第2講集合與常用邏輯用語(yǔ)考情分析集合是高考的必考考點(diǎn)之一，多為選擇題，試題比較簡(jiǎn)單，題型比較固定，為高考送分試題，經(jīng)常以不等式解集，函數(shù)的定義域、值域?yàn)楸尘翱疾榧系母拍罴盎具\(yùn)算，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)一些集合的新定義問(wèn)題；常用邏輯用語(yǔ)是高考命題的熱點(diǎn)，考查題型也比較固定，考向主要分為四個(gè)部分：四種命題及其之間的關(guān)系，充分、必要條件的判斷方法，含有量詞的命題的否定與真假判斷，含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn)1集合的基本概念利用集合元素的特征：確定性、無(wú)序性、互異性設(shè)a，bR，集合1，ab，a，則ba()A.1B1 C2D2答案C解析由題意知，01，ab，a，又a0，故ab0，得1，則集合1,0，a0，1，b，可得a1，b1，ba2.故選C.兩集合相等的條件是集合中的元素分別相同，本題易忽視本身所包含的a0這一條件，而錯(cuò)誤的得出：ab0或a0；還需注意集合中元素的互異性這一特性：由ab0，可得a1，b1或a1，b1，顯然a1時(shí)，左、右兩邊集合中的兩個(gè)元素是重復(fù)的，故舍棄.熱點(diǎn)2集合的基本運(yùn)算先正確理解各個(gè)集合的含義，認(rèn)清集合元素的屬性、代表的意義，再根據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)求解，集合運(yùn)算中的常用方法：(1)若給定的集合是無(wú)限、連續(xù)數(shù)集，不等式的解集，常借助數(shù)軸求解；(2)若給定的集合是點(diǎn)集，常借助函數(shù)的圖象或方程的曲線(xiàn)求解；(3)若給定的集合是抽象集合或是用列舉法表示的集合，用Venn圖求解1.已知集合My|yx21，xR，Nx|y，則MN()A.x|1<x3Bx|1x<3C.x|1x3Dx|1<x<4答案C解析My|yx21，xRy|y1，Nx|yx|9x20x|3x3，在數(shù)軸上表示出集合M，N，如圖所示，則MN為圖中陰影部分，所以MNx|1x3故選C.2.(2019·全國(guó)卷)已知集合Mx|4<x<2，Nx|x2x6<0，則MN()A.x|4<x<3Bx|4<x<2C.x|2<x<2Dx|2<x<3答案C解析由x2x6<0，得(x3)(x2)<0，解得2<x<3，即Nx|2<x<3，MNx|2<x<2故選C.3.(2018·全國(guó)卷)已知集合A(x，y)|x2y23，xZ，yZ，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A.9B8 C5D4答案A解析x2y23，x23，xZ，x1,0,1，當(dāng)x1時(shí)，y1,0,1；當(dāng)x0時(shí)，y1,0,1；當(dāng)x1時(shí)，y1,0,1，A中元素共有9個(gè)，故選A.1.研究一個(gè)集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制條件，當(dāng)集合用描述法表示時(shí)，注意弄清其元素表示的意義是什么，如第1題中，集合M中的元素是y，所求集合為函數(shù)的值域，集合N中元素為x，所求集合為函數(shù)的定義域；第2題中，集合中的元素是x，所求集合為不等式解集；第3題中，集合中的元素是(x，y)，所求集合為函數(shù)圖象上的點(diǎn)集2.在集合化簡(jiǎn)時(shí)，要注意正確求解代表元素的取值范圍，再借助數(shù)軸圖或函數(shù)圖進(jìn)行運(yùn)算解決.熱點(diǎn)3以集合為載體的創(chuàng)新題以考查探究能力和創(chuàng)新能力為目的，使用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)去分析和解決問(wèn)題(2019·沈陽(yáng)模擬)已知集合AxN|x22x30，B1,3，定義集合A，B之間的運(yùn)算“*”：A*Bx|xx1x2，x1A，x2B，則A*B中的所有元素?cái)?shù)字之和為()A.15B16 C20D21答案D解析由x22x30，得(x1)(x3)0，得A0,1,2,3因?yàn)锳*Bx|xx1x2，x1A，x2B，所以A*B中的元素有：011,033,112,134,213(舍去)，235,314(舍去)，336，所以A*B1,2,3,4,5,6，所以A*B中的所有元素?cái)?shù)字之和為21.解決以集合為背景的新定義問(wèn)題，要抓住兩點(diǎn)：(1)緊扣新定義首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中(2)用好集合的性質(zhì)解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素本題中x1A，x2B，忽視任何一個(gè)條件，都會(huì)導(dǎo)致失誤丟分！