第80講概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題1(2018·湖北5月沖刺試題)有120粒試驗(yàn)種子需要播種，現(xiàn)有兩種方案：方案一：將120粒種子分種在40個(gè)坑內(nèi)，每坑3粒；方案二：120粒種子分種在60個(gè)坑內(nèi)，每坑2粒，如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5，并且，若一個(gè)坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽，則這個(gè)坑不需要補(bǔ)種；若一個(gè)坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽，則這個(gè)坑需要補(bǔ)種(每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次，且第二次補(bǔ)種的種子顆粒同第一次)假定每個(gè)坑第一次播種需要2元，補(bǔ)種1個(gè)坑需1元；每個(gè)成活的坑可收獲100粒試驗(yàn)種子，每粒試驗(yàn)種子收益1元(1)用表示播種費(fèi)用，分別求出兩種方案的的數(shù)學(xué)期望；(2)用表示收益，分別求出兩種方案的收益的數(shù)學(xué)期望；(3)如果在某塊試驗(yàn)田對該種子進(jìn)行試驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案？ (1)方案一：用X1表示一個(gè)坑播種的費(fèi)用，則X1可取2，3.X123P()3所以E X12×3×.所以E140×E X185元方案二：用X2表示一個(gè)坑播種的費(fèi)用，則X2可取2，3.X223P()2所以E X22×3×.所以E260×E X2135元(2)方案一：用Y1表示一個(gè)坑的收益，則Y1可取0，100.Y10100P()2所以E Y1100×.所以E140×E Y13937.5元方案二：用Y2表示一個(gè)坑的收益，則Y2可取0，100.Y20100P()2所以E Y2100×，所以E260×E Y25625元(3)方案二所需的播種費(fèi)用比方案一多50元，但是收益比方案一多1687.5元，故應(yīng)選擇方案二2(2018·長春二模)某種植園在芒果臨近成熟時(shí)，隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果，其質(zhì)量分別在100，150)，150，200)，200，250)，250，300)，300，350)，350，400)(單位：克)中，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得頻率分布直方圖如圖所示 (1)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為250，300)，300，350)的芒果中隨機(jī)抽取9個(gè)，再從這9個(gè)中隨機(jī)抽取3個(gè)，記隨機(jī)變量X表示質(zhì)量在300，350)內(nèi)的芒果個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望； (2)以各組數(shù)據(jù)的中間數(shù)代表這組數(shù)據(jù)的平均值，將頻率視為概率，某經(jīng)銷商來收購芒果，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè)，經(jīng)銷商提出如下兩種收購方案：A：所有芒果以10元/千克收購；B：對質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購，高于或等于250克的以3元/個(gè)收購?fù)ㄟ^計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多 (1)9個(gè)芒果中，質(zhì)量在250，300)和300，350)內(nèi)的分別有6個(gè)和3個(gè)則X的可能取值為0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望EX0×1×2×3×1. (2)方案A: (125×0.002175×0.002225×0.003275×0.008325×0.004375×0.001)×50×10000×10×0.00125750元方案B：低于250克：(0.0020.0020.003)×50×10000×27000元，高于或等于250克(0.0080.0040.001)×50×10000×319500元，總計(jì)70001950026500元由25750<26500，故B方案獲利更多，應(yīng)選B方案3(2018·全國卷)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2，P(K2k)0.0500.0100.001k3.841 6.63510.828. (1)第二種生產(chǎn)方式的效率更高理由如下：()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少為80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多為79分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需平均時(shí)間低于80分鐘因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高()由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高(以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分)(2)由莖葉圖知m80.列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515(3)因?yàn)镵210>6.635，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異4(2018·武漢調(diào)研測試)在某市高中某學(xué)科競賽中，某一個(gè)區(qū)4000名考生的參賽成績統(tǒng)計(jì)如圖所示(1)求這4000名考生的競賽平均成績(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表)；(2)由直方圖可認(rèn)為考生競賽成績z服從正態(tài)分布N(，2)，其中，2分別取考生的平均成績和考生成績的方差s2，那么該區(qū)4000名考生成績超過84.41分(含84.81分)的人數(shù)估計(jì)有多少人？(3)如果用該區(qū)參賽考生成績的情況來估計(jì)全市的參賽考生的成績情況，現(xiàn)從全市參賽考生中隨機(jī)抽取4名考生，記成績不超過84.81分的考生人數(shù)為，求P(3)(精確到0.001)附：s2204.75，14.31；zN(，2)，則P(<z<)0.6826，P(2<z<2)0.9544；0.841340.501. (1)由題意知：中間值455565758595概率0.10.150.20.30.150.1所以45×0.155×0.1565×0.275×0.385×0.1595×0.170.5，所以4000名考生的競賽平均成績x為70.5分(2)依題意z服從正態(tài)分布N(，2)，其中70.5，2D204.75，14.31，所以z服從正態(tài)分布N(，2)N(70.5，14.312)，而P(<z<)P(56.19<z<84.81)0.6826，所以P(z84.81)0.1587.所以競賽成績超過84.81分的人數(shù)估計(jì)為0.1587×4000634.8人634人(3)全市競賽考生成績不超過84.81分的概率10.15870.8413.而B(4，0.8413)，所以P(3)1P(4)1C·0.8413410.5010.499.6