《高等數(shù)學(xué)上冊(cè)習(xí)題答案胡志興蘇永美孟艷.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)上冊(cè)習(xí)題答案胡志興蘇永美孟艷.doc（172頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、習(xí)題 1-1(A)1填空題(1)函數(shù)的定義域?yàn)?(2)函數(shù)的定義域?yàn)?(3)函數(shù)的定義域?yàn)?(4)函數(shù)的定義域?yàn)閤N時(shí)，有，則：故舉例：數(shù)列的極限為1， 而數(shù)列 無(wú)極限5設(shè)，證明：證明：由極限定義可知， 取則當(dāng)nN時(shí)，則7求極限解：由于 由夾逼準(zhǔn)則可得8設(shè)，證明：數(shù)列的極限存在，并求其極限證明：顯然10求下列極限(1) ；解：(2) ；解：(3) ；解：(4) ；解：(5) ；解：(6) ；解：12設(shè)數(shù)列收斂，證明：中必有最大項(xiàng)或最小項(xiàng)證明：由數(shù)列收斂，則此數(shù)列有界，即則中必有最大項(xiàng)或最小項(xiàng)13設(shè)，且ab，證明：存在某正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，有證明：由，存在某正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，對(duì)，有取為

2、無(wú)窮小，則16設(shè)證明：數(shù)列收斂，并求其極限證明：顯然17設(shè)，證明：數(shù)列發(fā)散證明：數(shù)列有兩個(gè)子數(shù)列：=0， ，而，數(shù)列發(fā)散數(shù)列發(fā)散習(xí)題1.3（P47）1. 答案：D解：例：在處沒(méi)有定義但是有極限。2. 設(shè)（1） 作出函數(shù)的圖形（2） 根據(jù)函數(shù)圖形寫出;（3） 極限存在么？解：（1）略（2） （3）因?yàn)椋詷O限不存在3. 解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限不存在。（不論它多么大），使得當(dāng)時(shí)，有，故它的極限不存在。4. 解：5. 解：（1）當(dāng)時(shí)，無(wú)窮小（2），當(dāng)時(shí)，無(wú)窮大（3），當(dāng)時(shí)，無(wú)窮大（4），當(dāng)時(shí)，極限為0，無(wú)窮?。?），當(dāng)時(shí)，極限為0，無(wú)窮小6. 設(shè)解：因?yàn)榇嬖?，則，則，7. 解：（1）（2）8. 證：

3、因?yàn)?，則，使得當(dāng)時(shí)，有，則則9. 解：（1），使得當(dāng)時(shí)，有,故（2），使得當(dāng)時(shí)，有,故（3），使得當(dāng)時(shí)，有故（4），使得當(dāng)時(shí)，有，故（5），使得當(dāng)時(shí)，有，故（6），使得當(dāng)時(shí)，有，故10. 解：，使得當(dāng)時(shí)，有，故11. 解：（1）A，故（2）C，故（3）A考慮a=0的情況，BCD錯(cuò)誤。習(xí)題1.4（P54）1. 解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）因?yàn)橛薪?，則，故（12）因?yàn)?，則2. 解（1） 令，則（2） 令，則（3） 令，則（4） 令，則3. 解： 4. 解：則，故，5. 解：時(shí)，有極限，沒(méi)有極限。當(dāng)，沒(méi)有極限， 不一定有極限（，）。6. 解：時(shí)，都沒(méi)有極

4、限。不一定有極限（例如：），不一定有極限（當(dāng)時(shí)，時(shí)沒(méi)有極限；當(dāng)時(shí)，）。7. 解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）因?yàn)椋?. 解；則且=，則，習(xí)題1-5(A)1. (1) D (2) B 2. (1) e-1/2 (2) e (3)3/4 (4) e2 (5)(-1)m-n (6) ex+13. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. 解： 5. (1) 錯(cuò)，無(wú)窮小是極限為零的變量，無(wú)窮大是其值無(wú)限增大的變量(2) 錯(cuò)(3) 正確(4) 正確(5) 錯(cuò)，反例見(jiàn)例3.8(6) 錯(cuò)，反例：(7) 錯(cuò)，6. 解： ，故它們是等價(jià)無(wú)窮小7. 解：，故是的高階無(wú)窮小8.