熱點(diǎn)4四種命題及其之間的關(guān)系1.由原命題寫(xiě)出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論2.兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性，當(dāng)一個(gè)命題判斷不易時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假原命題：設(shè)a，b，cR，若“a>b”，則“ac2>bc2”，以及它的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題共有()A.0個(gè)B1個(gè) C2個(gè)D4個(gè)答案C解析若c0，則原命題不成立，由等價(jià)命題同真假知其逆否命題也為假；逆命題：設(shè)a，b，cR，若“ac2>bc2”，則“a>b”由ac2>bc2知c2>0，由不等式的基本性質(zhì)得a>b，所以逆命題為真，由等價(jià)命題同真假知否命題也為真，所以真命題共有2個(gè)故選C.寫(xiě)一個(gè)命題的其他三種命題形式時(shí)，若命題有大前提，需保留大前提不變，只改變條件和結(jié)論判斷命題真假時(shí)，要注意原命題與逆否命題同真假，故四個(gè)命題中真、假命題必有偶數(shù)個(gè)本題中“設(shè)a，b，cR”是大前提，在原命題的判斷中易忽略c0的特殊情況而得出真命題，從而錯(cuò)選D.熱點(diǎn)5充分、必要條件的判斷判斷充分、必要條件的三種方法：(1)利用定義判斷(2)利用集合間的包含關(guān)系判斷 1(2017·北京高考)設(shè)m，n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得mn”是“m·n0”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件答案A解析若0，使mn，即兩向量反向，夾角是，那么m·n|m|n|cos|m|n|0，反過(guò)來(lái)，若m·n0，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得mn，所以是充分不必要條件，故選A.答案9，)1第1題誤區(qū)有兩個(gè)方面：由“存在負(fù)數(shù)，使得mn”不能得出向量反向，由“m·n0”，不能得出；由向量m與n反向能得出m·n<0，而認(rèn)為m·n<0也能得出m與n反向2對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題一般運(yùn)用等價(jià)法，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解但第2題中由NM，易誤解為得m>9.熱點(diǎn)6簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題1含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷步驟 2全(特)稱(chēng)命題的否定及真假的判斷方法(1)含有全稱(chēng)量詞的全稱(chēng)命題的否定是將全稱(chēng)量詞改為存在量詞，并把結(jié)論否定；含有存在量詞的特稱(chēng)命題的否定是將存在量詞改為全稱(chēng)量詞，并把結(jié)論否定(2)有些全稱(chēng)(或特稱(chēng))命題省略了全稱(chēng)(或存在)量詞，否定時(shí)要先理解其含義，再進(jìn)行否定1下列命題中的假命題是()AxR,2x1>0BxN*，(x1)2>0Cx0R，lg x0<1Dx0R，tanx02答案B解析當(dāng)xN*時(shí)，x1N，可得(x1)20，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào)，故B不正確；易知A，C，D正確，故選B. Ax1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0Bx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)0Cx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)<0Dx1，x2R，f(x2)f(x1)(x2x1)<0答案C 判定全稱(chēng)命題“xM，p(x)”是真命題，需要對(duì)集合M中的每一個(gè)元素x，證明p(x)成立；要判斷特稱(chēng)命題是真命題，只要在限定集合內(nèi)找到一個(gè)xx0，使p(x0)成立真題自檢感悟1.(2018·全國(guó)卷)已知集合Ax|x2x2>0，則RA()A.x|1<x<2Bx|1x2C.x|x<1x|x>2Dx|x1x|x2答案B解析解不等式x2x2>0得x<1或x>2，所以Ax|x<1或x>2，所以可以求得RAx|1x2，故選B.2.