課下層級(jí)訓(xùn)練(四十九)拋物線A級(jí)基礎(chǔ)強(qiáng)化訓(xùn)練1點(diǎn)M(5,3)到拋物線yax2(a0)的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2【答案】D分兩類(lèi)a>0，a<0，可得yx2或yx2.2已知AB是拋物線y28x的一條焦點(diǎn)弦，|AB|16，則AB中點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是()A3B4C6D8【答案】C設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2p16，又p4，所以x1x212，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是6.3(2019·皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考)已知拋物線C：x22py(p>0)，若直線y2x被拋物線所截弦長(zhǎng)為4，則拋物線C的方程為()Ax28yBx24yCx22yDx2y【答案】C由得或即兩交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)和(4p,8p)，則4，得p1(舍去負(fù)值)，故拋物線C的方程為x22y.4(2019·山東聊城模擬)過(guò)拋物線y24x的焦點(diǎn)F的直線l交該拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，若|AF|3，則直線l的斜率為()A1BCD2【答案】D根據(jù)|AF|3可知A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3，故A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，故縱坐標(biāo)為2，由AF的坐標(biāo)解出直線l的斜率k2.5直線l過(guò)拋物線x22py(p>0)的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的長(zhǎng)是6，AB的中點(diǎn)到x軸的距離是1，則此拋物線方程是_【答案】x28y設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|y1y2p2p6，p4.即拋物線方程為x28y.6(2019·山東威海模擬)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：y24x的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AF|>|BF|，若直線AO與l相交于D，則_【答案】過(guò)F且斜率為的直線方程為y(x1)，與拋物線C：y24x聯(lián)立解得A(3,2)，B，則直線AO方程為yx與準(zhǔn)線l：x1的交點(diǎn)D，因此.7(2018·全國(guó)卷)已知點(diǎn)M(1,1)和拋物線C：y24x，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若AMB90°，則k_【答案】2方法一設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yy4(x1x2)，k設(shè)AB中點(diǎn)M(x0，y0)，拋物線的焦點(diǎn)為F，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線x1的垂線，垂足為A，B，則|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)M(x0，y0)為AB中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，MM平行于x軸，y1y22，k2方法二由題意知，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(1,0)，設(shè)直線方程為yk(x1)，直線方程與y24x聯(lián)立，消去y，得k2x2(2k24)xk20設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x21，x1x2由M(1,1)，得(1x1,1y1)，(1x2,1y2)由AMB90°，得·0，(x11)(x21)(y11)(y21)0，x1x2(x1x2)1y1y2(y1y2)10又y1y2k(x11)·k(x21)k2x1x2(x1x2)1，y1y2k(x1x22)，11k2k10，整理得10，解得k2.8已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M(1)求拋物線的方程；(2)若過(guò)M作MNFA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)【答案】解(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為x，于是45，p2，拋物線方程為y24x(2)由(1)知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4,4)，由題意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFAMNFA，kMNFA的方程為y(x1)，MN的方程為yx2，聯(lián)立解方程組得x，y，點(diǎn)N的坐標(biāo)為9(2019·河南鄭州月考)已知過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|9(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值【答案】解(1)直線AB的方程是y2，與y22px聯(lián)立，從而有4x25pxp20由題易知，方程必有兩個(gè)不等實(shí)根所以x1x2，由拋物線定義得|AB|x1x2pp9，所以p4，從而拋物線方程為y28x(2)由于p4，則4x25pxp20，即x25x40，從而x11，x24，于是y12，y24，從而A(1，2)，B(4,4)設(shè)C(x3，y3)，則(x3，y3)(1，2)(4,4)(41,42)又y8x3，即2(21)28(41)，整理得(21)241，解得0或2B級(jí)能力提升訓(xùn)練10若動(dòng)圓的圓心在拋物線yx2上，且與直線y30相切，則此圓恒過(guò)定點(diǎn)()A(0,2)B(0，3)C(0,3)D(0,6)【答案】C直線y30是拋物線x212y的準(zhǔn)線，由拋物線的定義知拋物線上的點(diǎn)到直線y3的距離與到焦點(diǎn)(0,3)的距離相等，所以此圓恒過(guò)定點(diǎn)(0,3)11(2019·山東濱州模擬)如圖，過(guò)拋物線y22px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則拋物線的方程為()Ay2xBy23xCy2xDy29x【答案】B如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|a，則|BC|2a，由拋物線的定義得，|BD|a，故BCD30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|AF|3，|AC|33a,2|AE|AC|，所以633a，從而得a1，因?yàn)锽DFG，所以.即，解得p，因此拋物線方程為y23x.12已知直線ya交拋物線yx2于A，B兩點(diǎn)若該拋物線上存在點(diǎn)C，使得ACB為直角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)【答案】1，)如圖，設(shè)C(x0，x)(xa)，A(，a)，B(，a)，則(x0，ax)，(x0，ax)CACB，·0，即(ax)(ax)20，(ax)(1ax)0.xa10，a1.13(2017·全國(guó)卷)已知F是拋物線C：y28x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|_【答案】6如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P，PMOF由題意知，F(xiàn)(2,0)，|FO|AO|2點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PMOF，|MP|FO|1又|BP|AO|2，|MB|MP|BP|3由拋物線的定義知|MF|MB|3，故|FN|2|MF|6.14如圖，已知拋物線C：y22px(p0)，焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)G(p,0)作直線l交拋物線C于A，M兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，M(x2，y2)(1)若y1y28，求拋物線C的方程；(2)若直線AF與x軸不垂直，直線AF交拋物線C于另一點(diǎn)B，直線BG交拋物線C于另一點(diǎn)N.求證：直線AB與直線MN斜率之比為定值【答案】(1)解設(shè)直線AM的方程為xmyp，代入y22px得y22mpy2p20，則y1y22p28，得p2拋物線C的方程為y24x(2)證明設(shè)B(x3，y3)，N(x4，y4)由(1)可知y3y42p2，y1y3p2又直線AB的斜率kAB，直線MN的斜率kMN，2故直線AB與直線MN斜率之比為定值15(2018·浙江卷)如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y24x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；(2)若P是半橢圓x21(x<0)上的動(dòng)點(diǎn)，求PAB面積的取值范圍. 【答案】(1)證明設(shè)P(x0，y0)，A，B因?yàn)镻A，PB的中點(diǎn)在拋物線上，所以y1，y2為方程24·即y22y0y8x0y0的兩個(gè)不同的實(shí)根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y軸(2)解由(1)可知，所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2因此，PAB的面積SPAB|PM|·|y1y2|(y4x0)因?yàn)閤1(x0<0)，所以y4x04x4x044,5，因此，PAB面積的取值范圍是 7