5、解：，故與是同階無(wú)窮小 ，故與是等價(jià)無(wú)窮小9. (1) 0，mn(3) (4) (5) (6) (B)10. (1) D (2) B (3) D11. (1) (2) (3) (4) (5) (6) 12. 證明： 原極限不存在13. 解： 原式=114. 解：15. 證明：(1) 設(shè)t=arctanx，則(2) 16. 證明：(1) 因?yàn)?，故?2) 由有 所以，故有(3) 因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以所以，故有?xí)題1-6(A)1. (1) B (2) C (3) A (4) D2. (1) -1, 1 (2) kp3. (1) (2)(3) (4) (5) (6) (7) (8) 4. (

6、1) x=1是可去間斷點(diǎn)，x=2是無(wú)窮間斷點(diǎn)(2) x, |x|1f(x)= -x, |x|1 f(x)= , x=1 1, |x|1 x=1是跳躍間斷點(diǎn)5. 解：由得： a=2， b=-16. 證明：設(shè)f(x)=ex-2-x, 因?yàn)?f(0)f(2)=-2(e2-4)0 由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)(0,2)使f()=0 即，方程ex-2= x在(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根7. 證明：設(shè)f(x)=x-2-sinx，因?yàn)?f(0)f(3)=-2(1-sin3)0 由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)(0,3)使f()=0 即，方程x=2+sinx至少有一個(gè)小于3的正根8. 證明：設(shè)F(x)=f(x)-f(a

7、+x), 則有 F(0)=f(0)-f(a)=f(2a)-f(a)， F(a)=f(a)-f(2a)所以，F(xiàn)(0)F(a)=- f(a)-f(2a)20若F(0)F(a)=0，則F(0)=F(a)=0；若F(0)F(a)0，則由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)(0,a)使F()=0；綜上，至少存在一點(diǎn)0,a使F()=0，即至少存在一點(diǎn)0,a使f()=f(a+)9. 解：設(shè)F(x)=(p+q)f(x)-pf(c)-qf(d)，則有 F(c)=qf(c)-qf(d), F(d)=pf(d)-pf(c) 所以，F(xiàn)(c)F(d)=-pqf(c)-f(d)20 若F(c)F(d)=0，則F(c)=F(d)=0；

8、 若F(c)F(d) 0，則由零點(diǎn)定理知，至少存在一點(diǎn)(c,d)使F()=0； 又因?yàn)閍bcd,所以對(duì)任何正數(shù)p,q，至少存在一點(diǎn)c,d(a,b),使得F()=0，即pf(c)+qf(d)=(p+q)f().(B)10. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 11. (1) x=1是可去間斷點(diǎn) x=是可去間斷點(diǎn) 不存在 x=是無(wú)窮間斷點(diǎn) (2) x=0是無(wú)窮間斷點(diǎn) x=1是可去間斷點(diǎn) x=2是無(wú)窮間斷點(diǎn)12. 解：由，知：a=0，b1 由存在，知：b=e 所以，a=0，b=e13. 解： x+b x0 h(x)= 2x+1 0 x1f(x)= ax2+bx, |x|1

9、 (a+b+1) x=1 (a-b-1) x=-1由 f(1-)=f(1+)=f(1) 得：a=0，b=1 f(-1-)=f(-1+)=f(-1)15. 證明：設(shè)f(x)=x3-3x2-9x+1,則f(0)f(1)=1(-10)0;F(b)=f(b)-bf(x2),則有f(x1)f(x2),由介值定理知：至少存在一點(diǎn)xx1,x2,使得f(x)= 若f(x1)f(x2),則有f(x1)0,取d=，對(duì)x1,x20,1，當(dāng)|x1-x2|d時(shí)，就有：|x13-x32|0時(shí)： 當(dāng)x0,連續(xù);0a1,不可導(dǎo);a1可導(dǎo)。3.（1）解： （2）解： （3）解：兩邊取對(duì)數(shù)再求導(dǎo)得： 即得 （4）解： (5) 解

