專題07冪函數與二次函數最新考綱1.了解冪函數的概念2.結合函數yx，yx2，yx3，y，的圖象，了解它們的變化情況3.理解并掌握二次函數的定義，圖象及性質4.能用二次函數，方程，不等式之間的關系解決簡單問題.基礎知識融會貫通1冪函數(1)冪函數的定義一般地，形如yx的函數稱為冪函數，其中x是自變量，是常數(2)常見的5種冪函數的圖象(3)常見的5種冪函數的性質 函數 特征性質yxyx2yx3yyx1定義域RRR0，)x|xR，且x0值域R0，)R0，)y|yR，且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函數(1)二次函數解析式的三種形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)頂點式：f(x)a(xm)2n(a0)，頂點坐標為(m，n)零點式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)，x1，x2為f(x)的零點(2)二次函數的圖象和性質【知識拓展】1冪函數的圖象和性質(1)冪函數的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內，要看函數的奇偶性(2)冪函數的圖象過定點(1,1)，如果冪函數的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點(3)當0時，yx在0，)上為增函數；當0時，yx在(0，)上為減函數2若f(x)ax2bxc(a0)，則當時恒有f(x)>0，當時，恒有f(x)<0.重點難點突破【題型一】冪函數的圖象和性質【典型例題】下圖給出4個冪函數的圖象，則圖象與函數的大致對應是（）A，yx2，yx1Byx3，yx2，yx1Cyx2，yx3，yx1D，yx2，yx1【解答】解：的圖象關于y軸對稱，應為偶函數，故排除選項C，D由圖象知，在第一象限內，圖象下凸，遞增的較快，所以冪函數的指數大于1，故排除A故選：B【再練一題】已知點（2，8）在冪函數f（x）xn圖象上，設，則a，b，c的大小關系是（）AbacBabcCcbaDbca【解答】解：點（2，8）在冪函數f（x）xn圖象上，f（2）2n8，解得n3，f（x）x3，設，a（）0.33（）0.9（）01，b（）0.23（）0.6（）01，c（）3（log1）30，a，b，c的大小關系是bac故選：A思維升華 (1)冪函數的形式是yx(R)，其中只有一個參數，因此只需一個條件即可確定其解析式(2)在區(qū)間(0,1)上，冪函數中指數越大，函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在區(qū)間(1，)上，冪函數中指數越大，函數圖象越遠離x軸(3)在比較冪值的大小時，必須結合冪值的特點，選擇適當的函數，借助其單調性進行比較，準確掌握各個冪函數的圖象和性質是解題的關鍵【題型二】求二次函數的解析式【典型例題】已知二次函數f（x）ax2+（b2）x+3，且1.3是函數f（x）的零點（1）求f（x）解析式，并解不等式f（x）3；（2）若g（x）f（sinx），求函數g（x）的值域【解答】解：（1）由題意得，f（x）x2+2x+3，x2+2x+33，即x22x0，x|x0或x2，（2）令tsinx1，1，g（t）t2+2t+3（t1）2+40，4，g（x）0，4【再練一題】已知二次函數f（x）的最小值為1，且f（0）f（2）3（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在區(qū)間2a，a+1上是單調函數，求實數a的取值范圍【解答】解：（1）由已知，設f（x）a（x1）2+1，由f（0）3，得a2，故f（x）2x24x+3；（2）二次函數的對稱軸為x1，2aa+1，即a1，當對稱軸在區(qū)間的左側時，函數f（x）在區(qū)間2a，a+1上單調遞增，即2a1解得a；當對稱軸在區(qū)間的右側時，函數f（x）在區(qū)間2a，a+1上單調遞減，即a+11解得a0，綜上，實數a的取值范圍為（，0，1）思維升華 