第4講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用與熱點(diǎn)問題限時(shí)60分鐘滿分60分解答題(本大題共5小題，每小題12分，共60分)1(2019·天津卷節(jié)選)設(shè)函數(shù)f(x)excos x，g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)x時(shí)，證明f(x)g(x)0.解析：(1)由已知，有f(x)ex(cos xsin x)因此，當(dāng)x(kZ)時(shí)，有sin xcos x，得f(x)0，則f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(kZ)時(shí)，有sin xcos x，得f(x)0，則f(x)單調(diào)遞增所以，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(kZ)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)證明：記h(x)f(x)g(x)，依題意及(1)，有g(shù)(x)ex(cos xsin x)，從而g(x)2exsin x當(dāng)x時(shí)，g(x)0，故h(x)f(x)g(x)g(x)(1)g(x)0.因此，h(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而h(x)hf0.所以，當(dāng)x時(shí)，f(x)g(x)0.2(2019·大慶三模)設(shè)函數(shù)f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明：若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，)上僅有一個零點(diǎn)解析：(1)由f(x)kln x(k0)得f(x)x.由f(x)0解得x.f(x)與f(x)在區(qū)間(0，)上的變化情況如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，)；f(x)在x處取得極小值f().(2)證明：由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為f().因?yàn)閒(x)存在零點(diǎn)，所以0，從而ke.當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，且f()0，所以x是f(x)在區(qū)間(1，上的唯一零點(diǎn)當(dāng)ke時(shí)，f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，且f(1)0，f()0，所以f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點(diǎn)綜上可知，若f(x)存在零點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(1，上僅有一個零點(diǎn)3(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)2sin xxcos xx，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)(1)證明：f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)；(2)若x0，時(shí)，f(x)ax，求a的取值范圍解：(1)設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.當(dāng)x時(shí)，g(x)0；當(dāng)x時(shí)，g(x)0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又g(0)0，g0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零點(diǎn)，所以f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)(2)由題設(shè)知f()a，f()0，可得a0，由(1)知，f(x)在(0，)只有一個零點(diǎn)，設(shè)為x0，且當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減又f(0)0，f()0，所以當(dāng)x0，時(shí)，f(x)0.又當(dāng)a0，x0，時(shí)，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范圍是(，04(2019·成都診斷)已知函數(shù)f(x)(x22axa2)·ln x，aR.(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時(shí)，令F(x)xln x，證明：F(x)e2，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)；(3)若函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析：(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2ln x(x0)，此時(shí)f(x)2xln xxx(2ln x1)令f(x)0，解得xe.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e)(2)證明：F(x)xln xxln xx.由F(x)2ln x，得F(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(e2)e2.(3)f(x)2(xa)ln x·(2xln xxa)令g(x)2xln xxa，則g(x)32ln x，函數(shù)g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，g(x)g(e)2ea.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值，2ea0，解得a2e.當(dāng)a0時(shí)，g(x)min2ea0，即函數(shù)g(x)在(0，)上存在零點(diǎn)，記為x0.由函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)，易知xa為方程f(x)0的重根，2aln aaa0，即2aln a0，a1.當(dāng)0a1時(shí)，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為a和x0；當(dāng)a1時(shí)，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為a和x0；當(dāng)a1時(shí)，x01，此時(shí)函數(shù)f(x)無極值綜上，a2e或a1.5(2019·深圳三模)已知函數(shù)f(x)xln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對任意的t0，存在唯一的m使tf(m)；(3)設(shè)(2)中所確定的m關(guān)于t的函數(shù)為mg(t)，證明：當(dāng)te時(shí)，有1.