第6講三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)考情分析高考對三角函數(shù)的圖象的考查有：利用“五點法”作出圖象、圖象變換、由三角函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)的性質(zhì)、由三角函數(shù)的部分圖象確定解析式等三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的一個重要考點，它既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題，常通過三角變換將其轉(zhuǎn)化為yAsin(x)的形式，再研究其性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)熱點題型分析熱點1三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.利用三角函數(shù)的定義時應(yīng)注意三角函數(shù)值僅與終邊位置有關(guān)，與終邊上點的位置無關(guān)2.應(yīng)用誘導(dǎo)公式時要弄清三角函數(shù)在各個象限的符號，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡時要遵循一定的原則，如切化弦、化異為同、化高為低、化繁為簡等3.已知tan的值，求關(guān)于sin與cos的齊n次分式的值：分子、分母同除以cosn，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的式子求解1.若tan，則cos22sin2等于()A. B. C1 D.答案A解析tan，則cos22sin2.2.(2017·北京高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱若sin，則cos()_.答案解析由題意知2k(kZ)，2k(kZ)，sinsin，coscos.又sin，cos()coscossinsincos2sin22sin212×1.第1題中易忽略sin2cos21的應(yīng)用，想不到將所求式子的分母看作“1”，利用代換后轉(zhuǎn)化為“切”，然后求解第2題易錯點有二：一是不能把角與角的終邊關(guān)于y軸對稱正確轉(zhuǎn)化出角與角的關(guān)系；二是由2k(kZ)不能利用誘導(dǎo)公式正確得出角與角的正余弦之間的關(guān)系.熱點2三角函數(shù)的圖象與解析式1.已知函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0)的圖象求解析式時，常采用待定系數(shù)法，由圖中的最高點、最低點或特殊點求A；由函數(shù)的周期確定；確定常根據(jù)“五點法”中的五個點求解，一般把第一個零點作為突破口，可以從圖象的升降找到第一個零點的位置2.在圖象變換過程中務(wù)必分清是先相位變換，還是先周期變換周期變換只是相對于自變量x而言的，如果x的系數(shù)不是1，就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向題型1三角函數(shù)的圖象與變換(2017·全國卷)已知曲線C1：ycosx，C2：ysin，則下面結(jié)論正確的是()A.把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B.把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C.把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D.把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2答案D解析解法一：因為C2：ysincoscos，把C1：ycosx圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)cos2x，再把ycos2x圖象上各點的橫坐標(biāo)向左平移個單位得到C2.故選D.解法二：因為C2：ysincoscos，把C1：ycosx圖象上各點的橫坐標(biāo)向左平移個單位得到y(tǒng)cos，再把ycos圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫紺2.故選D.變換前后，函數(shù)的名稱要一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為同名函數(shù)如本題易錯點有二：一是不改變函數(shù)名直接伸縮，平移而出錯；二是解法一中先伸縮后平移的改變量出錯.題型2利用三角函數(shù)圖象求解析式已知函數(shù)f(x)2sin(x)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象與函數(shù)yg(x)的圖象重合，則()A.g(x)2sin Bg(x)2sinC.g(x)2sin2x Dg(x)2sin答案A解析根據(jù)函數(shù)f(x)2sin(x)的部分圖象，可得T·，2，利用f0，可得·2·0，故f(x)2sin，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度后，所得圖象與函數(shù)yg(x)的圖象重合，故g(x)2sin2sin，故選A.本題易錯點有二：一是不能由圖象得出T的值，從而不能正確得出；二是判斷不準(zhǔn)零點x對應(yīng)的是x0還是x，從而影響的正確得出一般地，利用零點時，圖象上升時與x軸的交點：x0；圖象下降時與x軸的交點：x.如果求出的值不在指定范圍內(nèi)，可以通過加減的整數(shù)倍達(dá)到目的.