解答題(五)17近年來，共享單車已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的出行方式某共享單車公司為了更好地服務(wù)用戶，在其官方APP中設(shè)置了用戶評(píng)價(jià)反饋系統(tǒng)，以了解用戶對(duì)該公司的車輛狀況和優(yōu)惠活動(dòng)的評(píng)價(jià)現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中較為詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息里隨機(jī)選出200條進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，車輛狀況和優(yōu)惠活動(dòng)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表如下：對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)不滿意合計(jì)對(duì)車輛狀況好評(píng)100 30 130對(duì)車輛狀況不滿意 40 30 70合計(jì) 140 60 200(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與對(duì)車輛狀況好評(píng)有關(guān)系？(2)為了回饋用戶，該公司通過APP向用戶隨機(jī)派送騎行券用戶可以將騎行券用于騎行付費(fèi)，也可以通過APP轉(zhuǎn)贈(zèng)給好友某用戶共獲得了5張騎行券，其中只有2張是一元券現(xiàn)該用戶從這5張騎行券中隨機(jī)選取2張轉(zhuǎn)贈(zèng)給好友，求選取的2張中至少有1張是一元券的概率參考數(shù)據(jù)：P(K2k0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：K2，其中nabcd.解(1)由2×2列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，得K2的觀測值k8.48<10.828.因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，不能認(rèn)為對(duì)優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與對(duì)車輛狀況好評(píng)有關(guān)系(2)把2張一元券分別記作A，B，其余3張券分別記作a，b，c，則從5張騎行券中隨機(jī)選取2張的所有情況有：A，a，A，b，A，c，B，a，B，b，B，c，A，B，a，b，a，c，b，c，共10種記“選取的2張中至少有1張是一元券”為事件M，則事件M包含的基本事件個(gè)數(shù)為7，所以P(M)，所以該用戶從這5張騎行券中隨機(jī)選取2張轉(zhuǎn)贈(zèng)給好友，選取的2張中至少有1張是一元券的概率為.18已知ABC，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a4，點(diǎn)D在線段AC上，DBC.(1)若BCD的面積為24，求CD的長；(2)若C，且c12，tanA，求CD的長解(1)由SBCD·BD·BC·24，解得BD12.在BCD中，CD2BC2BD22BC·BD·cos45°，即CD2321448×12，解得CD4.(2)因?yàn)閠anA，且A(0，)，可以求得sinA，cosA.由正弦定理，得，即，解得sinC.因?yàn)镃，故cosC，故sinBDCsin.在BCD中，由正弦定理可得，解得CD2.19(2019·廣東天河區(qū)畢業(yè)綜合測試二)如圖，D是AC的中點(diǎn)，四邊形BDEF是菱形，平面BDEF平面ABC，F(xiàn)BD60°，ABBC，ABBC.(1)若點(diǎn)M是線段BF的中點(diǎn)，證明：BF平面AMC；(2)求六面體ABCEF的體積解(1)證明：如圖，連接MD，F(xiàn)D.四邊形BDEF為菱形，且FBD60°，DBF為等邊三角形M為BF的中點(diǎn)，DMBF，ABBC，ABBC，又D是AC的中點(diǎn)，BDAC.平面BDEF平面ABCBD，平面ABC平面BDEF，AC平面ABC，AC平面BDEF.又BF平面BDEF，ACBF，由DMBF，ACBF，DMACD，BF平面AMC.(2)S菱形BDEF2··BD·BF·sin60°，又AC平面BDEF，D是AC的中點(diǎn)，V六面體ABCEF2V四棱錐CBDEF2×S菱形BDEF·CD2×××1.六面體ABCEF的體積為.20(2019·湖南株洲二模)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，橢圓C截直線y1所得的線段的長度為2.(1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)D是橢圓C上的點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，判定四邊形OADB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請(qǐng)說明理由解(1)由解得a2，bc，所以橢圓C的方程為1. (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x1或x1，此時(shí)四邊形OADB的面積為. 當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程是ykxm，則 (12k2)x24kmx2m240，8(4k22m2)0，x1x2，x1x2，所以y1y2k(x1x2)2m，|AB|·，又點(diǎn)O到直線AB的距離是d，由，得xD，yD.因?yàn)辄c(diǎn)D在曲線C上，所以1，整理得12k22m2，由題意知四邊形OADB為平行四邊形，所以四邊形OADB的面積為SOADB|AB|d×.由12k22m2得SOADB， 故四邊形OADB的面積是定值，其定值為.21(2019·河南洛陽第二次統(tǒng)一考試)已知函數(shù)f(x)x2aln x.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若a0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(1，e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解(1)f(x)x2aln x的定義域?yàn)?0，)，f(x)x.當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0得x，f(x)0得0x.即f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增綜上，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增(2)當(dāng)a0時(shí)，由(1)知f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增，若1，即0a1時(shí)，f(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，f(1)，f(x)在區(qū)間(1，e)上無零點(diǎn)若1e，即1ae2時(shí)，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，在(，e)上單調(diào)遞增，f(x)minf()a(1ln a)f(x)在區(qū)間(1，e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，eae2.若e，即ae2時(shí)，f(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，且f(1)0，f(e)e2a0，則f(x)在區(qū)間(1，e)上有一個(gè)零點(diǎn)綜上，f(x)在區(qū)間(1，e)上恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)a的取值范圍是.22(2018·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos30.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程； (2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程解(1)由xcos，ysin，得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24.(2)解法一：由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑為2的圓由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線，曲線C1的方程為y記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于點(diǎn)B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l1所在直線的距離為2，所以2，故k或k0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到l2所在直線的距離為2，所以2，故k0或k.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l2與C2沒有公共點(diǎn). 綜上，所求C1的方程為y|x|2.解法二：因?yàn)镃2：(x1)2y24，所以C2是以(1，0)為圓心，2為半徑的圓又因?yàn)镃1：yk|x|2是關(guān)于y軸對(duì)稱的曲線，且C1：y顯然，若k0時(shí)，C1與C2相切，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)；若k>0時(shí)，C1與C2無交點(diǎn)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，則必須滿足k<0且ykx2(x>0)與C2相切，所以圓心到射線的距離為d，則d2，所以k0或k，因?yàn)閗<0，所以k，所以C1：y|x|2.23(2019·全國卷)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc1.證明：(1)a2b2c2；(2)(ab)3(bc)3(ca)324.證明(1)因?yàn)閍2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，又abc1，故有a2b2c2abbcca.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，等號(hào)成立所以a2b2c2.(2)因?yàn)閍，b，c為正數(shù)且abc1，故有(ab)3(bc)3(ca)333(ab)(bc)(ac)3×(2)×(2)×(2)24.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，等號(hào)成立所以(ab)3(bc)3(ca)324.- 6 -