第8講數(shù)列考情分析數(shù)列為每年高考必考內(nèi)容之一，考查熱點(diǎn)主要有三個(gè)方面：(1)對(duì)等差、等比數(shù)列基本量和性質(zhì)的考查，常以客觀題的形式出現(xiàn)，考查利用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式建立方程(組)求解，利用性質(zhì)解決有關(guān)計(jì)算問題，屬于中、低檔題；(2)對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的考查；(3)對(duì)數(shù)列求和及其簡(jiǎn)單應(yīng)用的考查，主、客觀題均會(huì)出現(xiàn)，常以等差、等比數(shù)列為載體，考查數(shù)列的通項(xiàng)、求和，難度中等熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn)1等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算及性質(zhì)1.等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算的解題策略(1)設(shè)基本量a1和公差d(公比q)；(2)列、解方程(組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程(組)，然后求解，注意整體計(jì)算，以減少運(yùn)算量2.等差(比)數(shù)列性質(zhì)問題的求解策略(1)解題關(guān)鍵：抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān)系，從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解；(2)牢固掌握等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，可分為三類：通項(xiàng)公式的變形；等差(比)中項(xiàng)的變形；前n項(xiàng)和公式的變形比如：等差數(shù)列中，“若mnpq，則amanapaq(m，n，p，qN*)”；等比數(shù)列中，“若mnpq，則am·anap·aq(m，n，p，qN*)”1.已知在公比不為1的等比數(shù)列an中，a2a49，且2a3為3a2和a4的等差中項(xiàng)，設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)積為Tn，則T8()A.×37 B310C.318 D320答案D解析由題意得a2a4a9.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由2a3為3a2和a4的等差中項(xiàng)可得4a33a2a4，即4a3a3q，整理得q24q30，由公比不為1，解得q3.所以T8a1·a2··a8aq28(aq16)·q12(a1q2)8·q12a·q1294×312320.故選D.2.(2019·江蘇高考)已知數(shù)列an(nN*)是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和若a2a5a80，S927，則S8的值是_答案16解析解法一：由S92727a1a962a562a18d6且a53.又a2a5a802a15d0，解得a15，d2.故S88a1d16.解法二：同解法一得a53.又a2a5a803a2a802a22a50a23.d2，a1a2d5.故S88a1d16.3.在等比數(shù)列an中，若a7a8a9a10，a8·a9，則_.答案解析由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a7·a10a8·a9，.在求解數(shù)列基本量運(yùn)算中，要注意公式使用時(shí)的準(zhǔn)確性與合理性，更要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性如第1題要注意整體代換思想的運(yùn)用，避免繁雜的運(yùn)算出錯(cuò)；第3題易忽視等比數(shù)列性質(zhì)“若mnpq，則am·anap·aq(m，n，p，qN*)”，而導(dǎo)致計(jì)算量過大.熱點(diǎn)2求數(shù)列的通項(xiàng)公式1.已知Sn求an的步驟(1)先利用a1S1求出a1；(2)用n1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用anSnSn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)注意檢驗(yàn)n1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n2的表達(dá)式合并2.由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為f(n)的數(shù)列，并且容易在求數(shù)列f(n)前n項(xiàng)的積時(shí)，采用疊乘法求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)于遞推關(guān)系式可轉(zhuǎn)化為an1anf(n)的數(shù)列，通常采用疊加法(逐差相加法)求其通項(xiàng)公式；(3)對(duì)于遞推關(guān)系式形如an1panq(p0,1，q0)的數(shù)列，采用構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式1.(2019·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)、河南實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)考)在數(shù)列an中，a12，ln ，則an等于()A.2nln n B2n(n1)ln nC.2nnln n D1nnln n答案C解析由題意得ln (n1)ln n，n分別用1,2,3，(n1)取代，累加得ln nln 1ln n，2ln n，an(ln n2)n，故選C.2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，an12Sn，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為_答案an解析當(dāng)n2時(shí)，an2Sn1，an1an2Sn2Sn12an，即an13an，數(shù)列an的第2項(xiàng)及以后各項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，a22a12，公比為3，an2·3n2，n2，當(dāng)n1時(shí)，a11，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an1.利用anSnSn1求通項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意n2這一前提條件第2題易錯(cuò)解為an2·3n2.2.利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)時(shí)，要合理轉(zhuǎn)化確定相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系第1題易錯(cuò)點(diǎn)有二：一是已知條件的轉(zhuǎn)化不明確導(dǎo)致無從下手；二是疊加法求通項(xiàng)公式不熟練導(dǎo)致出錯(cuò).熱點(diǎn)3數(shù)列求和問題1.分組求和的常用方法(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組；(2)根據(jù)正、負(fù)項(xiàng)分組，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)式中常會(huì)有(1)n等特征2.