第五節(jié)橢圓2019考綱考題考情1橢圓的概念平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。這兩定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)。(1)若ac，則M點(diǎn)的軌跡為橢圓。(2)若ac，則M點(diǎn)的軌跡為線段F1F2。(3)若ac，則M點(diǎn)不存在。2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|2c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b21橢圓方程中的a，b，c(1)a，b，c關(guān)系：a2b2c2。(2)e與：因?yàn)閑，所以離心率e越大，則越小，橢圓就越扁；離心率e越小，則越大，橢圓就越圓。2在求焦點(diǎn)在x軸上橢圓的相關(guān)量的范圍時(shí)，要注意應(yīng)用以下不等關(guān)系：axa，byb,0e|F1F2|6，所以點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓，其中a5，c3，b4，故點(diǎn)P的軌跡方程為1。故選A。答案A2(選修21P49A組T6改編)設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，若F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是()ABC2D1解析設(shè)橢圓方程為1，依題意，顯然有|PF2|F1F2|，則2c，即2c，即e22e10，又0eb0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120，則C的離心率為()ABCD解析由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖所示，設(shè)|F1F2|2c，因?yàn)镻F1F2為等腰三角形，且F1F2P120，所以|PF2|F1F2|2c。因?yàn)閨OF2|c，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(c2ccos60，2csin60)，即點(diǎn)P(2c，c)。因?yàn)辄c(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，所以，解得，所以e，故選D。答案D4(2017全國卷)已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bxay2ab0相切，則C的離心率為()ABCD解析由題知以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2y2a2，圓心到直線bxay2ab0的距離da，得a23b2，C的離心率e，故選A。答案A三、走出誤區(qū)微提醒：忽視橢圓定義中的限制條件；忽視橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)位置的討論；忽視點(diǎn)P坐標(biāo)的限制條件。5平面內(nèi)一點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(0，9)，F(xiàn)2(0,9)的距離之和等于18，則點(diǎn)M的軌跡是_。解析由題意知|MF1|MF2|18，但|F1F2|18，即|MF1|MF2|F1F2|，所以點(diǎn)M的軌跡是一條線段。答案線段F1F26橢圓1的焦距為4，則m等于()A4 B8C4或8 D12解析當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，10mm20,10m(m2)4，所以m4。當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m210m0，m2(10m)4，所以m8。所以m4或8。答案C7已知點(diǎn)P是橢圓1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_。解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2a2b2541，所以c1，則F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)。由題意可得點(diǎn)P到x軸的距離為1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為或。答案或第1課時(shí)橢圓的定義及簡單幾何性質(zhì)考點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用【例1】(1)過橢圓y21的左焦點(diǎn)F1作直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓右焦點(diǎn)，則ABF2的周長為()A8 B4C4 D2(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，P是橢圓1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，B(0，1)，則|PA|PB|的最大值為()A5 B4C3 D2解析(1)因?yàn)閥21，所以a2。由橢圓的定義可得|AF1|AF2|2a4，且|BF1|BF2|2a4，所以ABF2的周長為|AB|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a8。故選A。(2)因?yàn)闄E圓方程為1，所以焦點(diǎn)為B(0，1)和B(0,1)，連接PB，AB，根據(jù)橢圓的定義，得|PB|PB|2a4，可得|PB|4|PB|，因此|PA|PB|PA|(4|PB|)4(|PA|PB|)。因?yàn)閨PA|PB|AB|，所以|PA|PB|4|AB|415，當(dāng)且僅當(dāng)P在AB延長線上時(shí)，等號(hào)成立。故|PA|PB|的最大值為5。答案(1)A(2)A橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：一是確認(rèn)平面內(nèi)與兩定點(diǎn)有關(guān)的軌跡是否為橢圓；二是當(dāng)P在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長，利用定義和余弦定理可求|PF1|PF2|，通過整體代入可求其面積等。面積公式SPF1F2b2tan(其中F1PF2)?！咀兪接?xùn)練】(1)(2019惠州調(diào)研)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則的值為()ABCD(2)已知橢圓1上一點(diǎn)P與橢圓的兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的連線夾角為直角，則|PF1|PF2|_。解析(1)如圖，設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M，因?yàn)镺是F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)MPF2，可得PF2x軸，可求得|PF2|，|PF1|2a|PF2|，。故選D。(2)依題意a7，b2，c5，|F1F2|2c10，由于PF1PF2，所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2100。又由橢圓定義知|PF1|PF2|2a14，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100，即1962|PF1|PF2|100。解得|PF1|PF2|48。答案(1)D(2)48考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】(1)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過兩點(diǎn)，(，)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_。