形邊長(zhǎng)是 8米，也就是說(shuō)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)+寬=8（米）.因此長(zhǎng)=（81）2 4.5（米）.寬=8-4.53.5（米）.那么劃出的長(zhǎng)方形面積是4.514. 5（平方米）.例12如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長(zhǎng)是6，求三角形AEG（陰影部分）的面積.解：四邊形AECD是一個(gè)梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此四邊形AECD面積=（小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)）大正方形邊長(zhǎng)2三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長(zhǎng)DG=（小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)），因此三角形ADG面積=（小正方形邊長(zhǎng)+大正方形邊長(zhǎng)）大正方形邊長(zhǎng)2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有陰影部分面積=三角形ECG面積=小正方形面積的一半= 66218.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長(zhǎng)有關(guān)，而與大正方形邊長(zhǎng)卻沒(méi)有關(guān)系.三、其他的面積這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來(lái)不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請(qǐng)讀者仔細(xì)體會(huì).例13畫(huà)在方格紙上的一個(gè)用粗線(xiàn)圍成的圖形（如右圖），求它的面積.解：直接計(jì)算粗線(xiàn)圍成的面積是困難的，我們通過(guò)扣除周?chē)叫魏椭苯侨切蝸?lái)計(jì)算.周?chē)≌叫斡?個(gè)，面積為1的三角形有5個(gè)，面積為1.5的三角形有1個(gè)，因此圍成面積是44-3-5-1.56.5.例6與本題在解題思路上是完全類(lèi)同的.例14下圖中 ABCD是 68的長(zhǎng)方形，AF長(zhǎng)是4，求陰影部分三角形AEF的面積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長(zhǎng)，直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB，底邊AB，就是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬，即BC的長(zhǎng)，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長(zhǎng)方形面積的一半，而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長(zhǎng)是知道的，很容易算出它的面積.因此三角形AEF面積（三角形 AEB面積）-（三角形 AFB面積）862-482 8.這一例題告訴我們，有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問(wèn)題.前面例9的解法，也是這種思路.例15下左圖是一塊長(zhǎng)方形草地，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長(zhǎng)方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長(zhǎng)方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與 102的長(zhǎng)方形面積相等.可以設(shè)想，把這個(gè)平行四邊形換成 102的長(zhǎng)方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前頁(yè)右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來(lái)一樣大小，因此草地面積=（16-2）（10-2） 112.例16右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實(shí)際上，陰影部分是一個(gè)梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來(lái)求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長(zhǎng)減去3，高就是DC的長(zhǎng).因此陰影部分面積等于梯形 ABCD面積=（88-3）52 32.5.上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對(duì)圖形的觀(guān)察能力.