裂項(xiàng)相消的規(guī)律(1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差；(2)裂項(xiàng)相消后前、后保留的項(xiàng)數(shù)一樣多3.錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列bn對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘an·bn型數(shù)列求和；(2)步驟求和時(shí)先乘以等比數(shù)列bn的公比；把兩個(gè)和的形式錯(cuò)位相減；整理結(jié)果形式1.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn2n1m，且a1，a4，a52成等差數(shù)列，bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則滿足Tn>的最小正整數(shù)n的值為()A.11 B10 C9 D8答案B解析根據(jù)Sn2n1m可以求得an所以有a1m4，a416，a532，根據(jù)a1，a4，a52成等差數(shù)列，可得m432232，從而求得m2，所以a12滿足an2n，從而求得an2n(nN*)，所以bn，所以Tn11，令1>，整理得2n1>2019，解得n10.2.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且ann·2n，則Sn_.答案(n1)2n12解析由ann·2n且Sna1a2an得，Sn1×212×223×23(n1)×2n1n×2n，2Sn1×222×23(n1)×2nn×2n1.兩式相減得，Sn2122232nn×2n1n×2n12n12n×2n1Snn×2n12n12(n1)2n12.裂項(xiàng)相消后一般情況下剩余項(xiàng)是對(duì)稱的，即前面剩余的項(xiàng)和后面剩余的項(xiàng)是對(duì)應(yīng)的第1題易搞錯(cuò)剩余項(xiàng)，導(dǎo)致求和出錯(cuò)第2題錯(cuò)位相減法求和時(shí)，易出現(xiàn)以下兩種錯(cuò)誤：一是兩式錯(cuò)位相減時(shí)最后一項(xiàng)n×2n1沒有變號(hào)；二是對(duì)相減后的和式的結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)模糊，把項(xiàng)數(shù)數(shù)錯(cuò).熱點(diǎn)4數(shù)列的綜合應(yīng)用1.解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值2.數(shù)列與函數(shù)綜合問題的注意點(diǎn)(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別注意；(2)利用函數(shù)的方法研究數(shù)列中相關(guān)問題時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，注意數(shù)列中相關(guān)限制條件的轉(zhuǎn)化1.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1，an1則S2018等于()A. B. C. D.答案B解析由題知，a1，a22×1，a32×1，a42×，a52×，數(shù)列an是以4為周期的周期數(shù)列，a1a2a3a42，S2018504×(a1a2a3a4)a1a21008.故選B.2.已知數(shù)列an滿足a133，an1an2n，則的最小值為_答案解析由題意得，a2a12×1，a3a22×2，a4a32×3，anan12(n1)，將上述n1個(gè)式子累加，得(a2a1)(a3a2)(anan1)212(n1)，即ana1n(n1)，得ana1n(n1)n2n33，所以n1.設(shè)f(x)x1(x>0)，則f(x)1，由f(x)>0，解得x>；由f(x)<0，解得0<x<.所以函數(shù)f(x)在，)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減因?yàn)閚N*，所以當(dāng)n6時(shí)，f(n)即取得最小值，而f(6)61.所以的最小值為f(6).第1題易把數(shù)列的周期求錯(cuò)，導(dǎo)致S2018的值求錯(cuò)第2題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有兩個(gè)：一是在的表達(dá)式中，忽視n為正整數(shù)的特點(diǎn)并直接利用基本不等式n2求解最值；二是即使考慮了n為正整數(shù)，但把取最小值時(shí)的n值弄錯(cuò).真題自檢感悟1.(2018·全國(guó)卷)設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若3S3S2S4，a12，則a5()A.12 B10 C10 D12答案B解析設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，根據(jù)題中的條件可得3×2×2d4×2·d，整理解得d3，所以a5a14d21210，故選B.2.(2019·北京高考)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a23，S510，則a5_，Sn的最小值為_答案010解析a2a1d3，S55a110d10，a14，d1，a5a14d0，ana1(n1)dn5.令an<0，則n<5，即數(shù)列an中前4項(xiàng)為負(fù)，a50，第6項(xiàng)及以后為正Sn的最小值為S4S510.3.(2018·全國(guó)卷)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和若Sn2an1，則S6_.答案63解析根據(jù)Sn2an1，可得Sn12an11，兩式相減得an12an12an，即an12an，當(dāng)n1時(shí)，S1a12a11，解得a11，所以數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，所以S663.4.(2018·江蘇高考)已知集合Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n，nN*將AB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則使得Sn>12an1成立的n的最小值為_答案27解析S26503，a2743，則12a27516，不滿足Sn>12an1；S27546，a2845，則12a28540，滿足Sn>12an1.所以n的最小值為27.專題作業(yè)一、選擇題1.(2017·全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a4a524，S648，則an的公差為()A.1 B2 C4 D8答案C解析設(shè)an的公差為d，則由得解得d4.故選C.2.(2019·河北衡水模擬)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S96，則tana5()A. B. C D答案C解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，S969a5，a5，則tana5tan，故選C.3.(2019·廣州綜合測(cè)試)已知數(shù)列an為等比數(shù)列，若a4a610，則a7(a12a3)a3a9的值為()A.10 B20 C100 D200答案C解析a7(a12a3)a3a9a7a12a7a3a3a9a2a4a6a(a4a6)2100，故選C.4.