求二次函數解析式的方法【題型三】二次函數的圖象和性質命題點1二次函數的圖象【典型例題】已知A，B分別為函數f（x）x2+2x+1和函數g（x）1圖象上的兩點，則|AB|的最小值為（）ABCD【解答】解：由于函數g（x）1與函數yx2+2x+1（x1）關于yx對稱，又由函數f（x）與g（x）的圖象可知，當A，B最近時，點A應在函數yx2+2x+1（x1）上，則|AB|的最小值為函數f（x）或g（x）圖象上的點到直線yx距離最小值的2倍，由g'（x）l，得x，y1，g（x）圖象上的點到直線yx距離最小值即為點（，）到直線yx的距離，其值為，則|AB|的最小值為，故選：B【再練一題】設函數f（x）當x，時，恒有f（x+a）f（x），則實數a的取值范圍是（）A（，）B（1，）C（，0）D（，【解答】解：a0時，顯然不符題意；當x，時，恒有f（x+a）f（x），即為f（x）的圖象恒在f（x+a）的圖象之上，則a0，即f（x）的圖象右移故A，B錯；畫出函數f（x）（a0）的圖象，當x時，f（）a；而f（x+a），則x時，由a（a）2+aa，解得a（舍去），隨著f（x+a）的圖象左移至f（x）的過程中，均有f（x）的圖象恒在f（x+a）的圖象上，則a的范圍是（，0），故選：C命題點2二次函數的單調性【典型例題】已知函數f（x）x2+|x+1a|，其中a為實常數（）判斷f（x）在，上的單調性（）若存在xR，使不等式f（x）2|xa|成立，求a的取值范圍【解答】解：（）函數f（x）x2+|x+1a|，其中a為實常數；當xa1時，f（x）x2+x+1a，它的圖象是拋物線的一部分，對稱軸是x，若a，則a1，在x時，f（x）是增函數，f（x）在，上單調遞增；若a，則a，f（x）在a1，上是增函數；當xa1時，f（x）x2x1+a，它的圖象是拋物線的一部分，對稱軸是x，若a，則a1，在x時，f（x）是減函數，f（x）在，上單調遞減；若a，則a1，f（x）在，a1上是減函數；綜上，a時，f（x）在，上是增函數；a時，f（x）在a1，上是增函數，在，a1上是減函數；a時，f（x）在，上是減函數；（）先求使不等式f（x）2|xa|對xR恒成立時a的取值范圍；當xa1時，不等式化為x2x1+a2（ax），即x2+x1a，a；若a1，即a，則a相矛盾；若a1，即a，則a（a1）2+（a1）1，即a22a10，解得a1或a1，a1；當a1xa時，不等式化為x2+x+1a2（ax），即x2+3x+13a，3a；若a1a，即a；若a1，即a，3a（a1）2+3（a1）+1，即a22a10，解得a1或a1；結合條件及得，a1；若a，3aa2+3a+1恒成立；綜上，a1；當xa時，不等式化為x2+x+1a2（xa），即a2x+1a；a，得a，即a，結合得a1；使不等式f（x）2|xa|對任意xR恒成立的a的取值范圍是a1，本題所求的a的取值范圍是a1或a【再練一題】已知函數f（x）ax2|x|+2a1（a為實常數）（1）若a1，求f（x）的單調區(qū)間；（2）若a0，設f（x）在區(qū)間1，2的最小值為g（a），求g（a）的表達式；（3）設，若函數h（x）在區(qū)間1，2上是增函數，求實數a的取值范圍【解答】解：（1）a1，f（x）x2|x|+1f（x）的單調增區(qū)間為（），（，0）； f（x）的單調減區(qū)間為（），（）（2）由于a0，當x1，2時，若，即，則f（x）在1，2為增函數g（a）f（1）3a2若，即，若，即時，f（x）在1，2上是減函數：g（a）f（2）6a3綜上可得（3）在區(qū)間1，2上任取x1、x2，則（*）h（x）在1，2上是增函數h（x2）h（x1）0（*）可轉化為ax1x2（2a1）0對任意x1、x21，2且x1x2都成立，即ax1x22a1當a0時，上式顯然成立a0，由1x1x24得，解得0a1a0，由1x1x24得，得所以實數a的取值范圍是命題點3二次函數的最值【典型例題】【解答】解：（1）當1時，函數y2x22ax+3在區(qū)間1，1上是增函數，故當x1時，函數取得最小值是 f（1）2a+5當11時，由于函數y2x22ax+3對稱軸是x，故當x時，函數在區(qū)間1，1上取得最小值是 f（）3當 1時，函數y2x22ax+3在區(qū)間1，1上是減函數，故當x1時，函數取得最小值是 f（1）52a綜上可得 