第4講不等式、線性規(guī)劃考情分析不等式的性質、求解、證明及應用是每年高考必考的內容，對不等式的考查一般以選擇題、填空題為主(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題(2)不等式的相關知識可以滲透到高考的各個知識領域，往往作為解題工具與數列、函數、向量相結合，在知識的交匯處命題，難度中檔，在解答題中，特別是在解析幾何中利用不等式求最值、范圍或在解決導數問題時利用不等式進行求解，難度偏高熱點題型分析熱點1不等式的性質及解法1.利用不等式的性質比較大小要注意特殊值法的應用2.一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc0(a0)，再求相應一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集3.簡單分式不等式的解法(1)>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；(2)0(0)1.已知a>b>0，給出下列四個不等式：a2>b2；2a>2b1；>；a3b3>2a2b.其中一定成立的不等式為()A.BC.D答案A解析解法一：由a>b>0可得a2>b2，所以成立；由a>b>0可得a>b1，而函數f(x)2x在R上是增函數，f(a)>f(b1)，即2a>2b1，所以成立；a>b>0，>，()2()222b2()>0，>，所以成立；若a3，b2，則a3b335,2a2b36，有a3b3<2a2b，所以不成立故選A.解法二：令a3，b2，可以得到a2>b2，2a>2b1，>均成立，而a3b3>2a2b不成立，故選A.2.函數f(x)的定義域為()A.0,3B.(0,3)C.(，03，)D.(，0)(3，)答案A解析要使函數f(x)有意義，則3xx20，即x23x0x(x3)0，解得0x3，故選A.3.不等式1的解集為()A.x|x<1或x3Bx|1x3C.x|1<x3Dx|1<x<3答案C解析由1，移項得10，即0，解得1<x3，故選C.1.判斷不等式是否成立，需要利用性質推理判斷，也經常采用特值法進行驗證或舉出反例，如第1題中對于a與ab或者ab與0的大小判斷易出錯，利用不等式的性質ab0，abbb0，即ab0.2.解一元二次不等式要注意二次項系數的正負，通常先把系數化正再求解，不等式的解集要寫成集合或區(qū)間的形式如第2題易忽略二次項系數為負，由3xx20得出選項C.3.解不等式時同解變形出錯，第3題易出現的問題有兩個方面：一是錯用不等式的性質直接把不等式化為2x4x1求解；二是同解變形過程中忽視分母不為零的限制條件，導致增解.熱點2基本不等式及其應用1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法則(1)如果x>0，y>0，xyp(定值)，當xy時，xy有最小值2.(簡記：積定和最小)(2)如果x>0，y>0，xys(定值)，當xy時，xy有最大值s2.(簡記：和定積最大)2.利用基本不等式解決條件最值問題的關鍵是構造和為定值或乘積為定值，主要有兩種思路：(1)通過變形直接利用基本不等式解決(2)對條件變形，根據已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結合點”，通過“1”的代換、添項、分離常數等手段使之能運用基本不等式常見的轉化方法有：若1，則mxny(mxny)·1(mxny)·manb2(字母均為正數)；xxaaa2(x>a，b>0)1.下列結論正確的是()A.當x>0且x1，lg x2B.<1(xR)C.當x>0時，2D.當0<x2時，x無最大值答案C解析對于A，當0<x<1時，lg x<0，不等式不成立；對于B，當x0時，有1，不等式不成立；對于C，當x>0時，22，當且僅當x1時等號成立；對于D，當0<x2時，yx單調遞增，所以當x2時，取得最大值，最大值為.故選C.2.已知0<x<1，則x(43x)取得最大值時x的值為_答案解析x(43x)·(3x)(43x)·2，當且僅當3x43x，即x時，取等號所以x(43x)的最大值為，取得最大值時x的值為.3.設x>1，則函數y的最小值為_答案9解析x>1，x1>0，yx15259，當且僅當x1，即x1時取“”(由于x>1，故x3舍去)，y的最小值為9.4.