熱點3三角函數(shù)的性質(zhì)(高頻考點)求解函數(shù)yAsin(x)的性質(zhì)問題的三種意識：(1)轉(zhuǎn)化意識：利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)Asin(x)的形式(2)整體意識：類比ysinx的性質(zhì)，只需將yAsin(x)中的“x”看成ysinx中的x，采用整體代換求解令xk(kZ)，可求得對稱軸方程；令xk(kZ)，可求得對稱中心的橫坐標(biāo)；將x看作整體，可求得yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間，注意的符號(3)討論意識：當(dāng)A為參數(shù)時，求最值應(yīng)分情況討論A>0，A<0.題型1三角函數(shù)的定義域和值域1.(2018·北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)cos(>0)若f(x)f對任意的實數(shù)x都成立，則的最小值為_答案解析f(x)f對任意的實數(shù)x都成立，fcos1得2k(kZ)，8k(kZ)，>0，的最小值為.2.(2017·全國卷)函數(shù)f(x)sin2xcosx的最大值是_答案1解析f(x)1cos2xcosx21.x，cosx0,1，當(dāng)cosx時，f(x)取得最大值，最大值為1.第2題易錯點有二：一是變換的目標(biāo)不明確，不能化為“一角一函數(shù)”的形式進(jìn)而求解；二是換元之后忽略新元定義域而導(dǎo)致出錯.題型2三角函數(shù)的單調(diào)性(2019·汕頭一模)函數(shù)f(x)sin(x)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，則()A.f1 Bf(x)的周期為C.的最大值為4 Df0答案C解析解法一：由題知，又T，即，4，C正確故選C.解法二：當(dāng)1，0時，函數(shù)f(x)sin(x)sinx在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時f1，排除A；f(x)的最小正周期為2，排除B；f0，排除D.故選C.本題對yAsin(x)的單調(diào)區(qū)間求法不熟易導(dǎo)致無從下手.題型3三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性(2019·青島模擬)若函數(shù)f(x)sin的圖象向左平移個單位后，得到y(tǒng)g(x)的圖象，則下列說法錯誤的是()A.yg(x)的最小正周期為B.yg(x)的圖象關(guān)于直線x對稱C.yg(x)在上單調(diào)遞增D.yg(x)的圖象關(guān)于點答案C解析把函數(shù)f(x)sin的圖象向左平移個單位后，得到y(tǒng)g(x)sin的圖象，故g(x)的最小正周期為T，故A正確；令x可得g(x)1，為最大值，故yg(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，故B正確；在上2x，故yg(x)在上沒有單調(diào)性，故C錯誤；由x，可得g(x)0，故yg(x)的圖象關(guān)于點對稱，故D正確故選C.本題易錯點有兩個：一是平移規(guī)則不熟悉而導(dǎo)致g(x)解析式錯求為g(x)sin2x；二是不會利用yAsin(x)性質(zhì)的整體代換意識解決此類問題.真題自檢感悟1.(2019·全國卷)已知，2sin2cos21，則sin()A. B. C. D.答案B解析由2sin2cos21，得4sincos2cos2.又，tan，sin.故選B.2.(2018·全國卷)若f(x)cosxsinx在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是()A. B. C. D答案A解析f(x)cosxsinxcos，由2kx2k(kZ)得2kx2k(kZ)，a，a，a<a，a，a，0<a，從而a的最大值為，故選A.3.(2017·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)cos，則下列結(jié)論錯誤的是()A.f(x)的一個周期為2B.yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱C.f(x)的一個零點為xD.f(x)在單調(diào)遞減答案D解析A項，因為f(x)cos的周期為2k(kZ)，所以f(x)的一個周期為2，A項正確B項，因為f(x)cos圖象的對稱軸為直線xk(kZ)，所以yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，B項正確C項，f(x)cos.令xk(kZ)，得xk，當(dāng)k1時，x，所以f(x)的一個零點為x，C項正確D項，因為f(x)cos的遞減區(qū)間為(kZ)，遞增區(qū)間為(kZ)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤故選D.4.(2018·江蘇高考)已知函數(shù)ysin(2x)的圖象關(guān)于直線x對稱，則的值是_答案解析由題意可得sin±1，所以k，k(kZ)，因為<<，所以k0，.專題作業(yè)一、選擇題1.(2019·河北唐山二模)已知角的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上有一點A(2sin，3)，則cos()A. B C. D答案A解析由三角函數(shù)的定義得tan，即，得3cos2sin22(1cos2)，即2cos23cos20，解得cos或cos2(舍去)，故選A.2.已知tan，且(0，)，則sin2()A. B C. D答案B解析由tan，且(0，)，得sin，cos，由二倍角公式得sin22sincos2××.故選B.3.函數(shù)ycos2x2sinx的最大值為()A. B1 C. D2答案C解析ycos2x2sinx12sin2x2sinx22，sinx1,1，當(dāng)sinx時，ymax.故選C.4.