例17下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，F(xiàn)E，EC都等于3， CB， BD都等于 4.求這個(gè)圖形的面積.解：兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=（333）4218.三角形CDE面積=（44） 3212.這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊部分-四邊形BCEG，只要減去這個(gè)重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因?yàn)?AF FE EC3，所以 AGF， FGE， EGC是三個(gè)面積相等的三角形.因?yàn)镃BBD4，所以CGB，BGD是兩個(gè)面積相等的三角形.2三角形DEC面積= 22（三角形 GBC面積）2（三角形 GCE面積）.三角形ABC面積= （三角形 GBC面積）3（三角形GCE面積）.四邊形BCEG面積=（三角形GBC面積）（三角形GCE面積）=（21218）58.4.所求圖形面積=12 18- 8.421.6.例18如下頁(yè)左圖，ABCG是47長(zhǎng)方形，DEFG是 210長(zhǎng)方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來(lái)是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來(lái)是兩個(gè)長(zhǎng)方形的和.（三角形BCM面積）-（三角形DEM面積）=（梯形ABEF面積）-（兩個(gè)長(zhǎng)方形面積之和=（710）（42）2-（47 210）=3.例19上右圖中，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)了一些直線(xiàn)，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少？解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長(zhǎng)方形中沒(méi)有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此（三角形 ABC面積）+（三角形CDE面積）（134935）（長(zhǎng)方形面積）（陰影部分面積）.三角形ABC，底是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，高是長(zhǎng)方形的寬；三角形CDE，底是長(zhǎng)方形的寬，高是長(zhǎng)方形的長(zhǎng).因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長(zhǎng)方形面積的一半，就有陰影部分面積=13 49 35 97.一、四種常見(jiàn)幾何體的平面展開(kāi)圖1.正方體沿正方體的某些棱將正方體剪開(kāi)鋪平，就可以得到它的平面展開(kāi)圖，這一展開(kāi)圖是由六個(gè)全等的正方形組成的，見(jiàn)圖61。圖6l只是正方體平面展開(kāi)圖的一種畫(huà)法，還有別的畫(huà)法（從略）。2.長(zhǎng)方體沿長(zhǎng)方體的某些棱將長(zhǎng)方體剪開(kāi)鋪平，就可以得到它的平面展開(kāi)圖。這一展開(kāi)圖是六個(gè)兩兩彼此全等的長(zhǎng)方形組成的，見(jiàn)圖62。圖62只是長(zhǎng)方體平面展開(kāi)圖的一種畫(huà)法，還有別的畫(huà)法（從略）。3.（直）圓柱體沿圓柱的一條母線(xiàn)和側(cè)面與上、下底面的交線(xiàn)將圓柱剪開(kāi)鋪平，就得到圓柱體的平面展開(kāi)圖。它由一個(gè)長(zhǎng)方形和兩個(gè)全等的圓組成，這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓柱底面圓的周長(zhǎng)，寬是圓柱體的高。這個(gè)長(zhǎng)方形又叫圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖。圖63就是圓柱的平面展開(kāi)圖。4.（直）圓錐體沿圓錐體的一條母線(xiàn)和側(cè)面與下底面圓的交線(xiàn)將圓錐體剪開(kāi)鋪平，就得到圓錐的平面展開(kāi)圖。它是由一個(gè)半徑為圓錐體的母線(xiàn)長(zhǎng)，弧長(zhǎng)等于圓錐體底面圓的周長(zhǎng)的扇形和一個(gè)圓組成的，這個(gè)扇形又叫圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖。具體圖形見(jiàn)圖64。二、四種常見(jiàn)幾何體表面積與體積公式1.長(zhǎng)方體長(zhǎng)方體的表面積=2（ab+bc+ca）長(zhǎng)方體的體積=abc（這里a、b、c分別表示長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高）。2.正方體正方體的表面積=6a2正方體的體積=a3（這里a為正方體的棱長(zhǎng)）。3.圓柱體圓柱體的側(cè)面積=2Rh圓柱體的全面積=2Rh+2R2=2R（h+R）圓柱體的體積=R2h（這里R表示圓柱體底面圓的半徑，h表示圓柱的高）。