第3講 函數(shù)與方程專題復習檢測A卷1(2019年山東煙臺期末)函數(shù)f(x)2x3x的零點所在的一個區(qū)間是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)【答案】B【解析】函數(shù)f(x)2x3x是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，f(2)226<0，f(1)213<0，f(0)1>0，所以函數(shù)f(x)的零點所在的一個區(qū)間是(1,0)故選B2函數(shù)f(x)的圖象大致為()ABCD【答案】B【解析】f(x)的定義域為x|x0，排除A；當x0時，f(x)>0，當x<0時，f(x)<0，排除C，D故選B3(2018年廣西梧州模擬)已知函數(shù)f(x)x2xc，若f(0)0，f(p)0，則必有()Af(p1)0Bf(p1)0Cf(p1)0Df(p1)的符號不能確定【答案】A【解析】由題意知f(0)c0，函數(shù)圖象的對稱軸為x，則f(1)f(0)0.設(shè)f(x)0的兩根分別為x1，x2(x1x2)，則1x1x20.根據(jù)圖象知x1px2，故p10，f(p1)0.4已知函數(shù)f(x)x3ax2(a6)x1有極大值和極小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,2)B(，3)(6，)C(3,6)D(，1)(2，)【答案】B【解析】f(x)3x22ax(a6)，由已知可得f(x)0有兩個不相等的實根，4a24×3(a6)>0，即a23a18>0，解得a>6或a<3.5設(shè)函數(shù)f(x)的零點為x1，g(x)4x2x2的零點為x2，若|x1x2|0.25，則f(x)可以是()Af(x)x21Bf(x)2x4Cf(x)ln(x1)Df(x)8x2【答案】D【解析】選項A，x1±1；選項B，x12；選項C，x10；選項D，x1.g(x)為增函數(shù)，g(1)42240，g(0)120，g2120，g20，x2.故選D6(2019年河南模擬)某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬千克，每種植一千克藕，成本增加0.5元如果銷售額函數(shù)是f(x)x3ax2x(x是蓮藕種植量，單位：萬千克；銷售額的單位：萬元，a是常數(shù))，若種植2萬千克，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕()A8萬千克B6萬千克C5萬千克D3萬千克【答案】B【解析】設(shè)利潤為g(x)，則g(x)x3ax2x1xx3ax21，x(0,8又x2時，g(2)1a1，則a2，故g(x)x3x21，g(x)x2xx(x6)，易得當x6時，g(x)取得最大值，所以要使利潤最大，每年需種植蓮藕6萬千克故選B7(2018年福建漳州校級檢測)若函數(shù)y|x|m有兩個零點，則m的取值范圍是_【答案】(0,1)【解析】在同一平面直角坐標系內(nèi)畫出y|x|和ym的圖象如圖所示，由于函數(shù)有兩個零點，故0<m<1.8已知函數(shù)yx33xc的圖象與x軸恰有兩個公共點，則c_.【答案】2或2【解析】設(shè)f(x)x33xc，對f(x)求導可得f(x)3x23，令f(x)0，可得x±1.易知f(x)在(，1)，(1，)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1,1)內(nèi)單調(diào)遞減由題意，知f(1)0或f(1)0.若f(1)13c0，可得c2；若f(1)13c0，可得c2.9設(shè)函數(shù)f(x)kx33x1(xR)，若對于任意x1,1，都有f(x)0成立，則實數(shù)k的值為_【答案】4【解析】若x0，則不論k取何值，f(x)0都成立當x>0，即x(0,1時，f(x)kx33x10可化為k.設(shè)g(x)，則g(x)，所以g(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，因此g(x)maxg4，從而k4.當x<0，即x1,0)時，f(x)kx33x10可化為k，g(x)在區(qū)間1,0)內(nèi)單調(diào)遞增，因此g(x)ming(1)4，從而k4.綜上，k4.10(2019年江蘇揚州模擬)已知函數(shù)f(x)aln x(a，bR)(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若b1，試討論函數(shù)f(x)零點的個數(shù)【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x).