(2019·全國卷)若x1，x2是函數(shù)f(x)sinx(>0)兩個相鄰的極值點，則()A.2 B. C1 D.答案A解析由題意及函數(shù)ysinx的圖象與性質(zhì)可知，T，T，2.故選A.5.(2019·全國卷)函數(shù)f(x)2sinxsin2x在0,2的零點個數(shù)為()A.2 B3 C4 D5答案B解析令f(x)0，得2sinxsin2x0，即2sinx2sinx·cosx0，2sinx(1cosx)0，sinx0或cosx1.又x0,2，由sinx0得x0，或2，由cosx1得x0或2.故函數(shù)f(x)的零點為0，2，共3個故選B.6.(2019·衡水聯(lián)考)將函數(shù)f(x)2sin的圖象向左平移個單位，再把所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)yg(x)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)yg(x)的說法錯誤的是()A.最小正周期為B.圖象關(guān)于直線x對稱C.圖象關(guān)于點對稱D.初相為答案C解析易求得g(x)2sin，其最小正周期為，初相為，即A，D正確，而g2sin2.故函數(shù)yg(x)的圖象關(guān)于直線x對稱，即B正確，C錯誤故選C.7.(2019·天津高考)已知函數(shù)f(x)Asin(x)(A>0，>0，|<)是奇函數(shù)，將yf(x)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為g(x)若g(x)的最小正周期為2，且g，則f()A.2 B C. D2答案C解析因為f(x)是奇函數(shù)(顯然定義域為R)，所以f(0)Asin0，所以sin0.又|<，所以0.由題意得g(x)Asin，且g(x)最小正周期為2，所以1，即2.所以g(x)Asinx，所以gAsinA，所以A2.所以f(x)2sin2x，所以f.故選C.8.(2017·天津高考)設(shè)函數(shù)f(x)2sin(x)，xR，其中0，|.若f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，則()A.， B，C.， D，答案A解析f2，f0，且f(x)的最小正周期大于2，f(x)的最小正周期為43，f(x)2sin.2sin2，得2k，kZ.又|，取k0，得.故選A.9.(2019·長郡中學(xué)、衡陽八中聯(lián)考)函數(shù)f(x)sin(x)的部分圖象如圖所示，已知A，B，則f(x)圖象的對稱中心為()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)答案C解析T2，2，因此f(x)sin(2x)由五點作圖法知A是第二點，得2×，2×2k(kZ)，2k(kZ)，又|<，f(x)sin.由2xk(kZ)，得x(kZ)f(x)圖象的對稱中心為(kZ)故選C.10.(2019·全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)sin(>0)，已知f(x)在0,2有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：f(x)在(0,2)有且僅有3個極大值點；f(x)在(0,2)有且僅有2個極小值點；f(x)在單調(diào)遞增；的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的編號是()A. B C. D答案D解析已知f(x)sin(>0)在0,2有且僅有5個零點，如圖，其圖象的右端點的橫坐標(biāo)在a，b)上，此時f(x)在(0,2)有且僅有3個極大值點，但f(x)在(0,2)可能有2或3個極小值點，所以正確，不正確；當(dāng)x0,2時，x，由f(x)在0,2有且僅有5個零點可得52<6，得的取值范圍是，所以正確；當(dāng)x時，<x<<<，所以f(x)在單調(diào)遞增，所以正確故選D.二、填空題11.已知sin·cos，且0<<，則sin_，cos_.答案解析由誘導(dǎo)公式得sin·coscos·(sin)，即sin·cos.又0<<，sin2cos21，得sin，cos.12.(2019·衡水中學(xué)一模)已知函數(shù)f(x)2cosx(>0)的圖象向左平移個單位，所得的部分函數(shù)圖象如圖所示，則的值為_答案解析由題圖知，T2，2，f(x)2cos2x，f(x)2cos(2x2)，則由圖象知，f2cos2.22k(kZ)，則k(kZ)又0<<，所以.13.(2019·棗莊模擬)已知f(x)sinxcosx，若函數(shù)f(x)圖象的任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(，2)，則的取值范圍是_(結(jié)果用區(qū)間表示)答案解析f(x)sinxcosxsin，函數(shù)f(x)圖象的任何一條對稱軸與x軸交點的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間(，2)，則2，1，<1.令xk(kZ)，解得x(kZ)且2(kZ)，k且(kZ)，k0.此時，且.綜上，.14.(2019·廣東省際名校聯(lián)考)將函數(shù)f(x)12·cos2x(sinxcosx)2的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)yg(x)的圖象，若x，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案解析f(x)12cos2x(sinxcosx)2sin2xcos2x2sin，g(x)2sin2sin，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，x，函數(shù)g(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.- 14 -