解析：(1)f(x)xln x，f(x)ln x1(x0)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)在上單調(diào)遞增(2)證明：當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，又t0，令h(x)f(x)t，x1，)，由(1)知h(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，h(1)t0，h(et)t(et1)0，存在唯一的m，使tf(m)成立(3)證明：mg(t)且由(2)知tf(m)，t0，當(dāng)te時(shí)，若mg(t)e，則由f(m)的單調(diào)性有tf(m)f(e)e，矛盾，me，又，其中uln m，u1，要使1成立，只需0ln uu，令F(u)ln uu，u1，F(xiàn)(u)，當(dāng)1u時(shí)F(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞增，當(dāng)u時(shí)，F(xiàn)(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞減對u1，F(xiàn)(u)F0，即ln uu成立綜上，當(dāng)te時(shí)，1成立層級二 專題一 第4講(理)限時(shí)60分鐘滿分60分解答題(本大題共5小題，每小題12分，共60分)1(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)2sin xxcos xx，f(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)(1)證明：f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)；(2)若x0，時(shí)，f(x)ax，求a的取值范圍解：(1)設(shè)g(x)f(x)，則g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.當(dāng)x時(shí)，g(x)0；當(dāng)x時(shí)，g(x)0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又g(0)0，g0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零點(diǎn)，所以f(x)在區(qū)間(0，)存在唯一零點(diǎn)(2)由題設(shè)知f()a，f()0，可得a0，由(1)知，f(x)在(0，)只有一個零點(diǎn)，設(shè)為x0，且當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞增，在(x0，)上單調(diào)遞減又f(0)0，f()0，所以當(dāng)x0，時(shí)，f(x)0.又當(dāng)a0，x0，時(shí)，ax0，故f(x)ax.因此，a的取值范圍是(，02(2020·成都診斷)已知函數(shù)f(x)(x22axa2)·ln x，aR.(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a1時(shí)，令F(x)xln x，證明：F(x)e2，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)；(3)若函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析：(1)當(dāng)a0時(shí)，f(x)x2ln x(x0)，此時(shí)f(x)2xln xxx(2ln x1)令f(x)0，解得xe.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(e，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，e)(2)證明：F(x)xln xxln xx.由F(x)2ln x，得F(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)F(e2)e2.(3)f(x)2(xa)ln x·(2xln xxa)令g(x)2xln xxa，則g(x)32ln x，函數(shù)g(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，g(x)g(e)2ea.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無極值，2ea0，解得a2e.當(dāng)a0時(shí)，g(x)min2ea0，即函數(shù)g(x)在(0，)上存在零點(diǎn)，記為x0.由函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)，易知xa為方程f(x)0的重根，2aln aaa0，即2aln a0，a1.當(dāng)0a1時(shí)，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為a和x0；當(dāng)a1時(shí)，x01且x0a，函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為a和x0；當(dāng)a1時(shí)，x01，此時(shí)函數(shù)f(x)無極值綜上，a2e或a1.3(2019·深圳三模)已知函數(shù)f(x)xln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：對任意的t0，存在唯一的m使tf(m)；(3)設(shè)(2)中所確定的m關(guān)于t的函數(shù)為mg(t)，證明：當(dāng)te時(shí)，有1.解析：(1)f(x)xln x，f(x)ln x1(x0)，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)在上單調(diào)遞增(2)證明：當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，又t0，令h(x)f(x)t，x1，)，由(1)知h(x)在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，h(1)t0，h(et)t(et1)0，存在唯一的m，使tf(m)成立(3)證明：mg(t)且由(2)知tf(m)，t0，當(dāng)te時(shí)，若mg(t)e，則由f(m)的單調(diào)性有tf(m)f(e)e，矛盾，me，又，其中uln m，u1，要使1成立，只需0ln uu，令F(u)ln uu，u1，F(xiàn)(u)，當(dāng)1u時(shí)F(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞增，當(dāng)u時(shí)，F(xiàn)(u)0，F(xiàn)(u)單調(diào)遞減對u1，F(xiàn)(u)F0，即ln uu成立綜上，當(dāng)te時(shí)，1成立4(2019·廈門二調(diào))已知函數(shù)f(x)aln x，g(x)xf(x)(1)討論h(x)g(x)f(x)的單調(diào)性；(2)若h(x)的極值點(diǎn)為3，設(shè)方程f(x)mx0的兩個根為x1，x2，且ea，求證：.解析：(1)h(x)g(x)f(x)xaln x，其定義域?yàn)?0，)，h(x).在(0，)遞增；a10即a1時(shí)，x(0,1a)時(shí)，h(x)0，x(1a，)時(shí)，h(x)0，h(x)在(0,1a)遞減，在(1a，)遞增，綜上，a1時(shí)，h(x)在(0,1a)遞減，在(1a，)遞增，a1時(shí)，h(x)在(0，)遞增(2)證明：由(1)得x1a是函數(shù)h(x)的唯一極值點(diǎn)，故a2.2ln x1mx10,2ln x2mx20，2(ln x2ln x1)m(x1x2)，又f(x)2ln x，f(x)，mln.令te2，(t)ln t，則(t)0，(t)在e2，)上遞增，(t)(e2)11.故.5(2019·全國卷)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)；(2)設(shè)x0是f(x)的一個零點(diǎn)，證明曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0,1)(1，)因?yàn)閒(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)單調(diào)遞增因?yàn)閒(e)10，f(e2)20，所以f(x)在(1，)有唯一零點(diǎn)x1，即f(x1)0.又01，fln x1f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零點(diǎn).綜上，f(x)有且僅有兩個零點(diǎn)(2)因?yàn)椋庶c(diǎn)B在曲線yex上由題設(shè)知f(x0)0，即ln x0，故直線AB的斜率k.曲線yex在點(diǎn)B處切線的斜率是，曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處切線的斜率也是，所以曲線yln x在點(diǎn)A(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線- 8 -