仿真模擬卷四本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分共150分，考試時間120分鐘第卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知集合Ax|x1，Bx|2x3>0，則AB()A0，)B1，)C.D答案B解析因為Bx|2x3>0，Ax|x1，所以AB1，)2已知復數(shù)z滿足(1i)z2i(i為虛數(shù)單位)，則()A1iB1iC1iD1i答案A解析由(1i)z2i，得z1i，1i.3設a，b是空間兩條直線，則“a，b不平行”是“a，b是異面直線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案B解析由a，b是異面直線a，b不平行反之，若直線a，b不平行，也可能相交，不一定是異面直線所以“a，b不平行”是“a，b是異面直線”的必要不充分條件4在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述兩顆星的星等與亮度滿足m2m1lg ，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k1,2)已知太陽的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A1010.1B10.1Clg 10.1D1010.1答案A解析兩顆星的星等與亮度滿足m2m1lg ，令m21.45，m126.7，則lg (m2m1)×(1.4526.7)10.1，從而1010.1.5執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出結果為1，則可輸入的實數(shù)x的值的個數(shù)為()A1B2C3D4答案B解析根據(jù)題意，該框圖的含義是：當x2時，得到函數(shù)yx21；當x>2時，得到函數(shù)ylog2x，因此，若輸出的結果為1時，若x2，得到x211，解得x±，若x>2，得到log2x1，無解，因此，可輸入的實數(shù)x的值可能為，共有2個6把函數(shù)ysin1圖象上各點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)，那么所得圖象的一條對稱軸方程為()AxBxCxDx答案D解析根據(jù)題中變換，所得圖象對應的函數(shù)解析式為ysin1，令2xk(kZ)，則x(kZ)，取k0，得x，故選D.7在矩形ABCD中，AB3，AD4，AC與BD相交于點O，過點A作AEBD，垂足為E，則·()A.BC.D答案B解析如圖，由AB3，AD4，得BD5，AE.又··()····，AEBD，·0，又·|·cosEAO|·|2，·.8一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積為()A8B8C6D6答案B解析由三視圖可知，該幾何體是由半個圓錐與一個四棱錐組合而成，如圖所示，其中圓錐的底面半徑為1，高為，母線長為2，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，高為，取BC的中點N，連接MN，PN，則該幾何體的表面積為S×1×2××122×22××2×8.9若函數(shù)yf(x)的大致圖象如圖所示，則f(x)的解析式可以是()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)答案C解析當x0時，f(x)±，而A中的f(x)0，排除A；當x0時，f(x)0，而B中x0時，f(x)>0，D中，f(x)>0，排除B，D.10已知不等式xyax22y2對于x1,2，y2,3恒成立，則a的取值范圍是()A1，)B1,4)C1，)D1,6答案C解析不等式xyax22y2對于x1,2，y2,3恒成立，等價于a22對于x1,2，y2,3恒成立，令t，則1t3，at2t2在1,3上恒成立，y2t2t22，t1時，ymax1，a1，故a的取值范圍是1，)11已知雙曲線1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，e為雙曲線的離心率，P是雙曲線右支上的點，PF1F2的內切圓的圓心為I，過F2作直線PI的垂線，垂足為B，則|OB|等于()AaBbCeaDeb答案A解析如圖，延長F2B交PF1于點C，在PCF2中，由題意，得它是一個等腰三角形，|PC|PF2|，B為CF2的中點，在F1CF2中，有|OB|CF1|(|PF1|PC|)(|PF1|PF2|)×2aa.12設minm，n表示m，n二者中較小的一個，已知函數(shù)f(x)x28x14，g(x)min(x>0)若x15，a(a4)，x2(0，)，使得f(x1)g(x2)成立，則a的最大值為()A4B3C2D0答案C解析由題意得g(x)則g(x)maxg(1)2.在同一坐標系作出函數(shù)f(x)(5xa)和g(x)(x>0)的圖象，如圖所示由f(x)2，得x6或2，x15，a，x2(0，)，使得f(x1)g(x2)成立，4a2，a的最大值為2.