專題六 函數(shù)與方程中的等高線一、問題的提出【2015高考天津理8】已知函數(shù) 函數(shù) ，其中，若函數(shù) 恰有4個零點，則的取值范圍是( )（A） （B） （C） （D）設(shè),借助地理中的名詞,我們把稱作函數(shù)的等高線,利用函數(shù)的等高線求解與交點橫坐標(biāo)有關(guān)的問題,也是高考的一個熱點,求解這類問題一般要借助函數(shù)圖象和函數(shù)性質(zhì),綜合性較強,對解題能力要求較高,故此類問題難度較大,一般作為客觀題壓軸題出現(xiàn).下面我們就來探討這一類問題的解法.二、問題的探源首先給出上面一題的解法：由得，所以，即,所以恰有4個零點等價于方程有4個不同的解，即函數(shù)與函數(shù)的圖象的4個公共點，由圖象可知.從上面的解法我們可以看出,解決此類問題一般要先畫出函數(shù)的圖象,再根據(jù)圖像探討函數(shù)的性質(zhì),然后利用函數(shù)性質(zhì)進行求解,類型主要有以下3種：1.對稱性求解等高線對應(yīng)的交點橫坐標(biāo)之和.求解此類問題常用的一個結(jié)論是：若關(guān)于直線對稱,則；2. 對稱性求解等高線對應(yīng)的交點橫坐標(biāo)之積.求解此類問題常用的結(jié)論是：若直線與函數(shù)有兩個不同交點,則,對任意等 ；3. 求等高線對應(yīng)的交點橫坐標(biāo)函數(shù)的范圍.求解此類問題一般是把所給式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一交點橫坐標(biāo)的函數(shù),再由圖象確定該交點橫坐標(biāo)的范圍,然后利用函數(shù)或不等式求范圍.三、問題的佐證1.對稱性求解等高線對應(yīng)的交點橫坐標(biāo)之和【例1】已知函數(shù),且對于任意實數(shù)關(guān)于的方程都有四個不相等的實根,則的取值范圍是（ ）（A） （B）（C） （D）【解析】根據(jù)函數(shù)圖像可得,由于,因此,故應(yīng)選C.【例2】【2014上海,理12】設(shè)常數(shù)a使方程在閉區(qū)間0,2上恰有三個解，則 . 【答案】2. 對稱性求解等高線對應(yīng)的交點橫坐標(biāo)之積；【例3】已知,是互不相同的正數(shù), 且,則的取值范圍是（ ）A B C D【解析】不妨設(shè),由圖像知,所以,選D.【例4】設(shè)函數(shù),且關(guān)于的方程恰有個不同的實數(shù)根,則的取值范圍是 （ ）A B C D【解析】 首先畫出函數(shù)的圖像,如下圖所示.由圖可知,滿足方程恰有個不同的實數(shù)根,且,其的取值范圍為.由題意知,是的根,即,所以,且,所以,故應(yīng)選.3. 求等高線對應(yīng)的交點橫坐標(biāo)函數(shù)的范圍.【例5】已知函數(shù),若存在常數(shù)使得方程有兩個不等的實根,（）,那么的取值范圍為（ ）A B C D【點睛】本題是分段函數(shù),因此分段求得函數(shù)的值域后,結(jié)合函數(shù)圖象可得,結(jié)合求值式,因此可變?yōu)橐粋€二次函數(shù),由二次函數(shù)知識可得范圍在解函數(shù)問題時,函數(shù)圖象可幫助我們得出結(jié)論,得出解題方法,幫助我們尋找到解題思路4. 已知零點運用等高線求參數(shù)的范圍.【例6】【2015高考湖南】若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】由函數(shù)有兩個零點，可得有兩個不等的根，從而可得函數(shù) 函數(shù)的圖象有兩個交點，結(jié)合函數(shù)的圖象可得，故答案為：.【點睛】已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)取值范圍常用的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解【例7】【2014江蘇】已知是定義在上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)時，若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點（互不相同），則實數(shù)的取值范圍是 .【答案】【解析】作出函數(shù)的圖象，可見，當(dāng)時，方程在上有10個零點，即函數(shù)和圖象與直線在上有10個交點，由于函數(shù)的周期為3，因此直線與函數(shù)的應(yīng)該是4個交點，則有【點晴】研究函數(shù)性質(zhì)時一般要借助于函數(shù)圖像，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想；方程解的問題常轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題來解決圖像的應(yīng)用常見的命題角度有：(1)確定方程根的個數(shù)；(2)求參數(shù)的取值范圍； (3)求不等式的解集.四、問題的解決1已知,若、互不相等, 且,則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】不妨令,要滿足,則有,故選C.【評注】本題主要考查了函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的圖象,對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等知識點本題的有兩個關(guān)鍵點：一是關(guān)于對稱,由此得到；二是值域滿足,可得由此可得第二是本題的難點,本題也可結(jié)合函數(shù)的圖象來研究本題難度中等2.已知函數(shù),若函數(shù)恰有三個互不相同的零點,則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】 A【解析】不妨設(shè),由圖像得,所以,當(dāng)時,所以的取值范圍是,選A.