解答題(六)17(2019·山西太原一模)如圖，已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且asinA(ca)sinCbsinB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，DEAC，交AB于點(diǎn)E，且BC2，DE.(1)求B；(2)求ABC的面積解(1)asinA(ca)sinCbsinB，由，得a2c2acb2，由余弦定理得cosB，0<B<，B60°.(2)連接CE，如圖，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，DEAC，AECE，CEAE，在BCE中，由正弦定理得，cosA，0<A<，A45°，ACB75°，BCEACBACE30°，BEC90°，CE，ABAEBE1，SABCAB·CE.18. (2019·安徽江淮十校第三次聯(lián)考)三棱柱ABCA1B1C1中，D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在側(cè)棱CC1上，DE平面AB1C1.(1)證明：E是CC1的中點(diǎn)；(2)設(shè)BAC90°，四邊形ABB1A1為正方形，四邊形ACC1A1為矩形，且異面直線DE與B1C1所成的角為30°，求二面角A1AB1C1的余弦值解(1)證明：如圖，取AC的中點(diǎn)M，連接DM，EM，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以DMBCB1C1，又DM平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，所以DM平面AB1C1.又DE平面AB1C1，且DMDED，所以平面DEM平面AB1C1，又EM平面DEM，所以EM平面AB1C1，而EM平面ACC1A1，且平面ACC1A1平面AB1C1AC1，所以EMAC1，而M為AC的中點(diǎn)，所以E為CC1的中點(diǎn). (2)由題意知A1B1，A1C1，A1A兩兩垂直，以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1C1所在的直線為x軸，A1A所在的直線為y軸，A1B1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)1xyz.設(shè)ABAA12，AC2a，則C1(2a,0,0)，B1(0，0,2)，D(0,2,1)，E(2a,1,0)，A(0,2,0)，所以(2a,0，2)，(2a，1，1)因?yàn)楫惷嬷本€DE與B1C1所成的角為30°，所以cos，解得a1，于是C1(2,0,0)設(shè)平面AB1C1的法向量為n(x，y，z)，因?yàn)?2，2,0)，(2,0，2)，所以取z1，則xy1，所以n(1,1,1)又m(1,0,0)是平面AA1B1的一個(gè)法向量，所以cosm，n，即二面角A1AB1C1的余弦值為.19(2019·廣東一模)隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一若某人報(bào)名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，他需要通過(guò)四個(gè)科目的考試，其中科目二為場(chǎng)地考試在一次報(bào)名中，每個(gè)學(xué)員有5次參加科目二考試的機(jī)會(huì)(這5次考試機(jī)會(huì)中任何一次通過(guò)考試，就算順利通過(guò)，即進(jìn)入下一科目考試；若5次都沒(méi)有通過(guò)，則需重新報(bào)名)，其中前2次參加科目二考試免費(fèi)，若前2次都沒(méi)有通過(guò)，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補(bǔ)考費(fèi)某駕校對(duì)以往2000個(gè)學(xué)員第1次參加科目二考試進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到下表：考試情況男學(xué)員女學(xué)員第1次考科目二人數(shù)1200800第1次通過(guò)科目二人數(shù)960600第1次未通過(guò)科目二人數(shù)240200若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過(guò)科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過(guò)科目二考試的概率，且每人每次是否通過(guò)科目二考試相互獨(dú)立現(xiàn)有一對(duì)夫妻同時(shí)在此駕校報(bào)名參加了駕駛證考試，在本次報(bào)名中，若這對(duì)夫妻參加科目二考試的原則為通過(guò)科目二考試或者用完所有機(jī)會(huì)為止(1)求這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率；(2)若這對(duì)夫妻前2次參加科目二考試均沒(méi)有通過(guò)，記這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試產(chǎn)生的補(bǔ)考費(fèi)用之和為X元，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望解事件Ai表示男學(xué)員在第i次考科目二通過(guò)，事件Bi表示女學(xué)員在第i次考科目二通過(guò)(其中i1,2,3,4,5)由上表可知，P(Ai)，P()，P(Bi)，P()，其中i1,2,3,4,5.(1)事件M表示這對(duì)夫妻考科目二都不需要交補(bǔ)考費(fèi)，則P(M)P(A1B1A1B2A2B1A2B2)P(A1B1)P(A1B2)P(A2B1)P(A2B2)××××××××.