4.圓錐體圓錐體的側(cè)面積=Rl圓錐體的全面積=Rl+R2母線(xiàn)長(zhǎng)與高）。三、例題選講例1圖65中的幾何體是一個(gè)正方體，圖66是這個(gè)正方體的一個(gè)平面展開(kāi)圖，圖67（a）、（b）、（c）也是這個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，但每一展開(kāi)圖上都有四個(gè)面上的圖案沒(méi)畫(huà)出來(lái)，請(qǐng)你給補(bǔ)上。分析與解：從圖65和圖66中可知：與；與；與互相處于相對(duì)面的位置上。只要在圖67（a）、（b）、（c）三個(gè)展開(kāi)圖中，判定誰(shuí)與誰(shuí)處在互為對(duì)面的位置上，則標(biāo)有數(shù)字的四個(gè)空白面上的圖案便可以補(bǔ)上。先看圖67中的（a），仔細(xì)觀(guān)察可知，1與4，3與處在互為對(duì)面的位置上。再看圖67中的（b），同上，1與3，2與處在互為對(duì)面的位置上。最后再看圖67中的（c），同上，1與，2與4處在互為對(duì)面的位置上。圖67（a）、（b）、（c）標(biāo)有數(shù)字的空白面上的圖案見(jiàn)圖68中的（a）、（b）、（c）。例2圖69中的幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體，四邊形APQC是長(zhǎng)方體的一個(gè)截面（即過(guò)長(zhǎng)方體上四點(diǎn)A、P、Q、C的平面與長(zhǎng)方體相交所得到的圖形），P、Q分別為棱A1B1、B1C1的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)诖碎L(zhǎng)方體的平面展圖上，標(biāo)出線(xiàn)段AC、CQ、QP、PA來(lái)。分析與解：只要能正確畫(huà)出圖69中長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖，問(wèn)題便能迎刃而解。圖610中的粗實(shí)線(xiàn)，就是題目中所要標(biāo)出的線(xiàn)段AC、CQ、QP、PA。例3在圖611中，M、N是圓柱體的同一條母線(xiàn)上且位于上、下底面上的兩點(diǎn)，若從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N，沿怎么樣的路線(xiàn)路程最短？分析與解：沿圓柱體的母線(xiàn)MN將圓柱的側(cè)面剪開(kāi)鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，見(jiàn)圖612，從M點(diǎn)繞圓柱體的側(cè)面到達(dá)N點(diǎn)。實(shí)際上是從側(cè)面展開(kāi)圖的長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)M到達(dá)不相鄰的另一個(gè)頂點(diǎn)N。而兩點(diǎn)間以線(xiàn)段的長(zhǎng)度最短。所以最短路線(xiàn)就是側(cè)面展開(kāi)圖中長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線(xiàn)，見(jiàn)圖612和圖613。例4圖614中的幾何體是一棱長(zhǎng)為4厘米的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為2厘米，深為1厘米的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少（=3.14）？分析與解：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2厘米，而孔深只有1厘米，所以正方體沒(méi)有被打透。這一來(lái)打孔后所得幾何體的表面積，等于原來(lái)正方體的表面積，再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積、這六個(gè)圓柱的高為1厘米，底面圓的半徑為1厘米。正方體的表面積為426=96（平方厘米）一個(gè)圓柱的側(cè)面積為211=6.28（平方厘米）幾何體的表面積為96+6.286=133.68（平方厘米）答：（略）例5圖615是由18個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的小正方體拼成的幾何體，求此幾何體的表面積是多少？分析與解：從圖615中可以看出，18個(gè)小正方體一共擺了三層，第一層2個(gè)，第二層7個(gè)，因?yàn)?8-7-2=9，所以第三層擺了9個(gè)。另外，上、下兩個(gè)面的表面積是相同的，同樣，前、后；左、右兩個(gè)面的表面積也是分別相同的。因?yàn)樾≌襟w的棱長(zhǎng)是1厘米，所以上面的表面積為129=9（平方厘米） 前面的表面積為128=8（平方厘米）左面的表面積為127=7（平方厘米） 幾何體的表面積為92+82+72= 答：（略）例6圖616中所示圖形，是一個(gè)底面直徑為20厘米的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯，水中放著一個(gè)底面直徑為6厘米，高20厘米的一個(gè)圓錐體鉛錘，當(dāng)鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降幾厘米？