(2017·全國(guó)卷)設(shè)集合A1,2,4，Bx|x24xm0若AB1，則B()A.1，3B1,0 C1,3D1,5答案C解析AB1，1B.14m0，即m3.Bx|x24x301,3故選C.3.(2017·天津高考)設(shè)R，則“”是“sin”的()A.充分而不必要條件B必要而不充分條件C.充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析，即0.顯然0時(shí)，sin成立但sin時(shí)，由周期函數(shù)的性質(zhì)知0不一定成立故0是sin的充分而不必要條件故選A.4.(2017·全國(guó)卷)設(shè)有下面四個(gè)命題：p1：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足R，則zR；p2：若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足z2R，則zR；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿(mǎn)足z1z2R，則z12；p4：若復(fù)數(shù)zR，則R.其中的真命題為()A.p1，p3Bp1，p4 Cp2，p3Dp2，p4答案B解析設(shè)zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)對(duì)于p1，若R，即R，則b0zabiaR，所以p1為真命題對(duì)于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，則ab0.當(dāng)a0，b0時(shí)，zabibiR，所以p2為假命題對(duì)于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，則a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因?yàn)閍1b2a2b1a2，b1b2，所以p3為假命題對(duì)于p4，若zR，即abiR，則b0abiaR，所以p4為真命題故選B.5.(2019·北京高考)設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線(xiàn)，則“與的夾角為銳角”是“|>|”的()A.充分而不必要條件B必要而不充分條件C.充分必要條件D既不充分也不必要條件答案C解析因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C不共線(xiàn)，由向量加法的三角形法則，可知，所以|>|等價(jià)于|>|，因模為正，故不等號(hào)兩邊平方得222|cos>222|·|cos(為與的夾角)，整理得4|·cos>0，故cos>0，即為銳角又以上推理過(guò)程可逆，所以“與的夾角為銳角”是“|>|”的充分必要條件故選C.專(zhuān)題作業(yè)一、選擇題1.(2018·天津高考)設(shè)全集為R，集合Ax|0<x<2，Bx|x1，則A(RB)()A.x|0<x1Bx|0<x<1C.x|1x<2Dx|0<x<2答案B解析由題意可得，RBx|x<1，結(jié)合交集的定義可得，A(RB)x|0<x<1故選B.2.(2019·焦作模擬)命題p：cos，命題q：tan1，則p是q的()A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充要條件D既不充分也不必要條件答案D解析由cos，得±2k，kZ，則tan±1，故pq，p是q的不充分條件；由tan1，得k，kZ，則cos±，故qp，p是q的不必要條件；所以p是q的既不充分也不必要條件故選D.3.(2019·海南聯(lián)考)已知集合Ax|3x2x20，Bx|log2(2x1)0，則AB等于()答案D解析由題意得A，B，AB，故選D.4.(2019·鄭州質(zhì)測(cè))下列命題是真命題的是()A.R，函數(shù)f(x)sin(2x)都不是偶函數(shù)B.，R，使cos()coscosC.向量a(2,1)，b(1,0)，則a在b方向上的投影為2D.“|x|1”是“x1”的既不充分又不必要條件答案B解析當(dāng)k，kZ時(shí)，函數(shù)f(x)sin(2x)是偶函數(shù)，所以A是假命題；若，則cos()coscos，所以B是真命題；|a|cosa，b2，即a在b方向上的投影為2，所以C是假命題；“|x|11x1”是“x1”的充分不必要條件，所以D是假命題，故選B.5.(2018·天津高考)設(shè)xR，則“<”是“x3<1”的()A.充分而不必要條件B必要而不充分條件C.充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析絕對(duì)值不等式<<x<0<x<1，由x3<1x<1.據(jù)此可知<是x3<1的充分而不必要條件故選A.6.(2018·浙江高考)已知平面，直線(xiàn)m，n滿(mǎn)足m，n，則“mn”是“m”的()A.充分不必要條件B必要不充分條件C.