小題專項(xiàng)訓(xùn)練4函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一、選擇題1(2019年天津模擬)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()A(cos x)sin xB(log2x)C()D(3x)3xlog3e【答案】C【解析】(cos x)sin x，A錯(cuò)誤；(log2x)，B錯(cuò)誤；()()×·，C正確；(3x)3xln 3，D錯(cuò)誤故選C2(2018年江西模擬)已知函數(shù)f(x)ln(ax1)的導(dǎo)函數(shù)是f(x)，且f(2)2，則實(shí)數(shù)a的值為()A B1CD【答案】D【解析】因?yàn)閒(x)ln(ax1)，所以f(x).所以f(2)2，解得a.3(2019年福建寧德模擬)函數(shù)f(x)3xln x的單調(diào)遞減區(qū)間是()ABCD【答案】B【解析】由f(x)3xln x，得定義域?yàn)?0，)且f(x)ln x1，令ln x1<0，解得0<x<.故選B4已知函數(shù)yf(x)滿足f(1)2，f(1)1，則曲線g(x)exf(x)在x1處的切線斜率是()AeBeC2eD3e【答案】B【解析】g(x)exf(x)exf(x)，g(1)ef(1)ef(1)e.5設(shè)x2與x4是函數(shù)f(x)x3ax2bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，則ab的值為()A21B21 C27D27【答案】A【解析】因?yàn)閒(x)3x22axb，所以所以ab32421.6(2019年內(nèi)蒙古模擬)函數(shù)f(x)xsin x的圖象在點(diǎn)處的切線的傾斜角為()ABCD【答案】C【解析】由f(x)xsin x，得f(x)sin xxcos x，則fsincos1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率k1，則切線的傾斜角為.故選C7f(x)是一次函數(shù)，過點(diǎn)(2,3)，且f(x)dx0，則函數(shù)f(x)的圖象與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為()A1B CD【答案】C【解析】設(shè)f(x)kxb(k0)，由題意得2kb3，(kxb)dx0，0，即kb0，聯(lián)立，解得k2，b1，所以f(x)2x1.直線yf(x)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為與(0，1)，所以所求的面積為××1.8某銀行準(zhǔn)備設(shè)一種新的定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款額與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去，若存款利率為x(x(0,4.8%)，則使銀行獲得最大收益的存款利率為()A3.1%B3.2%C3.4%D3.5%【答案】B【解析】依題意知存款額是kx2，銀行應(yīng)支付的存款利息是kx3，銀行應(yīng)獲得的貸款利息是0.048kx2，所以銀行的收益是y0.048kx2kx3(0<x<0.048)，故y0.096kx3kx2.令y0，解得x0.032或x0(舍去)當(dāng)0<x<0.032時(shí)，y>0；當(dāng)0.032<x<0.048時(shí)，y<0.當(dāng)x0.032時(shí)，y取得極大值也是最大值，即當(dāng)存款利率為3.2%時(shí)，銀行可獲得最大收益9(2018年寧夏銀川二模)設(shè)f(x)是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，f(x)為其導(dǎo)函數(shù)，且x0時(shí)，xf(x)f(x)0，記a，b，c，則()AabcBcab Cbac Dcba【答案】B【解析】令g(x)，則g(x).x0時(shí)，xf(x)f(x)0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減又log25log242,120.22,0.220.04，log2520.20.22，g(log25)g(20.2)g(0.22)，cab.10已知函數(shù)f(x)x3bx2cxd的圖象如圖所示，則函數(shù)ylog2的單調(diào)遞減區(qū)間為()AB(3，)CD(，2)【答案】D【解析】f(x)x3bx2cxd，f(x)3x22bxc3.由f(x)的圖象，可得f(x)在(，2)上大于0且單調(diào)遞減，故ylog2的單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)故選D11(2019年浙江)設(shè)a，bR，函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)axb恰有3個(gè)零點(diǎn)，則()Aa1，b0Ba1，b0Ca1，b0Da1，b0【答案】C【解析】當(dāng)x0時(shí)，由yf(x)axb(1a)xb0，得x，yf(x)axb有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x0時(shí)，yf(x)axbx3(a1)x2axaxbx3(a1)x2b，yx2(a1)x，當(dāng)a10，即a1時(shí)，y0，yf(x)axb在0，)上遞增，yf(x)axb最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a10，即a1時(shí)，令y0，得xa1，易知函數(shù)在(a1，)上遞增，在(0，a1)上遞減，函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn)函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則yf(x)axb在(，0)上有一個(gè)零點(diǎn)，在(0，)上有2個(gè)零點(diǎn)所以0且即得b<0，1<a<1.故選C12(2019年天津)已知aR.設(shè)函數(shù)f(x)若關(guān)于x的不等式f(x)0在R上恒成立，則a的取值范圍為()A0,1B0,2C0，eD1，e【答案】C【解析】當(dāng)x1時(shí)，f(1)12a2a10恒成立；當(dāng)x1時(shí)，f(x)x22ax2a0恒成立，等價(jià)于2a恒成立令g(x)0，2ag(x)max0，a0.當(dāng)x1時(shí)，f(x)xaln x0恒成立，等價(jià)于a恒成立令h(x)，則h(x).當(dāng)xe時(shí)，h(x)0，h(x)遞增；當(dāng)1xe時(shí)，h(x)0，h(x)遞減xe時(shí)，h(x)取得最小值h(e)e.ah(x)mine.綜上，a的取值范圍是0，e二、填空題13(2019年浙江臺州模擬)已知函數(shù)f(x)x3f(1)x22x5，則f(1)_，f(2)_.【答案】12【解析】顯然f(1)為常數(shù)，則f(x)x22f(1)x2，可得f(1)12f(1)2，解得f(1)1.所以f(x)x22x2，則f(2)2.14(2018年云南昆明模擬)已知函數(shù)f(x)axln xb(a，bR)，若f(x)的圖象在x1處的切線方程為2xy0，則ab_.【答案】4【解析】由題意得f(x)aln xa，f(1)a.f(x)的圖象在x1處的切線方程為2xy0，a2.又f(1)b，2×1b0，解得b2.故ab4.15已知函數(shù)f(x)(aR)，若函數(shù)f(x)在區(qū)間2,4上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_【答案】e2，)【解析】f(x)在區(qū)間2,4上是單調(diào)遞增函數(shù)，f(x)0在區(qū)間2,4上恒成立，即(x1)exa0在區(qū)間2,4上恒成立記g(x)(x1)exa，則g(x)xex.x2,4，g(x)0，故g(x)在2,4遞增，g(x)ming(2)e2a0，解得ae2.16(2018年東北三校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)xln xx2，x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，給出以下幾個(gè)命題：0<x0<；x0>；f(x0)x0<0；f(x0)x0>0.其中正確的命題是_(填出所有正確命題的序號) 【答案】【解析】由已知得f(x)ln xx1(x>0)，顯然的f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且f>0，x0時(shí)，f(x)<0.x0是f(x)的極值點(diǎn)，f(x0)0，則0<x0<，正確，錯(cuò)誤；ln x0x010，f(x0)x0x0ln x0xx0x0(ln x0x01)xx<0，正確，錯(cuò)誤綜上，正確- 6 -