(2019·大連模擬)設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S23，S415，則S6等于()A.27 B31 C63 D75答案C解析由題意得S2，S4S2，S6S4成等比數(shù)列，所以3,12，S615成等比數(shù)列，所以1223×(S615)，解得S663.5.若Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn2an2，則S8等于()A.255 B256 C510 D511答案C解析當(dāng)n1時(shí)，a1S12a12，據(jù)此可得a12，當(dāng)n2時(shí)，Sn2an2，Sn12an12，兩式作差可得an2an2an1，則an2an1，據(jù)此可得數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，其前8項(xiàng)和為S82925122510.6.設(shè)Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S3a，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a10等于()A.15 B19 C21 D30答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因?yàn)镾3a，所以3a2a，解得a20或a23，又因?yàn)镾1，S2，S4構(gòu)成等比數(shù)列，所以SS1S4，所以(2a2d)2(a2d)(4a22d)，若a20，則d22d2，此時(shí)d0，不符合題意，舍去，當(dāng)a23時(shí)，可得(6d)2(3d)(122d)，解得d2(d0舍去)，所以a10a28d38×219.7.(2019·煙臺(tái)模擬)已知an為等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足b12，b25，且an(bn1bn)an1，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為()A.3n1 B3n1 C. D.答案C解析b12，b25，且an(bn1bn)an1，a1(b2b1)a2，即a23a1，又?jǐn)?shù)列an為等比數(shù)列，數(shù)列an的公比q3，且an0，bn1bn3，數(shù)列bn是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn2n×3.8.(2016·四川高考)某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)A.2018年 B2019年 C2020年 D2021年答案B解析根據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長(zhǎng)的百分率相同，所以，從2015年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個(gè)等比數(shù)列an，其中，首項(xiàng)a1130，公比q112%1.12，所以an130×1.12n1.由130×1.12n1>200，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得n1>，又3.8，則n>4.8，即a5開始超過200，所以2019年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元，故選B.9.已知數(shù)列an滿足a10，an1(nN*)，則a56等于()A. B0 C. D.答案A解析因?yàn)閍n1(nN*)，a10，所以a2，a3，a40，a5，a6，故此數(shù)列的周期為3.所以a56a18×32a2.10.在數(shù)列an中，an，又bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為()A. B. C. D.答案D解析由已知得an·(12n)，從而bn4，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn44.故選D.11.(2017·全國(guó)卷)幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20,21，再接下來的三項(xiàng)是20,21,22，依此類推求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪那么該款軟件的激活碼是()A.440 B330 C220 D110答案A解析設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來的兩項(xiàng)為第2組，再接下來的三項(xiàng)為第3組，依此類推，則第n組的項(xiàng)數(shù)為n，前n組的項(xiàng)數(shù)和為.由題意知，N100，令100n14且nN*，即N出現(xiàn)在第13組之后第n組的各項(xiàng)和為2n1，前n組所有項(xiàng)的和為n2n12n.設(shè)N是第n1組的第k項(xiàng)，若要使前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則N項(xiàng)的和即第n1組的前k項(xiàng)的和2k1應(yīng)與2n互為相反數(shù)，即2k12n(kN*，n14)，klog2(n3)n最小為29，此時(shí)k5，則N5440.故選A.12.已知數(shù)列an中，a12，n(an1an)an1，nN*，若對(duì)于任意的a2,2，nN*，不等式<2t2at1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()A.(，22，)B.(，21，)C.(，12，)D.2,2答案A解析根據(jù)題意，數(shù)列an中，n(an1an)an1，即nan1(n1)an1，則有，則有a123<3，<2t2at1，即3<2t2at1，對(duì)于任意的a2,2，nN*，不等式<2t2at1恒成立，2t2at13，化為2t2at40，設(shè)f(a)2t2at4，a2,2，可得f(2)0且f(2)0，即有即可得t2或t2，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(，22，)，故選A.二、填空題13.(2018·北京高考)設(shè)an是等差數(shù)列，且a13，a2a536，則an的通項(xiàng)公式為_答案an6n3解析a13，a2a536，3d34d36，d6，an36(n1)6n3.14.(2019·全國(guó)卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15，且a53a34a1，則a3_.答案4解析由題意知解得a3a1q24.15.(2019·全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若a10，a23a1，則_.答案4解析由a10，a23a1，可得d2a1，所以S1010a1d100a1，S55a1d25a1，所以4.16.(2019·沈陽模擬)在數(shù)列an中，a12，anan12an11(n2，nN*)，數(shù)列bn滿足bn，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an_，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn的最小值為_答案解析由題意知，an2(n2，nN*)，bn11bn1，即bnbn11(n2，nN*)又b1，數(shù)列bn是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，bnn，即n，an.又b1<0，b2>0，Sn的最小值為S1b1.- 13 -