充分必要條件D既不充分也不必要條件答案A解析因?yàn)槠矫嫱庖粭l直線(xiàn)與平面內(nèi)一條直線(xiàn)平行，可得線(xiàn)面平行，所以若“mn”，則“m”；當(dāng)“m”時(shí)，m不一定與n平行，所以“mn”是“m”的充分不必要條件故選A.7.已知p：xk，q：(x1)(2x)<0，如果p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A.2，)B(2，)C.1，) D(，1答案B解析由q：(x1)(2x)<0，得x<1或x>2，又p是q的充分不必要條件，所以k>2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(2，)，故選B.8.命題“x1,2)，x2a0”成立的一個(gè)充分不必要條件可以是()A.a1Ba>1 Ca4Da>4答案D解析命題成立的充要條件是x1,2)，ax2恒成立，即a4.命題成立的一個(gè)充分不必要條件可以是a>4.故選D.9.下列命題中，真命題是()A.x0R，ex00B.xR,2x>x2C.ab0的充要條件是1D.“a>1，b>1”是“ab>1”的充分條件答案D解析因?yàn)閥ex0>0，x0R恒成立，所以A不正確；因?yàn)楫?dāng)x5時(shí)，25<(5)2，所以B不正確；“1”是“ab0”的充分不必要條件，所以C不正確；當(dāng)a>1，b>1時(shí)，顯然ab>1，故D正確.10.已知命題p：“x0,1，aex”，命題q：“x0R，x4x0a0”若命題p和q都成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(4，)B1,4C.e,4D(，1)答案C解析對(duì)于p成立，a(ex)max，ae.對(duì)于q成立，知x4x0a0有解，則164a0，解得a4.綜上可知ea4.故選C.11.已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定義集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，則AB中元素的個(gè)數(shù)為()A.77B49 C45D30答案C解析當(dāng)x10時(shí)，y11,0,1，而x2，y22，1,0,1,2，此時(shí)x1x22，1,0,1,2，y1y23，2，1,0,1,2,3，則AB中元素的個(gè)數(shù)為5×735.當(dāng)x1±1時(shí)，y10，而x2，y22，1,0,1,2，此時(shí)x1x23，2，1,0,1,2,3，y1y22，1,0,1,2由于當(dāng)x1x22，1,0,1,2，y1y22，1，0,1,2時(shí)，AB中的元素與x10時(shí)有重復(fù)的元素，此時(shí)不重復(fù)的元素個(gè)數(shù)為2×510，所以AB中元素的個(gè)數(shù)為351045.故選C.12.給出下列四個(gè)命題：“若x0為yf(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)0”的逆命題為真命題；“平面向量a，b的夾角是鈍角”的充分不必要條件是“a·b<0”；命題“xR，x2x1<0”的否定是“xR，x2x10”其中不正確命題的編號(hào)是()A.BC.D答案D解析對(duì)于，“若x0為yf(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)0”的逆命題為“若f(x0)0，則x0為yf(x)的極值點(diǎn)”，不正確，如f(x)x3，f(x)3x2，由f(x0)0，可得x00，但x00不是極值點(diǎn)，故錯(cuò)；對(duì)于，“平面向量a，b的夾角是鈍角”等價(jià)于“a·b<0，且a·b不共線(xiàn)”，則“平面向量a，b的夾角是鈍角”的必要不充分條件是“a·b<0”，故錯(cuò)；對(duì)于，若命題p：<0，則：0或x1，故錯(cuò)；對(duì)于，命題“xR，x2x1<0”的否定是“xR，x2x10”，故正確故選D.二、填空題13.已知全集UR，集合A，B滿(mǎn)足Ax|2x7，Bx|m1<x<2m1且B.若(UA)B，則m的取值范圍是_答案(2,4解析UAx|x<2或x>7，B，m1<2m1，得m>2；(UA)B，BA，m12 且2m17，得m4且m3，m(2,4.14.若“x，tanxm”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為_(kāi)答案1解析若“x，tanxm”是真命題，則mtan1，于是實(shí)數(shù)m的最小值為1.15.(2019·山東濟(jì)南一中月考)已知不等式|xm|<1成立的充分不必要條件是<x<，則m的取值范圍是_答案解析解不等式|xm|<1，得m1<x<m1.由題意可得(m1，m1)，故且等號(hào)不同時(shí)成立，解得m.16.已知集合A，Bx|xm22，p：xA，q：xB，p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析由yx2x12，0x2，得y2，A.xm22，即x2m2，又由題意知AB，2m2，m2.m或m.- 14 -