(2)設(shè)F1、F2為橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若F2AB是面積為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為_。解析(1)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m，n0，mn)。由解得m，n，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1。(2)因?yàn)镕2AB是面積為4的等邊三角形，所以ABx軸，所以A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，代入橢圓方程，可求得|F1A|F1B|。又|F1F2|2c，F(xiàn)1F2A30，所以2c。又SF2AB2c4，a2b2c2，由解得a29，b26，c23，所以橢圓C的方程為1。答案(1)1(2)11求橢圓方程的基本方法是待定系數(shù)法，先定位，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組。2如果焦點(diǎn)位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，mn)，求出m，n的值即可。3橢圓的通徑(過焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦)長為?！咀兪接?xùn)練】(1)已知兩圓C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，動(dòng)圓M在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為()A1 B1C1 D1(2)(2019亳州模擬)橢圓E：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)P，Q總使PF1QF2為平行四邊形，若平行四邊形PF1QF2的周長和最大面積分別為8和2，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為()Ay21 B1C1 D1解析(1)設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|MC2|(13r)(3r)16，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16,2c8，故所求的軌跡方程為1。(2)如圖，由四邊形PF1QF2周長為8，可知4a8，所以a2。當(dāng)P，Q為短軸端點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積最大，故2bc2，即bc。橢圓方程可以是1。故選C。答案(1)D(2)C考點(diǎn)三橢圓的簡單幾何性質(zhì)微點(diǎn)小專題方向1：求離心率的值或范圍【例3】(1)(2018安徽二模)已知橢圓1(ab0)的左頂點(diǎn)為M，上頂點(diǎn)為N，右焦點(diǎn)為F，若0，則橢圓的離心率為()ABCD(2)(2019湖南聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，PF1F2是以F2P為底邊的等腰三角形，且60PF1F2120，則該橢圓的離心率的取值范圍是()ABCD解析(1)由題意知，M(a,0)，N(0，b)，F(xiàn)(c，0)，所以(a，b)，(c，b)。因?yàn)?，所以acb20，即b2ac。又知b2a2c2，所以a2c2ac，所以e2e10，解得e或e(舍)。所以橢圓的離心率為。故選D。(2)由題意可得，|PF2|2|F1F2|2|PF1|22|F1F2|PF1|cosPF1F24c24c222c2ccosPF1F2，即|PF2|2c，所以acc，又60PF1F2120，所以cosPF1F2，所以2ca(1)c，則，即e1)上兩點(diǎn)A，B滿足2，則當(dāng)m_時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大。解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得即因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓上，所以得y2m，xm(32y2)2m2m(m5)244，所以當(dāng)m5時(shí)，點(diǎn)B橫坐標(biāo)的絕對(duì)值最大，最大值為2。答案5與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法1利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍。2利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍。3利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍。4利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍?！绢}點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】1(方向1)P是橢圓1(ab0)上的一點(diǎn)，A為左頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，PFx軸，若tanPAF，則橢圓的離心率e為()ABCD解析如圖，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，因?yàn)镻Fx軸，所以xPc，將xPc代入橢圓方程得yP，即|PF|，則tanPAF，結(jié)合b2a2c2，整理得2c2aca20，兩邊同時(shí)除以a2得2e2e10，解得e或e1(舍去)。故選D。答案D2(方向1)已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)。若橢圓C上存在點(diǎn)P，使得線段PF1的中垂線恰好經(jīng)過焦點(diǎn)F2，則橢圓C的離心率的取值范圍是()ABCD解析因?yàn)榫€段PF1的中垂線經(jīng)過焦點(diǎn)F2，所以|PF2|F1F2|2c，即橢圓上存在點(diǎn)P，使|PF2|2c，所以ac2cac，再結(jié)合e(0,1)，解得eb0)。由題設(shè)知拋物線的焦點(diǎn)為(0,2)，所以橢圓中b2。因?yàn)閑，所以a2c，又a2b2c2，聯(lián)立解得c2，a4，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1。答案13(配合例3使用)已知橢圓1(ab0)的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，在線段AB上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足PF1PF2，則橢圓的離心率的平方為()ABCD解析由題意得，A(a,0)，B(0，b)，由在線段AB上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足PF1PF2，得點(diǎn)P是以點(diǎn)O為圓心，線段F1F2為直徑的圓x2y2c2與線段AB的切點(diǎn)，連接OP，則OPAB，且OPc，即點(diǎn)O到直線AB的距離為c。又直線AB的方程為yxb，整理得bxayab0，點(diǎn)O到直線AB的距離dc，兩邊同時(shí)平方整理得，a2b2c2(a2b2)(a2b2)(a2b2)a4b4，可得b4a2b2a40，兩邊同時(shí)除以a4，得210，可得，則e211。故選B。答案B4(配合例4使用)已知橢圓C：y21的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(x0，y0)滿足0y1，則|PF1|PF2|的取值范圍是_。解析由點(diǎn)P(x0，y0)滿足0y1，可知P(x0，y0)一定在橢圓內(nèi)(不包括原點(diǎn))，因?yàn)閍，b1，所以由橢圓的定義可知|PF1|PF2|b0)的離心率為，焦距為2。斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B。