（=3.14）分析與解：因?yàn)椴ＡП菆A柱形的，所以鉛錘取出后，水面下降部分實(shí)際是一個(gè)小圓柱，這個(gè)圓柱的底面與玻璃杯的底面一樣，是一直徑為20厘米的圓，它的體積正好等于圓錐體鉛錘的體積，這個(gè)小圓柱的高就是水面下降的高度。因?yàn)閳A錐形鉛錘的體積為設(shè)水面下降的高度為x，則小圓柱的體積為x（202）2x=100 x（立方厘米）所以有下列方程：60=100 x，解此方程得：x=0.6（厘米）答：鉛錘取出后，杯中水面下降了0.6厘米。例7橫截面直徑為2分米的一根圓鋼，截成兩段后，兩段表面積的和為75.36平方分米，求原來(lái)那根圓鋼的體積是多少（=3.14）？分析與解：根據(jù)圓柱體的體積公式，體積=底面積高。假設(shè)圓鋼長(zhǎng)為x，因?yàn)閷A鋼截成兩段后，兩段表面積的和，等于圓鋼的側(cè)面積加上四個(gè)底面圓的面積，所以有下面式子：2（22）x+4（22）2=2x+4根據(jù)題目中給出的已知條件，可得下面方程：2x+4=75.36解方程：圓鋼的體積為（22）21031.4（立方分米）答：（略）。例8一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為10厘米、圓心角為216的扇形，求此圓錐的體積是多少（=3.14）？分析與解：要想求出圓錐的體積，就要先求出它的底面圓的半徑與高。按題意畫(huà)圖617。在圖617中，字母R、h分別表示底面圓的半徑和圓錐體的高，根據(jù)弧長(zhǎng)公式：弧長(zhǎng)=2Rn360（這里R是圓的半徑，n為弧所對(duì)圓心角的度數(shù)），便可求出弧長(zhǎng)來(lái)。這個(gè)弧長(zhǎng)就是底面圓的周長(zhǎng)，再利用周長(zhǎng)公式，就可求出底面圓的半徑R。另外從圖617中可以看出：圓錐的高、母線(xiàn)、底面圓的半徑正好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，利用勾股定理便可求出圓錐的高h(yuǎn)。所以 2R=12，得R=6（厘米）在直角三角形中，根據(jù)勾股定理有：102=h2+R2，即h2=102-R2 =100-36=64，h=8（厘米）答：（略）例9圖618中的圖形是一個(gè)正方體，H、G、F分別是棱AB、AD、AA1的中點(diǎn)?，F(xiàn)在沿三角形GFH所在平面鋸掉正方體的一個(gè)角，問(wèn)鋸掉的這塊的體積是原正方體體積的幾分之幾？分析與解：因?yàn)殇彽舻氖橇⒎襟w的一個(gè)角，所以HA與AG、AF都垂直。即HA垂直于三角形AGF所在的立方體的上底面，實(shí)際上鋸掉的這個(gè)角，是以三角形AGF為底面，H為頂點(diǎn)的一個(gè)三棱錐，如果我們假設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則正方體的體積為a3。三棱錐的底面是直角三角形AGF，而角FAG為90，G、F又分別為AD、而三棱錐的體積等于底面積與高的乘積再除以3，所以鋸掉的那一角的體積為答：（略）例10圖619是一個(gè)里面裝有水的三棱柱封閉容器，圖620是這個(gè)三棱柱的平面展開(kāi)圖。當(dāng)以A面作為底面放在桌面上時(shí)，水高2厘米，如果以B面與C面分別作為底面放在桌面上時(shí)，水面高各為多少厘米？分析與解：我們先求以A面作為底面放在桌面上時(shí)容器內(nèi)的水的體積。此時(shí)水的體積，與以梯形FJQP為底面、JI為高的棱柱的體積相等。棱柱的體積等于底面積乘以高，從圖620可以看出，此棱柱的高JI為12厘米，梯形FJQP的下底FJ為3厘米，高QJ為2厘米。因?yàn)镻TJQ是個(gè)長(zhǎng)方形，所以QJ=PT=2厘米，而Q點(diǎn)是GJ的中點(diǎn)，PQ平行于FJ，這樣可以推算出QP為FJ的一半，為1.5厘米，這一來(lái)梯形FJQP的面積為以C面為底面時(shí)，水的體積與以C（即三解形EHI）為底面，高為某數(shù)值此時(shí)水面的高度為：546=9（厘米）以B面作為底面時(shí)，原來(lái)以A面為底面時(shí)不裝水的那一部分，現(xiàn)在應(yīng)裝水，原來(lái)裝水的某一部分現(xiàn)在應(yīng)空出來(lái)，下面來(lái)討論這兩份之間的數(shù)量關(guān)系。為方便起見(jiàn)，我們把C面適當(dāng)放大成圖621，在圖621中，因?yàn)镻Q平行于FJ，PT垂直于FJ，所以JQPT是一長(zhǎng)方圖6ZI形，故JQ、PT、QG的長(zhǎng)都是2厘米，TJ、PQ的長(zhǎng)為1.5厘米，因?yàn)镕J長(zhǎng)為3厘米，所以FT的長(zhǎng)也為1.5厘米，這一來(lái)三角形FPT與PQG的形狀一樣，面積相等。這便說(shuō)明原來(lái)以三角形PFT為底面，JI為高的裝水的棱柱的體積，與現(xiàn)在以三角形PQG為底面，JI為高裝水的棱柱的體積是相等的。所以以B面為底面時(shí)，水面的高度等于PQ的長(zhǎng)度，即水面高為1.5厘米。答：（略）