第卷本卷包括必考題和選考題兩部分第1321題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13已知點P(x，y)滿足條件則點P到原點O的最大距離為_答案解析畫出表示的可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，由得由圖得，當點P的坐標為(5,3)時，點P到原點的距離最大，且最大值為.14函數(shù)f(x)·的最小正周期為_，最大值為_答案解析f(x)·cos，f(x)的最小正周期為T，最大值為.15已知圓C：(x3)2(y4)21和兩點A(m,0)，B(m,0)(m>0)，若圓上存在點P，使得APB90°，則m的取值范圍是_答案4,6解析由已知，以AB為直徑的圓與圓C有公共點，又AB的中點為原點，則|AB|2m，則|m1|m1，解得4m6，即m的取值范圍是4,616如圖，在ABC中，sin，點D在線段AC上，且AD2DC，BD，則ABC的面積的最大值為_答案3解析由sin，可得cos，則sinABC2sincos.由sin<可知，0°<<45°，則0°<ABC<90°，由同角三角函數(shù)基本關系可知，cosABC.設ABx，BCy，AC3z(x>0，y>0，z>0)，在ABD中，由余弦定理可得，cosBDA，在CBD中，由余弦定理可得，cosBDC，由BDABDC180°，故cosBDAcosBDC，即，整理可得166z2x22y20.在ABC中，由余弦定理可知，x2y22xy×(3z)2，則6z2x2y2xy，代入式整理計算可得，x2y2xy16，由基本不等式可得，162xyxy，故xy9，當且僅當x3，y時等號成立，據(jù)此可知，ABC面積的最大值為Smax(AB·BC)max·sinABC×9×3.三、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分12分)已知數(shù)列an滿足：an1，an12(nN*)，數(shù)列bn中，bn，且b1，b2，b4成等比數(shù)列(1)求證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)若Sn是數(shù)列bn的前n項和，求數(shù)列的前n項和Tn.解(1)證明：bn1bn1，數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列(2)由題意可得bb1b4，即(b11)2b1(b13)，b11，bnn，Sn，2，Tn2×2×.18(本小題滿分12分)如圖，在正三棱柱A1B1C1ABC中，ABAA1，E，F(xiàn)分別是AC，A1B1的中點(1)證明：EF平面BCC1B1；(2)若AB2，求點A到平面BEF的距離解(1)證明：如圖，取AB中點M，連接EM，F(xiàn)M，則MEBC，F(xiàn)MBB1，MEFMM，BCBB1B，平面EFM平面BCC1B1，EF平面EFM，EF平面BCC1B1.(2)連接AF，設點A到平面BEF的距離為h，EF2FM2EM25，EF.又BE，BF，結合余弦定理，可知cosEBF，所以sinEBF，因而SBEFBE·BF·sinEBF.易知SABESABC×AB·BC·sin.VFABEVABEF，××2××h，解得h，點A到平面BEF的距離為.19(本小題滿分12分)改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變近年來，移動支付已成為主要支付方式之一為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：支付方式支付金額不大于2000元大于2000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人(1)估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；(2)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，求該學生上個月支付金額大于2000元的概率；(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元結合(2)的結果，能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由解(1)由題知，樣本中僅使用A的學生有27330(人)，僅使用B的學生有24125(人)，A，B兩種支付方式都不使用的學生有5人故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學生有1003025540(人)估計該校學生中上個月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)為×1000400.(2)記事件C為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人，該學生上個月的支付金額大于2000元”，則P(C)0.04.(3)記事件E為“從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人，該學生本月的支付金額大于2000元”假設樣本僅使用B的學生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，則由(2)知，P(E)0.04.