【評注】（1）運用函數(shù)圖象解決問題時,先要正確理解和把握函數(shù)圖象本身的含義及其表示的內(nèi)容,熟悉圖象所能夠表達的函數(shù)的性質(zhì).（2）在研究函數(shù)性質(zhì)特別是單調(diào)性、最值、零點時,要注意用好其與圖象的關(guān)系,結(jié)合圖象研究.3記表示中較小的數(shù),比如.設(shè)函數(shù),若（互不相等）,則的取值范圍為（ ）A B C D【答案】.A【評注】在涉及到函數(shù)的零點,方程的解的范圍,方程解的個數(shù)問題時通常采用數(shù)形結(jié)合法,把方程解轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點（較多是直線與函數(shù)圖象交點）,通過圖象觀察結(jié)論,尋找方法4.【2015高考北京】如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（ ）A BC D【答案】C【解析】如圖所示，把函數(shù)的圖象向左平移一個單位得到的圖象時兩圖象相交，不等式的解為，用集合表示解集選C【點睛】本題考查作基本函數(shù)圖象和函數(shù)圖象變換及利用函數(shù)圖象解不等式 等有關(guān)知識，本題屬于基礎(chǔ)題，首先是函數(shù)圖象平移變換，把沿軸向左平移2個單位，得到的圖象，要求正確畫出畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合寫出不等式的解集.5已知,若,則實數(shù)的取值范圍是（ ）A BC D【答案】A【解析】設(shè),作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖知由,得,所以令,則令,得令,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以又因為當(dāng)時,所以,故選A6. 【2014湖北卷10】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【點睛】將含絕對值的函數(shù)、函數(shù)的奇偶性、分段函數(shù)和不等式等內(nèi)容聯(lián)系在一起，凸顯了知識之間的聯(lián)系性、綜合性，體現(xiàn)了函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用，能較好的考查學(xué)生的作圖能力和綜合能力.其解題的關(guān)鍵是正確地畫出分段函數(shù)的圖像并通過函數(shù)圖像建立不等關(guān)系.7已知函數(shù),若存在實數(shù),滿足,且,則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】. B【解析】在平面直角坐標(biāo)系中,作出函數(shù)的圖象如圖所示：因為存在實數(shù),滿足,且,所以由圖象知：,當(dāng)時,直線與函數(shù)的圖象有個交點,直線越往上平移,的值越小,直線直線越往下平移,的值越大,因為當(dāng)時,當(dāng)時,所以的取值范圍是,故選B8. 已知函數(shù),若方程有四個不同的解,且,則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】B【解析】畫出函數(shù)的圖象,如圖,結(jié)合圖象可知,所以,因,故的取值范圍是,故應(yīng)選B【評注】函數(shù)的圖象是函數(shù)的定義域和值域在平面直角坐標(biāo)系中具體體現(xiàn),是數(shù)形結(jié)合的平臺和橋梁本題考查的是函數(shù)圖象在確定函數(shù)的圖象交點中運用問題解答時充分利用題設(shè)中所提供的有效信息進行分析和判斷,其目的是檢測運用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力及運用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題思維意識解答本題的關(guān)鍵是能認(rèn)識到四個根之間具有這兩個關(guān)系,從而將問題進行化歸為求函數(shù)的值域問題9函數(shù)ym有兩個零點,則m的取值范圍是_【答案】（0，1）【解析】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出y1和y2m的圖象,如圖所示,由于函數(shù)有兩個零點,故0<m<1.10. 【2015高考安徽】在平面直角坐標(biāo)系中，若直線與函數(shù)的圖像只有一個交點，則的值為 .【答案】 【解析】在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出的大致圖像，如下圖：由題意，可知11.先看下面一道試題：已知函數(shù),若,互不相等,且,則的取值范圍是 .【答案】（10,12）【解析】作出函數(shù)的圖象如圖所示,不妨設(shè),則,所以,則,故選A.12.已知函數(shù),若方程有四個不同的實數(shù)根（其中）,則的取值范圍是_【答案】13. 【2014天津高考】已知函數(shù)，若方程恰有4個互異的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為_【答案】【解析】（方法一）在同一坐標(biāo)系中畫和的圖象（如圖），問題轉(zhuǎn)化為與圖象恰有四個交點當(dāng)與（或與）相切時，與圖象恰有三個交點把代入，得，即，由，得，解得或又當(dāng)時，與僅兩個交點，或（方法二）顯然，令，則，結(jié)合圖象可得或14.【2016高考山東理數(shù)】已知函數(shù) 其中，若存在實數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是_.【答案】 - 15 -