f（a）（2）當2a0時，f（a）3在2，0上是增函數，由復合函數的單調性可得函數（a）log0.5f（a）在2，0上是減函數同理可得，數（a）log0.5f（a）在0，2上是增函數【再練一題】已知函數f（x）log2x的定義域是2，16設g（x）f（2x）f（x）2（1）求函數g（x）的解析式及定義域；（2）求函數g（x）的最值【解答】解：（1）由題意可得g（x），且，進一步得：，且定義域為【2，8】，（2）令tlog2x，則t1，3，h（t）t2+t+1，h（t）在【1，3】遞減h（t）的值域為【h（3），h（1）】，即【5，1】，當x8時，g（x）有最小值5，當x2時，g（x）有最大值1命題點4二次函數中的恒成立問題【典型例題】不等式x2+a|x|+40對一切實數x恒成立，則實數a的取值范圍為（）A0，+）B4，+）C4，4D（，4【解答】解：f（x）x2+a|x|+4為偶函數；當a0，x0時，函數化為f（x）x2+ax+4，對稱軸x0，f（0）40，不等式恒成立；當a0時，x0時，函數化為f（x）x2+ax+4，可得a2160顯然成立解得4a0，綜上a4，+）故選：B【再練一題】已知對a（，0），x（0，+），不等式x2+（3a）x+32a2kex成立，則實數k的取值范圍為（）A（3，+）B3，+）C（4，+）D4，+）【解答】解：由不等式x2+（3a）x+32a2kex成立，即成立，令f（x），則f（x）令f（x）0，可得：x12a1，x2a，a（，0），x12a10，x2a0x（0，+），當x（0，a），f（x）0，則f（x）在x（0，a）單調遞增當x（a，+），f（x）0，則f（x）在x（a，+）單調遞減當xa時，f（x）取得最大值為f（a）k，即f（a）k，a（，0），f（a）f（0）k即k3故選：B思維升華 解決二次函數圖象與性質問題時要注意：(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約，要注意分類討論；(2)要注意數形結合思想的應用，尤其是給定區(qū)間上的二次函數最值問題，先“定性”(作草圖)，再“定量”(看圖求解)(3)由不等式恒成立求參數取值范圍的思路及關鍵解題思路：一是分離參數；二是不分離參數兩種思路都是將問題歸結為求函數的最值或值域基礎知識訓練1若，則ABCD【答案】B【解析】由得：則指數函數單調性可知：由冪函數單調性可知：綜上所述：本題正確選項：2用b，表示a，b，c三個數中的最小值設函數，則函數的最大值為A4B5C6D7【答案】B【解析】如圖所示：則的最大值為交點的縱坐標，由，得即當時，故選：B3已知，則x等于ABCD【答案】A【解析】由題意，可知，可得，即，所以，解得故選：A4三個數acos，blg，c之間的大小關系是（）ABCD【答案】D【解析】acos（0，1），blg0，c1，bac故選：D5在同一直角坐標系中，的圖像可能是（）ABCD【答案】B【解析】因為的圖象為過點的遞增的指數函數圖象，故排除選項；的圖象為過點的遞減的函數圖象，故排除選項，故選B6函數的圖像必經過點（ ）A（0,2）B（4,3）C（4,2）D（2,3）【答案】B【解析】令，所以，因此函數過點（4,3）.故選B7函數在區(qū)間上的最小值是A B C D4【答案】B【解析】結合指數函數的性質可知在該區(qū)間單調遞減,故當取到最小值,為,故選B.8函數的單調遞減區(qū)間是( )A B C D【答案】D【解析】設tx22x3，則函數在（，1上單調遞減，在1，+）上單調遞增因為函數在定義域上為減函數，所以由復合函數的單調性性質可知，此函數的單調遞減區(qū)間是（1，+）故選：D9不等式的解集是( )A B C D【答案】D【解析】因為y2x在R上是增函數，所以2x7<4x1，即x>3所以不等式的解集是x|x>3，故選D.10如圖，在四個圖形中，二次函數與指數函數的圖像只可能是（ ）A BC D【答案】C【解析】根據指數函數y（）x可知a，b同號且不相等，則二次函數yax2+bx的對稱軸0可排除B與D，又二次函數，當x=0時，y=0，而A中，x=0時，y<0，故A不正確故選C11若函數的最大值為2，則實數的值為（ ）A-1 B-2 C-3 D-4【答案】A【解析】解：函數f（x）3|x|m是偶函數，x0時，函數是減函數，函數的最大值為：1m2，解得m1故選：A12已知，若對任意，則的取值范圍是（ ）A B C D【答案】C【解析】g（x）2，當x<時,恒成立，當x時，g（x）0，又xR，f（x）0或g（x）0，f（x）m（x2m）（x+m+3）0在x時恒成立，即m（x2m）（x+m+3）0在x時恒成立，則二次函數ym（x2m）（x+m+3）圖象開口只能向下，且與x軸交點都在（，0）的左側，即，解得m0，實數m的取值范圍是：（，0）故選C13計算_【答案】8【解析】故答案為：814函數的值域是_【答案】【解析】因為單調遞增，所以的值域為，的值域為（1，+）故答案為：（1，+）15某品牌筆記本電腦的成本不斷降低，若每隔4年價格就降低，則現(xiàn)在價格為8100元的筆記本電腦，12年后的價格將降為_元【答案】2400【解析】12年后的價格可降為81002400元故答案為240016函數的圖象恒過定點, 點在冪函數的圖象上，則=_.