第5講 推理、證明與復數(shù)一、選擇題1在復平面內(nèi)，復數(shù)i4對應的點在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析：因為i411i，所以其在復平面內(nèi)對應的點為，位于第四象限答案：D2(1)已知a是三角形一邊的長，h是該邊上的高，則三角形的面積是ah，如果把扇形的弧長l，半徑r分別看成三角形的底邊長和高，可得到扇形的面積為lr；(2)由112,1322,13532，可得到1352n1n2，則(1)(2)兩個推理過程分別屬于()A類比推理、歸納推理 B類比推理、演繹推理C歸納推理、類比推理 D歸納推理、演繹推理解析：(1)由三角形的性質(zhì)得到扇形的性質(zhì)有相似之處，此種推理為類比推理；(2)由特殊到一般，此種推理為歸納推理答案：A3若z是復數(shù)，z，則z·()A. B.C1 D.解析：因為zi，所以i，所以z·.答案：D4給出下面四個類比結論：實數(shù)a，b，若ab0，則a0或b0；類比復數(shù)z1，z2，若z1z20，則z10或z20.實數(shù)a，b，若ab0，則a0或b0；類比向量a，b，若a·b0，則a0或b0.實數(shù)a，b，有a2b20，則ab0；類比復數(shù)z1，z2，有zz0，則z1z20.實數(shù)a，b，有a2b20，則ab0；類比向量a，b，若a2b20，則ab0.其中類比結論正確的個數(shù)是()A0 B1C2 D3解析：對于，顯然是正確的；對于，若向量a，b互相垂直，則a·b0，所以錯誤；對于，取z11，z2i，則zz0，所以錯誤；對于，若a2b20，則|a|b|0，所以ab0，故是正確的綜上，類比結論正確的個數(shù)是2.答案：C5設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)a(aR)是純虛數(shù)，則a的值為()A3 B1C1 D3解析：由題知，aa(a3)i，若其為純虛數(shù)，則a30，a3.答案：D6i為虛數(shù)單位，2()A1 B1Ci Di解析：21.答案：B7設復數(shù)zi，則()Az B.Cz D解析：由題意得，i，i.選D.答案：D8如圖所示的數(shù)陣中，用A(m，n)表示第m行的第n個數(shù)，則依此規(guī)律A(8,2)為()A. B.C. D.解析：由數(shù)陣知A(3,2)，A(4,2)，A(5,2)，則A(8,2).答案：C9(2018·江淮十校聯(lián)考)我國古代數(shù)學名著九章算術中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉化過程，比如在 中“”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x，這可以通過方程x確定x2，則1()A. B.C. D.解析：1x，即1x，即x2x10，解得x(x舍)，故1，故選C.答案：C10(2018·武漢調(diào)研)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下，甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”乙說：“我沒有作案，是丙偷的”丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”丁說：“乙說的是事實”經(jīng)過調(diào)查核實，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A甲 B乙C丙 D丁解析：由題可知，乙、丁兩人的觀點一致，即同真同假，假設乙、丁說的是真話，那么甲、丙兩人說的是假話，由乙說的是真話，推出丙是罪犯，由甲說假話，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，顯然兩個結論相互矛盾，所以乙、丁兩人說的是假話，而甲、丙兩人說的是真話，由甲、丙供述可得，乙是罪犯答案：B11凸n多邊形有f(n)條對角線，則凸(n1)邊形的對角線的條數(shù)f(n1)為()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析：邊數(shù)增加1，頂點也相應增加1個，它與它不相鄰的n2個頂點連接成對角線，原來的一條邊也成為對角線，因此，對角線增加n1條故選C.答案：C12設復數(shù)z1和z2在復平面內(nèi)的對應點關于坐標原點對稱，且z132i，則z1·z2()A512i B512iC1312i D1312i解析：z132i，由題意知z232i，z1·z2(32i)·(32i)512i，故選A.答案：A二、填空題13已知x，yR，i為虛數(shù)單位，且(x2)·iy1i，則(1i)xy_.解析：由復數(shù)相等的條件知x21，y1，解得x3，y1，所以(1i)xy(1i)22i.答案：2i14已知復數(shù)z，則|z|_.解析：法一：因為z1i，所以|z|1i|.法二：|z|.答案：15(2018·長春質(zhì)檢)將1,2,3,4，這樣的正整數(shù)按如圖所示的方式排成三角形數(shù)組，則第10行自左向右第10個數(shù)為_解析：由三角形數(shù)組可推斷出，第n行共有2n1個數(shù)，且最后一個數(shù)為n2，所以第10行共19個數(shù)，最后一個數(shù)為100，自左向右第10個數(shù)是91.答案：9116在平面幾何中：在ABC中，C的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為.把這個結論類比到空間：在三棱錐A­BCD中(如圖)，平面DEC平分二面角A­CD­B且與AB相交于E，則得到類比的結論是_解析：由類比推理的概念可知，平面中線段的比可轉化為空間中面積的比，由此可得：.答案：6