所以這對(duì)夫妻在本次報(bào)名中參加科目二考試都不需要交補(bǔ)考費(fèi)的概率為.(2)X的可能取值為400,600,800,1000,1200.P(X400)P(A3B3)×，P(X600)P(A3B4A4B3)××××，P(X800)P(A4B4A3B3)×××××××，P(X1000)P(A4)××××××，P(X1200)P()×××.則X的分布列為：X40060080010001200P故E(X)400×600×800×1000×1200×510.5.20(2019·河北中原名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知點(diǎn)F是拋物線C：x22py(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線上的定點(diǎn)，且(4,0)(1)求拋物線C的方程；(2)直線AB與拋物線C交于不同兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，|x2x1|3，直線AB與切線l平行，設(shè)切點(diǎn)為N點(diǎn)，試問(wèn)ABN的面積是否是定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)設(shè)M(x0，y0)，由題知F，(4,0)即代入x22py(p>0)中得16p2，解得p4.拋物線C的方程為x28y.(2)由題意知直線AB的斜率存在，故設(shè)其方程為ykxb.由整理得x28kx8b0，則x1x28k，x1x28b，y1y2k(x1x2)2b8k22b，設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4k,4k2b)由條件設(shè)切線方程為ykxt.由整理得x28kx8t0，直線與拋物線相切，64k232t0.t2k2.x28kx16k20，x4k，y2k2.切點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4k,2k2)，NQx軸，|NQ|(4k2b)2k22k2b.|x2x1|3，且(x2x1)2(x1x2)24x1x264k232b，2k2b.SANM|NQ|x2x1|(2k2b)|x2x1|.ABN的面積為定值，且定值為.21(2019·湖北黃岡2月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)axln (aR)的最大值為(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)求a的值；(2)任取兩個(gè)不等的正數(shù)x1，x2，且x1<x2，若存在正數(shù)x0，使得f(x0)成立求證：x1<x0<x2.解(1)由題意得，顯然a0，f(x)axln x，f(x)a(1ln x)，x(0，)，令f(x)0，解得x，當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)>0，解得0<x<；令f(x)<0，解得x>，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，f(x)在x處取得極大值，也是最大值，f(x)maxf，解得a1.當(dāng)a<0時(shí)，易知與題意不符，故舍去綜上所述，a1.(2)證明：由(1)知f(x)xln x，則f(x)(1ln x)，f(x0)(1ln x0)，(1ln x0)，即ln x01，則ln x0ln x11ln x1111，設(shè)t，t(0,1)，則g(t)1，t(0,1)，令h(t)tln t1，t(0,1)，則h(t)1<0，函數(shù)h(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，h(t)>h(1)0，即tln t1>0，又1t>0，g(t)>0，即ln x0ln x1>0，x0>x1，同理可證x0<x2，即x1<x0<x2得證22在極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程是，以極點(diǎn)為原點(diǎn)O，極軸為x軸正半軸(兩坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度)的直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程與曲線C2的普通方程；(2)將曲線C2經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線C3，若M，N分別是曲線C1和曲線C3上的動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值解(1)C1的極坐標(biāo)方程是，4cos3sin24，整理得4x3y240，C1的直角坐標(biāo)方程為4x3y240.曲線C2：x2y21，故C2的普通方程為x2y21.(2)將曲線C2經(jīng)過(guò)伸縮變換后得到曲線C3的方程為1，則曲線C3的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)N(2cos，2sin)，則點(diǎn)N到曲線C1的距離為d.當(dāng)sin()1時(shí)，d有最小值， 所以|MN|的最小值為.23設(shè)函數(shù)f(x)|2xm|2xm|.(1)當(dāng)m6時(shí)，解不等式f(x)4；(2)若n>0，證明f(x)m2n.解(1)當(dāng)m6時(shí)，f(x)|2x6|2x6|當(dāng)x3時(shí)，12>4恒成立；當(dāng)3<x<3時(shí)，4x4，解得1x<3；當(dāng)x3時(shí)，12<4，不等式無(wú)解綜上，不等式f(x)4的解集為1，)(2)證明：f(x)|2xm|2xm|2xm(2xm)|2m|，由n>0，得m2n22|m|，所以若n>0，則f(x)m2n.- 7 -