當b0時，f(x)<0在(0，)上恒成立，則函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞減當b>0時，由f(x)>0得0<x<b，由f(x)<0得x>b，則函數(shù)f(x)在(0，b)上單調(diào)遞增，在(b，)上單調(diào)遞減(2)b1時，f(x)aln x，由(1)得函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以當x1時，函數(shù)f(x)取得最大值f(1)a1.當a1<0，即a<1時，函數(shù)f(x)沒有零點當a10，即a1時，函數(shù)f(x)有一個零點當a1>0，即a>1時，易得0<ea<1<ea，f(ea)<0，f(ea)2aea<2e<0，故函數(shù)f(x)有兩個零點B卷11(2018年四川遂寧模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(，0)上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為f(x)，且2f(x)xf(x)x2，則不等式(x2 018)2f(x2 018)4f(2)0的解集為()A(2 020,0) B(，2 020)C(2 018,0) D(，2 018)【答案】B【解析】設(shè)g(x)x2f(x)，x0，其導數(shù)g(x)2xf(x)x2f(x)x(2f(x)xf(x)又由2f(x)xf(x)x20，且x0，則g(x)<0，則g(x)在(，0)上為減函數(shù)，由(x2 018)2f(x2 018)4f(2)0，得(x2 018)2f(x2 018)(2)2f(2)，g(x2 018)g(2)又g(x)在(，0)上為減函數(shù)，解得x2 020.故選B12已知函數(shù)f(x)(a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象在點A(e,1)處的切線與該函數(shù)的圖象恰好有三個公共點，則實數(shù)a的取值范圍是_【答案】(，32)【解析】當x1時，f(x)，則過點A(e,1)的切線斜率為k，故切線方程為y1(xe)，與y(x2)(xa)聯(lián)立后應該有兩組解，即消元得到的x2(1a)x2a0在(，1)內(nèi)有兩個不同的實數(shù)解，則解得a(，32).13(2019年江蘇)設(shè)f(x)，g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，f(x)的周期為4，g(x)的周期為2，且f(x)是奇函數(shù)當x(0,2時，f(x)，g(x)其中k0.若在區(qū)間(0,9上，關(guān)于x的方程f(x)g(x)有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是_【答案】【解析】作出f(x)與g(x)的大致圖象如圖由圖可知，f(x)與g(x)(1x2,3x4,5x6,7x8)僅有2個實數(shù)根，要使f(x)g(x)有8個不同的實數(shù)根，則f(x)與g(x)k(x2)，x(0,1的圖象有2個不同交點由半圓y與直線kxy2k0相切，得1，解得k±(負值舍去)因為兩點(2,0)，(1,1)連線的斜率k，所以k，所以即k的取值范圍為.14(2019年北京)已知函數(shù)f(x)x3x2x.(1)求曲線yf(x)的斜率為1的切線方程；(2)當x2,4時，求證：x6f(x)x；(3)設(shè)F(x)|f(x)(xa)|(aR)，記F(x)在區(qū)間2,4上的最大值為M(a)，當M(a)最小時，求a的值【解析】(1)由f(x)x3x2x，得f(x)x22x1.令f(x)1，即x22x11，解得x0或x.又f(0)0，f，所以曲線yf(x)的斜率為1的切線方程是yx與yx，即yx與yx.(2)證明：要證x6f(x)x，即證6f(x)x0.令g(x)f(x)x，x2,4，則g(x)x3x2，g(x)x22xx.令g(x)0，解得x0或x.又g(2)6，g(4)0，g(0)0，g，所以g(x)的最小值為6，最大值為0.所以6f(x)x0.所以x6f(x)x.(3)由(2)知，當x2,4時，6f(x)x0，所以6af(x)(xa)a.當|6a|a|，即a3時，M(a)3；當a>3時，6a<3，a<3，M(a)|6a|6a>3；當a<3時，6a>3，a>3，M(a)|a|a>3.綜上，M(a)的最小值為3，當M(a)最小時，a3.- 6 -