每日一題規(guī)范練(第三周)題目1 在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知cos 2C.(1)求sin C；(2)當c2a，且b3時，求a.解：(1)因為cos 2 C，即12sin2 C.又0C，所以sin C.(2)由(1)知sin C，且ABC是銳角三角形，所以cos C.因為c2a，所以sin Asin C，cos A.所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.因為，b3，所以a2.題目2 已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比q1，且a21為a1，a3的等差中項，S314.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)記bnan· log2an，求數(shù)列bn的前n項和Tn.解：(1)由題意，得2(a21)a1a3.又S3a1a2a314，所以2(a21)14a2，所以a24.因為S344q14，所以q2或q.又q1，所以公比q2.因此ana2qn24·2n22n.(2)由(1)知an2n，所以bnan·log2ann·2n，所以Tn1×212×223×23(n1)×2n1n×2n.所以2Tn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1.兩式相減得Tn22223242nn×2n1n×2n1(1n)2n12.故Tn(n1)2n12.題目3 如圖，在三棱柱ABC-DEF中，AE與BD相交于點O，C在平面ABED內的射影為O，G為CF的中點(1)求證：平面ABED平面GED；(2)若ABBDBEEF2，求二面角A-CE-B的余弦值(1)證明：取DE中點M，連接OM，在三角形BDE中，OMBE，OMBE.又因為G為CF中點，所以CGBE，CGBE.所以CGOM，CGOM.所以四邊形OMGC為平行四邊形所以GMCO.因為C在平面ABED內的射影為O.所以CO平面ABED.所以GM平面ABED，又因為GM平面DEG，所以平面ABED平面GED.(2)解：因為CO平面ABED，所以COAO，COOB，又因為ABBE，所以四邊形ABED為菱形，所以OBAO.以O為坐標原點，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.于是A(，0，0)，B(0，1，0)，E(，0，0)，C(0，0，)，(，1，0)，(0，1，)設平面BCE的一個法向量為m(x1，y1，z1)，即不妨令z11，則y1，x11，則m(1，1)又n(0，1，0)為平面ACE的一個法向量設二面角ACEB大小為，顯然為銳角，于是cos |cos m，n|，故二面角A-CE-B的余弦值為.題目4 (2019·河南八市聯(lián)盟“領軍考試”)某商家對他所經(jīng)銷的一種商品的日銷售量(單位：噸)進行統(tǒng)計，最近50天的統(tǒng)計結果如下表：日銷售量11.52天數(shù)102515頻率0.2ab若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨立(1)求5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1.5噸的概率；(2)已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，X表示該種商品某兩天銷售利潤的和(單位：千元)，求X的分布列和數(shù)學期望解：(1)由統(tǒng)計表知，a0.5，b0.3.依題意，隨機選取一天，銷售量為1.5噸的概率p0.5.設5天中該種商品有Y天的銷售量為1.5噸，則YB(5，0.5)所以P(Y2)C×0.52×(10.5)30.3125.(2)X的可能取值為4，5，6，7，8.P(X4)0.220.04，P(X5)2×0.2×0.50.2，P(X6)0.522×0.2×0.30.37，P(X7)2×0.3×0.50.3，P(X8)0.320.09，所以X的分布列為：X45678P0.040.20.370.30.09X的數(shù)學期望E(X)4×0.045×0.26×0.377×0.38×0.096.2(千元)題目5 已知橢圓1(ab0)上的點到右焦點F(c，0)的最大距離是1，且1，a，4c成等比數(shù)列(1)求橢圓的方程；(2)過點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB的中垂線交x軸于點M(m，0)求實數(shù)m的取值范圍解：(1)由于1，a，4c成等比數(shù)列，所以1×4c2a2，即a22c.又ac1.聯(lián)立得a，c1.則b2a2c21.所以橢圓的方程為y21.(2)由題意得F(1，0)，設直線AB的方程為yk(x1)與橢圓方程聯(lián)立得消去y可得(12k2)x24k2x2k220.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2k(x1x2)2k.可得線段AB的中點為N.當k0時，直線MN為y軸，此時m0.當k0時，直線MN的方程為y，化簡得kyx0.令y0，得m.所以m.綜上所述，m的取值范圍為.題目6 (2019·衡水聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)excos x，x.(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；(2)若不等式f(x)ax1恒成立，試求正實數(shù)a的取值范圍解：(1)由函數(shù)f(x)excos x，x，得f(x)ex(cos xsin x)，x.令f(x)0，得x，則當x時，f(x)0；當x時，f(x)0.所以f(x)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.(2)令g(x)ax1excos x，則g(x)aex(cos xsin x)aexcos.令h(x)aexcos，則h(x)2exsin x0，即h(x)在區(qū)間上單調遞增，所以h(x)h(0)a1.當a1時，a10，則h(x)0，即g(x)0，所以g(x)在區(qū)間上單調遞增，即g(x)g(0)0，所以excos xax1在區(qū)間上恒成立當0a1時，h(0)a10，hae0，所以h(x)在區(qū)間上單調遞增，故在區(qū)間上存在唯一的x0，使得h(x0)0，即g(x0)0.所以g(x)在區(qū)間0，x0上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增因為x00，所以g(x0)g(0)0，所以excos xax1不恒成立綜上所述，正實數(shù)a的取值范圍是1，)題目7 1.選修44坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，射線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，兩坐標系取相同的長度單位圓C的方程為2sin ，l被圓C截得的弦長為.(1)求實數(shù)m的值；(2)設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為(m，)，且m0，求|PA|PB|的值解：(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.直線l的普通方程為xym0，l被圓C截得的弦長為，所以圓心到直線的距離，解得m3或m3.(2)法1：當m3時，將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程得，(3t)2(t)25，即2t23t20.由于(3)24×420，設t1，t2是方程2t23t20的兩實根所以又直線l過點P(3，)，故由上式及t的幾何意義，得|PA|PB|2(|t1|t2|)2(t1t2)3.法2：當m3時點P(3，)，易知點P在直線l上又32()25，所以點P在圓外聯(lián)立消去y得，x23x20.不妨設A(2，1)、B(1，2)，所以|PA|PB|23.2選修45不等式選講已知f(x)2|x1|2x1|.(1)若f(x)f(1)，求實數(shù)x的取值范圍；(2)f(x)(m0，n0)對任意的xR都成立，求證：mn.(1)解：由f(x)f(1)得2|x1|2x1|5.當x時，2(x1)(2x1)5，得x1；當1x時，2(x1)(2x1)5，得35，不成立；當x1時，2(x1)(2x1)5，得x.綜上，所求的x的取值范圍是(1，)(2)證明：因為2|x1|2x1|2x2|2x1|(2x2)(2x1)|3，所以3.因為m0，n0時，2，所以23，得，所以mn2.- 8 -