答案示例1：可以認為有變化理由如下：P(E)比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生，一旦發(fā)生，就有理由認為本月支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化所以可以認為有變化，答案示例2：無法確定有沒有變化理由如下：事件E是隨機事件，P(E)比較小，一般不容易發(fā)生，但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化20(本小題滿分12分)已知A，F(xiàn)分別是橢圓C：1(a>b>0)的左頂點、右焦點，點P為橢圓C上一動點，當PFx軸時，|AF|2|PF|.(1)求橢圓C的離心率；(2)若橢圓C上存在點Q，使得四邊形AOPQ是平行四邊形(點P在第一象限)，求直線AP與OQ的斜率之積；(3)記圓O：x2y2為橢圓C的“關聯(lián)圓”若b，過點P作橢圓C的“關聯(lián)圓”的兩條切線，切點為M，N，直線MN在x軸和y軸上的截距分別為m，n，求證：為定值解(1)由PFx軸，知xPc，代入橢圓C的方程，得1，解得yP±.又|AF|2|PF|，所以ac，所以a2ac2b2，即a22c2ac0，所以2e2e10，由0<e<1，解得e.(2)因為四邊形AOPQ是平行四邊形，所以PQa且PQx軸，所以xP，代入橢圓C的方程，解得yP±b，因為點P在第一象限，所以yPb，同理可得xQ，yQb，所以kAPkOQ·，由(1)知e，得，所以kAPkOQ.(3)證明：由(1)知e，又b，解得a2，所以橢圓C的方程為1，圓O的方程為x2y2.連接OM，ON(圖略)，由題意可知，OMPM，ONPN，所以四邊形OMPN的外接圓是以OP為直徑的圓，設P(x0，y0)，則四邊形OMPN的外接圓方程為22(xy)，即x2xx0y2yy00.，得直線MN的方程為xx0yy0，令y0，則m，令x0，則n.所以49，因為點P在橢圓C上，所以1，所以49(為定值)21(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)ln xax，g(x)x2，aR.(1)求函數(shù)f(x)的極值點；(2)若f(x)g(x)恒成立，求a的取值范圍解(1)f(x)ln xax的定義域為(0，)，f(x)a，當a0時，f(x)a>0，所以f(x)在(0，)上單調遞增，無極值點；當a>0時，令f(x)a>0得0<x<，令f(x)a<0得x>，所以f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數(shù)f(x)有極大值點，為x，無極小值點(2)由條件可得ln xx2ax0(x>0)恒成立，則當x>0時，ax恒成立，令h(x)x(x>0)，則h(x)，令k(x)1x2ln x(x>0)，則當x>0時，k(x)2x<0，所以k(x)在(0，)上為減函數(shù)又k(1)0，所以在(0,1)上，h(x)>0；在(1，)上，h(x)<0.所以h(x)在(0,1)上為增函數(shù)，在(1，)上為減函數(shù)，所以h(x)maxh(1)1，所以a1.請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分，作答時請寫清題號22(本小題滿分10分)選修44：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(其中t為參數(shù))，在以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系(兩種坐標系的單位長度相同)中，直線l的極坐標方程為sin.(1)求曲線C的極坐標方程；(2)求直線l與曲線C的公共點P的極坐標解(1)消去參數(shù)t，得曲線C的直角坐標方程x2y24(x2)將xcos，ysin代入x2y24，得2(cos2sin2)4.所以曲線C的極坐標方程為2cos24.(2)將l與C的極坐標方程聯(lián)立，消去得4sin22cos2.展開得3cos22sincossin22(cos2sin2)因為cos0，所以3tan22tan10.于是方程的解為tan，即.代入sin，得2，所以點P的極坐標為.23(本小題滿分10分)選修45：不等式選講已知x，yR，xy4.(1)要使不等式|a2|a1|恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：x22y2，并指出等號成立的條件解(1)因為x，yR，xy4，所以1.由基本不等式，得 1，當且僅當xy2時取等號要使不等式|a2|a1|恒成立，只需不等式|a2|a1|1成立即可構造函數(shù)f(a)|a2|a1|，則等價于解不等式f(a)1.因為f(a)所以解不等式f(a)1，得a0.所以實數(shù)a的取值范圍為(，0(2)證明：因為x，yR，xy4，所以y4x(0<x<4)，于是x22y2x22(4x)23x216x3232，當x，y時等號成立- 15 -