第30講正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用1(2017·淮北一中月考)在ABC中，兩邊的差為2，兩邊夾角的余弦值為，且三角形面積為14，則這兩邊的長分別是(D)A3,5 B4,6C6,8 D5,7 不妨設(shè)兩邊為b，c(b>c)，則bc2，cos A，則sin A，所以SABCbcsin Abc14.所以bc35.所以b7，c5.2(2019·岳陽一模)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，則ABC的形狀是(D)A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 由正弦定理得：sin Csin Acos B(2sin Asin B)cos A，即 sin(AB)sin Acos B(2sin Asin B)cos A，得sin Bcos Asin Acos A.當cos A0時，A，此時為直角三角形；當cos A0時，sin Bsin A，即AB或AB(舍)，此時為等腰三角形所以ABC為等腰三角形或直角三角形3在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，則A的取值范圍是(C)A(0， B，)C(0， D，) 由正弦定理及題設(shè)條件知a2b2c2bcb2c2a2bc1cos A，所以0<A.4如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于(C)A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m 如圖，ACD30°，ABD75°，AD60m，在RtACD中，CD60m，在RtABD中，BD60(2)m，所以BCCDBD6060(2)120(1)m.5一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這只船的速度是每小時10海里 如圖，可知BMA75°60°15°，又MAP30°，所以MBA15°，所以AMAB10.所以MPAMcos 60°5，其速度為10(海里/小時)6(2018·石家莊一模)如圖所示，平面四邊形ABCD的對角線交點位于四邊形的內(nèi)部， AB1, BC， ACCD, ACCD，當ABC變化時，對角線BD的最大值為_3_ 設(shè)ABC，ACB，則由余弦定理可得AC232cos ，由正弦定理可得sin ， 所以BD2232cos 2×× ×cos(90°) 52cos 2sin 54sin(45°)，所以135°時， BD2有最大值9 , BD取得最大值為3.7(2018·石家莊二模)已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且tan Atan B.(1)求角A的大小；(2)設(shè)AD為BC邊上的高，a，求AD的取值范圍 (1)在ABC中，因為tan Atan B.所以，即，所以，則tan A，所以A.(2)因為SABCAD·BCbcsin A，所以ADbc.由余弦定理得cos A，所以0<bc3(當且僅當bc時等號成立)所以0<AD.8(2018·鄭州一中周測)在ABC中，AB12，C的平分線CD把三角形面積分成3 2兩部分，則cos A(C)A. B.C. D0 因為C的平分線CD把三角形面積分成32兩部分，所以ACBC32，所以，所以cos A.9(2018·華南師大附中模擬)在ABC中，a，b，c為A，B，C的對邊，a，b，c成等比數(shù)列，ac3，cos B，則·_ 因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2ac，又ac3，cos B，由余弦定理，得：aca2c22a·c·，即ac(ac)22acac，所以ac(ac)22.所以·c·a·cos(B)ac×2.10(2017·全國卷)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面積為2，求b. (1)由題設(shè)及ABC得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，或cos B.故cos B.(2)由cos B得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362××(1)4.所以b2.5