【答案】27【解析】當時，函數，故，設冪函數，則，解得，故.17已知定義在R上的函數f（x）=3x（1）若f（x）=8，求x的值；（2）對于任意的x0，2，f（x）-33x+13-m0恒成立，求實數m的取值范圍【答案】（1）x=2（2）m【解析】（1）f（x）=3x=8，即（3x）2-83x-9=0，解得：x=2；（2）原式轉化為f（x）-33x+13m，令g（x）=f（x）-33x+13=（3x）2-33x+4，令t=3x，由x0，2，則t1，9，故y=t2-3t+4，當t=時，y取最小值，故m18已知奇函數的定義域為-1,1，當時，。（1）求函數上的值域；（2）若時，函數的最小值為-2，求實數的值?！敬鸢浮浚?）；（2）【解析】（1）設x（0，1，則x1，0）時，所以f（x）2x又因為f（x）為奇函數，所以有f（x）f（x），所以當x（0，1時，f（x）f（x）2x，所以上的值域為（1，2，（2）由（1）知當x（0，1時，f（x）（1，2，所以f（x）（，1令tf（x），則 t1，g（t）f2（x）f（x）+1t2t+1，當，即1時，g（t）g（），無最小值，當1，即12時，g（t）ming（）12，解得±2 （舍去）當1，即2時，g（t）ming（1）2，解得4，綜上所述，419設函數 且 .（1）若，求不等式的解集；（其中單調性只需判斷）（2）若，且上恒成立，求的最大值.【答案】（1）；（2）-2【解析】（1），又，所以所以單調遞增，單調遞減，故在R上單調遞增，又 是R上的奇函數，由 . （2），解得（舍）或，則令， ,恒成立，即上恒成立,即上恒成立,而 m的最大值為.20已知函數的定義域為，且對任意的. 當時，.（1）求并證明的奇偶性；（2）判斷的單調性并證明；（3）求；若對任意恒成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）0,證明見解析，為奇函數；（2）單調遞增，證明見解析；（3）.【解析】（1），又因為的定義域為R關于原點對稱，所以為奇函數.（2），因為，所以單調遞增.（3），若，f（，由（2）知單調遞增，所以，.能力提升訓練1下列各式正確的是（ ）A BC D【答案】D【解析】對于A，a，當a為負數時等式不成立，故A不正確；對于B，a01，當a0時無意義，故B不正確；對于C，左邊為正，右邊為負，故C不正確；對于D，故D正確故選：D2函數圖象恒過的定點是A B C D【答案】B【解析】由題意，函數，令，解得，的圖象過定點故選：B3若=8，y=log217，z=（）-1，則（）A B C D【答案】D【解析】由，則，而，故，答案為D.4設函數f（x）=，則函數f（）的定義域為（）A B C D【答案】A【解析】因為，所以，因為，所以的定義域為，故選A5下列函數中，滿足“”的函數是ABCD【答案】C【解析】不恒成立，選項A不滿足；選項B不滿足；選項C滿足；選項D不滿足；故選：C6函數，若不等式恒成立，則t的取值范圍是A B C D【答案】A【解析】解：由，可得，遞增，且，不等式，即為恒成立由上遞增，可得時，取得最大值，即有，的取值范圍是故選：A7已知實數，則以下不等式中恒成立的是A B C D【答案】A【解析】因為是增函數，所以由可得，選項正確；當時，不成立，選項錯誤；因為是減函數,由可得，選項錯誤，時，不成立，選項錯誤，故選A8已知函數，記解不等式：；設k為實數，若存在實數，使得成立，求k的取值范圍；記 (其中a，b均為實數)，若對于任意的，均有，求a，b的值【答案】(1) (2) (3)【解析】函數，即為，即為，即有，解得，即解集為；存在實數，使得成立，即為，設，在遞增，可得，即有，則，設，即有，在遞增，可得，即有.，令，若對于任意的，均有，即對任意，解得：9已知關于的函數，其中.（）當時，求滿足的實數的取值范圍；（）若當時，函數的圖象總在直線的上方，求的整數值.【答案】（）；（）.【解析】（）當時，, 即故實數的取值范圍是 （）上恒成立, 即上恒成立. 因為函數上均為單減函數，所以上為單增函數，最大值為. 因此解得.故實數的整數值是.10已知是偶函數.（1）求的值;（2）解關于不等式;（3）求函數的值域.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因為是偶函數,所以;又對任意實數恒成立,因此（2）因為的導數且當時,恒成立所以上是增函數;又因為是偶函數又兩邊平方可得,即不等式的解集為 （3）函數令,由可知,.所以由可得所以函數的值域是.28