(1)求橢圓M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值。解(1)由題意得解得a，b1。所以橢圓M的方程為y21。(2)設(shè)直線l的方程為yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)。由得4x26mx3m230。0m2b0)的一條弦所在的直線方程是xy50，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M(4,1)，則橢圓的離心率是()ABCD解析設(shè)直線xy50與橢圓1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，因?yàn)锳B的中點(diǎn)M(4,1)，所以x1x28，y1y22。易知直線AB的斜率k1。由兩式相減得，0，所以，所以，于是橢圓的離心率e。故選C。答案C弦及弦中點(diǎn)問題的解決方法1根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)。2點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率?！咀兪接?xùn)練】已知橢圓：x21，過點(diǎn)P的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB被點(diǎn)P平分，則直線AB的方程為()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳，B在橢圓x21上，所以兩式相減得xx0，即(x1x2)(x1x2)0，又弦AB被點(diǎn)P平分，所以x1x21，y1y21，將其代入上式得x1x20，即9，即直線AB的斜率為9，所以直線AB的方程為y9，即9xy50。答案B考點(diǎn)三證明問題【例3】(2018全國卷)設(shè)橢圓C：y21的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0)。(1)當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMAOMB。解(1)由已知得F(1,0)，l的方程為x1。由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或。所以AM的方程為yx或yx。(2)證明：當(dāng)l與x軸重合時(shí)，OMAOMB0。當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以O(shè)MAOMB。當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2b0)經(jīng)過點(diǎn)P，且離心率為。(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，不經(jīng)過F1的直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B。如果直線AF1，l，BF1的斜率依次成等差數(shù)列，求焦點(diǎn)F2到直線l的距離d的取值范圍。解(1)由題意，知解得所以橢圓C的方程為y21。(2)易知直線l的斜率存在且不為零。設(shè)直線l的方程為ykxm，代入橢圓方程y21，整理得(12k2)x24kmx2(m21)0。由(4km)28(12k2)(m21)16k28m280，得2k2m21。設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2。因?yàn)镕1(1,0)，所以kAF1，kBF1。由題可得2k，且y1kx1m，y2kx2m，所以(mk)(x1x22)0。因?yàn)橹本€l：ykxm不過焦點(diǎn)F1(1,0)，所以mk0，所以x1x220，從而20，4km24k20，所以4km24k2，即mk。由得2k221，化簡得|k|。焦點(diǎn)F2(1,0)到直線l：ykxm的距離d，令t，由|k|知t(1，)。于是d，考慮到函數(shù)f(t)在1，上單調(diào)遞減，所以f()df(1)，解得d2，所以焦點(diǎn)F2到直線l的距離d的取值范圍是(，2)。圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是幾何法，即利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是代數(shù)法，即把要求最值的代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)、不等式等進(jìn)行求解?！咀兪接?xùn)練】已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且經(jīng)過點(diǎn)E。(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A位于x軸上方)，若，且2b0)，由解得所以橢圓C的方程為1。(2)由題意得直線l的方程為yk(x1)(k0)，聯(lián)立方程，得整理得y2y90，1440，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2，y1y2，又，所以y1y2，所以y1y2(y1y2)2，則，2，因?yàn)?3，所以2，即0，解得0b0)的右焦點(diǎn)F(1,0)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為M，N。過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，且MCD的面積是NCD的面積的3倍。(1)求橢圓的方程；(2)若CD與x軸垂直，A，B是橢圓上位于直線CD兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足ACDBCD，試問直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說明理由。解(1)因?yàn)镸CD的面積是NCD的面積的3倍，所以|MF|3|NF|，即ac3(ac)，所以a2c2。又a2b2c2，所以b23。故橢圓的方程為1。(2)當(dāng)ACDBCD時(shí)，kACkBC0。設(shè)直線AC的斜率為k，則直線BC的斜率為k，不妨設(shè)點(diǎn)C在x軸上方，C，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線AC的方程為yk(x1)，代入1中整理，得(34k2)x24k(2k3)x4k212k30，1x1。同理1x2。所以x1x2，x1x2，則kAB，因此直線AB的斜率是定值。2(配合例4使用)已知點(diǎn)M是圓E：(x)2y216上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F(，0)，線段MF的垂直平分線交線段EM于點(diǎn)P。(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)矩形ABCD的邊所在直線與軌跡C均相切，設(shè)矩形ABCD的面積為S，求S的取值范圍。解(1)依題意，得|PM|PF|，所以|PE|PF|PE|PM|ME|4(為定值)，|EF|2，42，所以點(diǎn)P的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a4,2c2，所以P點(diǎn)的軌跡C的方程是y21。(2)當(dāng)矩形的邊與坐標(biāo)軸垂直或平行時(shí)，易得S8。當(dāng)矩形的邊均不與坐標(biāo)軸垂直或平行時(shí)，其四邊所在直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為yk1xm，直線BC的方程為yk2xn，則直線CD的方程為yk1xm，直線AD的方程為yk2xn，其中k1k21，直線AB與CD間的距離d1，同理直線BC與AD間的距離d2，所以Sd1d2。由得x22k1mxm210。因?yàn)橹本€AB與橢圓相切，所以4k1m20，所以|m|，同理|n|，所以S44，因?yàn)閗2(當(dāng)且僅當(dāng)k11時(shí)，不等式取等號(hào))，所以4S4，即8S10。由可知，8S10。