(2018·江蘇高考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，ABC120°，ABC的平分線交AC于點D，且BD1，則4ac的最小值為_答案9解析由題意可知，SABCSABDSBCD，由角平分線性質和三角形面積公式得acsin120°a×1×sin60°c×1×sin60°，化簡得acac，1，因此4ac(4ac)5529，當且僅當c2a3時取等號，則4ac的最小值為9.1.利用均值不等式求解最值時，要注意三個條件，即“一正各項都是正數；二定和或積為定值；三等能取到使等號成立的值”，這三個條件缺一不可2.第2題易出錯的地方是：不會“湊”，不能根據函數解析式的特征適當變形湊出兩式之和為定值；第3題是分子展開后不能變形湊出兩式之積為定值第4題利用“1”的代換或配湊使和為定值或積為定值時，代數式的變形要注意保持等價.熱點3簡單的線性規(guī)劃問題1.解決線性規(guī)劃問題的一般步驟(1)畫出可行域；(2)根據線性目標函數的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點；(3)求出目標函數的最大值和最小值2.常見代數式的幾何意義(1)zAxBy表示與直線yx在y軸上的截距成比例的數；(2)z(xa)2(yb)2區(qū)域內動點(x，y)與定點(a，b)的距離的平方；(3)z表示區(qū)域內動點(x，y)與定點(a，b)連線的斜率3.求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法(1)首先把不含參數的平面區(qū)域確定好；(2)把參數當成常數用，根據線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標函數確定最值，通過構造方程或不等式求解參數的值或取值范圍4.解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟(1)分析題意，設出未知量；(2)列出線性約束條件和目標函數；(3)作出可行域并利用數形結合求解；(4)作答題型1已知約束條件，求目標函數的最值1.(2019·全國卷)若變量x，y滿足約束條件則z3xy的最大值是_答案9解析作出已知約束條件對應的可行域(圖中陰影部分)，由圖易知，當直線y3xz過點C時，z最小，即z最大由解得即C點坐標為(3,0)，故zmax3×309.2.(2019·晉城一模)若x，y滿足約束條件則zx2y24x6y13的最小值為_答案解析畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示)，由于zx2y24x6y13(x2)2(y3)2，故z表示可行域內的點A(x，y)與定點P(2,3)間距離的平方，即z|PA|2.由圖形可得|PA|的最小值即為點P(2，3)到直線xy40的距離d，所以zmind2.第1、2題易錯在不能準確把握目標函數z的幾何意義而不知如何變形.題型2已知目標函數的最值求參數1.(2019·華南師大附中一模)已知a>0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A. B. C1D2答案A解析由約束條件畫出可行域(如圖所示三角形及其內部)由得B(1，2a)當直線2xyz0過點B時，z2xy取得最小值，所以12×12a，解得a，故選A.2.已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a()A.3B2 C2D3答案B解析不等式組在直角坐標系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，若zaxy的最大值為4，則yaxz截距的最大值為4.若a<0，則不滿足條件；若a>0，當a<1，即a>1時，x2，y0是最優(yōu)解，此時a2；當a>1，即0<a<1時，x1，y1是最優(yōu)解，此時a3>1(舍)故選B.第1題易在分析動直線的位置時出錯，忽略直線ya(x3)恒過定點(3,0)而不好確定可行域；第2題需明確目標函數中z與直線yaxz截距最值相同，易忽視關于a的正負討論而漏解或錯解.題型3線性規(guī)劃的實際應用(2019·黃岡聯考)一個小型加工廠用一臺機器生產甲、乙兩種桶裝飲料，生產一桶甲飲料需要白糖4千克，果汁18千克，用時3小時；生產一桶乙飲料需要白糖1千克，果汁15千克，用時1小時現庫存白糖10千克，果汁66千克，生產一桶甲飲料利潤為200元，生產一桶乙飲料利潤為100元，在使用該機器用時不超過9小時的條件下，生產甲、乙兩種飲料利潤之和的最大值為_.