第20講導數(shù)的實際應用及綜合應用1某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y(tǒng)10(x6)2，其中3x6，a為常數(shù)已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大 (1)因為當x5時，y11，所以10(56)211，解得a2.(2)由(1)知該商品每日的銷售量y10(x6)2(3x6)，所以該商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)10(x6)2(x3)210(x3)(x6)2(3x6)，所以f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點，所以當x4時，f(x)max42.答：當銷售價格定為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大2請你設計一個包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A、B、C、D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒，E、F在AB上被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個端點，設AEFBx(cm)(1)若廣告商要包裝盒側(cè)面積S(cm2)最大，試問x應取何值？(2)若廣告商要包裝盒容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值 (1)根據(jù)題意，有S4×x×(602x)8(x15)21800(0<x<30)所以x15時，包裝盒側(cè)面積S最大(2)根據(jù)題意，有V(x)2×(602x)2x2(30x)(0<x<30)所以V6x(20x)當0<x<20時，V>0，V單調(diào)遞增；當20<x<30時，V<0，V單調(diào)遞減所以當x20時，V取極大值，也是最大值此時，包裝盒的高與底面邊長的比值為，即x20時，包裝盒容積V(cm3)最大，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為.3(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)ax2axxln x，且f(x)0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點x0，且e2<f(x0)<22. (1)f(x)的定義域為(0，)設g(x)axaln x，則f(x)xg(x)，f(x)0等價于g(x)0.因為g(1)0，g(x)0，故g(1)0，而g(x)a，g(1)a1，得a1.若a1，則g(x)1.當0<x<1時，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當x>1時，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增所以x1是g(x)的極小值點，故g(x)g(1)0.綜上，a1.(2)由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x.設h(x)2x2ln x，則h(x)2.當x(0，)時，h(x)<0；當x(，)時，h(x)>0.所以h(x)在(0，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增又h(e2)>0，h()<0，h(1)0，所以h(x)在(0，)上有唯一零點x0，在，)上有唯一零點1，且當x(0，x0)時，h(x)>0；當x(x0,1)時，h(x)<0；當x(1，)時，h(x)>0.因為f(x)h(x)，所以xx0是f(x)的唯一極大值點由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0(0，)得f(x0)<.因為xx0是f(x)在(0,1)上的最大值點，由e1(0,1)，f(e1)0得f(x0)>f(e1)e2.所以e2<f(x0)<22.4(2018·華南師大附中模擬)函數(shù)f(x)x2mln(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，且x1<x2，求證：2f(x2)>x12x1ln 2. f(x)的定義域是(1，)，f(x)，(1)由題設知，1x>0，令g(x)2x22xm，這是開口向上，以x為對稱軸的拋物線，g()m，當g()0，即m時，g(x)0，即f(x)0在(1，)上恒成立當g()<0，即m<時，由g(x)2x22xm0得x±，令x1，x2，則x1<，x2>.1)當g(1)0即m0時，x1<1，故在(1，x2)上，g(x)<0，即f(x)<0，在(x2，)上，g(x)>0，即f(x)>0.2)當g(1)>0時，即0<m<時，x(1，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)g(x)>000f(x)>000f(x)遞增遞減遞增綜上：m0時，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，在(，)上單調(diào)遞增；0<m<時，f(x)在(，)上單調(diào)遞減，在(1，)和(，)上單調(diào)遞增；m時，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增(2)證明：若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1，x2，且x1<x2，則必是0<m<，g(0)>0，則1<x1<<x2<0，且f(x)在(x1，x2)上遞減，在(1，x1)和(x2，)上遞增，則f(x2)<f(0)0，因為x1，x2是g(x)2x22xm0的兩個不等實根，所以 即x11x2，m2x1x2，所以若證2f(x2)>x12x1ln 2成立，只需證2f(x2 ) 2x 2mln(1 x2 ) 2x 4x1 x2 ln(1 x2 )2x4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )>(1x2)2(1x2)ln 21x22(1x2)ln 2.即證2x4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )(1x2)(12ln 2)>0對<x2<0恒成立，設(x)2x24(1x)xln(1x)(1x)(12ln 2)(<x<0)，(x)4(12x)ln(1x)ln，當<x<0時，12x>0，ln(1x)<0，ln>0，故(x)>0，故(x)在(，0)上遞增，故(x)>()2×4××()×ln×(12ln 2)0，所以2x4(1 x2 )x2 ln(1 x2 )(1x2)(12ln 2)>0對<x2<0恒成立，所以2f(x2)>x12x1ln 2.5