答案600解析設生產甲、乙兩種飲料分別為x桶、y桶，利潤為z元，則得即目標函數z200x100y.作出可行域(如圖陰影部分所示)當直線z200x100y經過可行域上點B時，z取得最大值解方程組得點B的坐標(2,2)，故zmax200×2100×2600.1.線性規(guī)劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想需要注意的是：一、準確無誤地作出可行域；二、畫目標函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標函數的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得2.在解決線性規(guī)劃的應用問題時要注意結合實際問題的實際意義，判斷所設未知數x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數、是否是非負數等.真題自檢感悟1.(2019·全國卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，則()A.a<b<cBa<c<bC.c<a<bDb<c<a答案B解析因為alog20.2<0，b20.2>1,0<c0.20.3<1，所以b>c>a.故選B.2.(2017·全國卷)設x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A.15B9 C1D9答案A解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示將目標函數z2xy化為y2xz，作出直線y2x，并平移該直線，知當直線y2xz經過點A(6，3)時，z有最小值，且zmin2×(6)315.故選A.3.(2017·天津高考)已知函數f(x)設aR，若關于x的不等式f(x)在R上恒成立，則a的取值范圍是()A. B.C.2，2 D.答案A解析關于x的不等式f(x)在R上恒成立等價于f(x)af(x)，即f(x)af(x)在R上恒成立，令g(x)f(x).當x1時，g(x)(x2x3)x232，當x時，g(x)max；當x1時，g(x)2，當且僅當，且x1，即x時，“”成立，故g(x)max2.綜上，g(x)max.令h(x)f(x)，當x1時，h(x)x2x3x232，當x時，h(x)min；當x1時，h(x)x2，當且僅當，且x1，即x2時，“”成立，故h(x)min2.綜上，h(x)min2.故a的取值范圍為.故選A.4.(2018·天津高考)已知a，bR，且a3b60，則2a的最小值為_答案解析由a3b60可知a3b6，且2a2a23b，因為對于任意x,2x>0恒成立，結合均值不等式的結論可得，2a23b22.當且僅當即時等號成立綜上可得2a的最小值為.專題作業(yè)一、選擇題1.(2019·北京高考)若x，y滿足|x|1y，且y1，則3xy的最大值為()A.7B1 C5D7答案C解析由|x|1y，且y1，得作出可行域如圖陰影部分所示設z3xy，則y3xz.作直線l0：y3x，并進行平移顯然當l0過點A(2，1)時，z取最大值，zmax3×215.故選C.2.不等式0的解集為()A.B.C.1，)D.1，)答案A解析0解得即<x1.故選A.3.(2017·山東高考)若ab0，且ab1，則下列不等式成立的是()A.alog2(ab)B.log2(ab)aC.alog2(ab)D.log2(ab)a答案B解析ab0，ab1，log2(ab)log2(2)1.a>b>0且ab1，a2>ab>b2，則a>1,0<b<1，于是2a>2，0<<，則<.aaa2a>ab>log2(ab)，<log2(ab)<a.故選B.ab0，ab1，取a2，b，此時a4，log2(ab)log2511.3，log2(ab)a.故選B.4.(2019·北京師范大學附中模擬)已知a>0，b>0，并且，成等差數列，則a9b的最小值為()A.16B9 C5D4答案A解析，成等差數列，1.a9b(a9b)1010216，當且僅當且1，即a4，b時等號成立a9b的最小值為16，故選A.5.已知函數f(x)x2的值域為(，0)(4，)，則a的值是()A. B. C1D2答案C解析由題意可得a>0，當x>0時，f(x)x222，當且僅當x時取等號；當x<0時，f(x)x222，當且僅當x時取等號，所以解得a1，故選C.6.(2018·天津高考)已知alog2e，bln 2，clog，則a，b，c的大小關系為()A.a>b>cBb>a>cC.c>b>aDc>a>b答案D解析由題意結合對數函數的性質可知，alog2e>1，bln 2(0,1)，cloglog23>log2e，據此可得，c>a>b.故選D.7.已知x，y>0且x4y1，則的最小值為()A.8B9 C10D11答案B解析x，y>0且x4y1，(x4y)54·52549，當且僅當4·即或(舍去)時等號成立故選B.8.(2019·華大新高考聯盟模擬)若實數x，y滿足不等式組則x2y2的取值范圍是()A.B0,2 C.D0，答案B解析畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，x2y2的幾何意義是陰影內的點到原點的距離的平方，顯然O點為最小值點，而A(1,1)為最大值點，故x2y2的取值范圍是0,2故選B.9.若x，y滿足約束條件則的最大值為()A.1B1 C3D0答案C解析作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A(1,3)與原點連線的斜率最大，故的最大值為3.故選C.10.若直線l：kxy10上不存在滿足不等式組的點(x，y)，則實數k的取值范圍為()A.(，0B.C.(，0)D.答案D解析實數x，y滿足對應的可行域如圖中陰影部分：直線l：kxy10可化為ykx1，故直線l過定點C(0,1)，由圖可知，當直線l過的交點A(1,1)時，k0；當直線l過的交點B時，k.由此可知當0<k<時，直線與不等式組無交點，即直線l上不存在滿足不等式組的點故選D.11.若正數a，b滿足：1，則的最小值為()A.16B9 C6D1答案C解析正數a，b滿足：1，a>1且b>1.1可變形為1，abab，abab0，(a1)(b1)1，a1，a1>0，9(a1)26，當且僅當9(a1)，即a時取“”，的最小值為6.故選C.12.(2019·太原模擬)已知正數a，b滿足1，若不等式abx24x18m對任意實數x恒成立，則實數m的取值范圍是()A.3，)B(，3C.(，6D6，)答案D解析a>0，b>0，且1，ab(ab)1010216，當且僅當，即a4，b12時等號成立，所以(ab)min16.若不等式abx24x18m對任意實數x恒成立，則x24x18m16，即mx24x2對任意實數x恒成立，x24x2(x2)266，m6.實數m的取值范圍是6，)故選D.二、填空題13.已知實數x，y滿足如果目標函數zxy的最小值為1，則實數m等于_答案5解析繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)，聯立直線方程可得交點坐標為A，由目標函數的幾何意義可知目標函數在點A處取得最小值，所以1，解得m5.14.(2017·江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是_答案30解析一年的總運費為6×(萬元)一年的總存儲費用為4x萬元總運費與總存儲費用的和為萬元因為4x2 240，當且僅當4x，即x30時取得等號，所以當x30時，一年的總運費與總存儲費用之和最小.15.(2019·衡水中學檢測)設滿足的實數x，y所在的平面區(qū)域為，則的外接圓方程是_答案(x1)2(y3)210解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示則區(qū)域是四邊形ABCO(含內部及邊界)易知BCAB，則外接圓的圓心為AC的中點，又A(0,6)，C(2,0)，則該四邊形外接圓的圓心為(1,3)，半徑r|AC|.故所求圓的方程為(x1)2(y3)210.16若實數x，y滿足x2y21，則|2xy2|6x3y|的最小值是_答案3解析x2y21表示圓x2y21及其內部，易得直線6x3y0與圓相離，故|6x3y|6x3y，當2xy20時，|2xy2|6x3y|x2y4，如下圖所示，可行域為小的弓形內部，目標函數zx2y4，則可知當x，y時，zmin3，當2xy20時，|2xy2|6x3y|83x4y，可行域為大的弓形內部，目標函數z83x4y，同理可知當x，y時，zmin3，綜上所述，(|2xy2|6x3y|)min3.- 18 -