10、：先對(duì)原式進(jìn)行變形： 再對(duì)兩邊求導(dǎo)數(shù)即可得： 最后將y代入即可 （6）解：當(dāng)x0時(shí) f（x）= 當(dāng)x0時(shí) f（x）= f（0）=04.（1）解：（2）解：由原式可得： 兩邊取對(duì)數(shù)求導(dǎo)得： 再次求導(dǎo)可得： 將y和y代入即可5.（1）解： 由已知的n次導(dǎo)數(shù)可得： （2）先對(duì)原式求一次導(dǎo)得： 則可得：繼而可得：7.（1）解：由題可得： （2）解： （3）解： 8.（1）題目有錯(cuò)（2）證明：因?yàn)?令x=y=0 則 即函數(shù)f（x）不但可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)值恒為1。 （3）解：因?yàn)?9.（1）解：由題意可知：f（1）=2f（0）=2 （3）解：要使F（x）在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則有 b=f(0),而要函數(shù)在x=0處可

11、導(dǎo)，則只需有 a= （4）解法一：令S=x+ 可知有 S=Sm 而 S= 則Sm=則解法二：思路，對(duì)Sm等式兩旁同乘以x，然后分別減去原等式的兩邊進(jìn)行變化即可。（5）解：由于而所求的導(dǎo)數(shù)是x=0點(diǎn)，所以只需求萊布尼茨公式的前兩項(xiàng)即可：習(xí)題3-1（A）1證明：顯然f（x）在2,3上連續(xù)、可導(dǎo)，且f(2)=f(3) ,顯然在2,3連續(xù)。 則有介值定理可知，在2,3區(qū)間上必存在一點(diǎn)使得 所以羅爾定理對(duì)f（x）在區(qū)間2,3上成立2證明：顯然函數(shù)在0,上連續(xù)、可導(dǎo)， ， 又，而-10所以由介值定理可知必存在一點(diǎn)，使得所以拉格朗日中值定理對(duì)f（x）在區(qū)間0,上成立3證明：令，顯然其在0,1上連續(xù)、可導(dǎo)。

12、由羅爾定理知，在0,1上必存在一點(diǎn)使得，即 所以在0,1上柯西中值定理對(duì)f（x）和g（x）成立4證明：令則即f（x）恒等于一常數(shù)，又f（0）=0，所以5證明：令 則 即,又6解：因?yàn)?，由羅爾定理可知，在0,1,1,2,2,3,3,4區(qū)間分別存在四個(gè)點(diǎn)，使得7證明：（1）設(shè)，顯然函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理可知：，即（2）設(shè)，顯然函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)、可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理可知：在a,b區(qū)間上有，即（3）設(shè)，則在b,a上函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理可知：存在一點(diǎn)，使得又因?yàn)?，所以，?證明：設(shè)，二者在0，上均連續(xù)、可導(dǎo)，并且對(duì)任意都有，由柯西中值定理知，存在使

13、，即9證明：設(shè)則由拉格朗日中值定理知，使得 10證明：設(shè)，函數(shù)在a,b上連續(xù)，在（a,b）內(nèi)可導(dǎo) 則 由羅爾定理可知，在（a,b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得： ，即11證明：設(shè)，其在0,1上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo) 又，由羅爾定理可得 =012證明：設(shè)，利用反證法，設(shè)若方程有至少4個(gè)根，則，又f（x）在定義域內(nèi)至少4階連續(xù)、可導(dǎo)，則由羅爾定理可知，至少存在點(diǎn)，使得再次利用羅爾定理，則存在點(diǎn)，使得=0由羅爾定理可知，在（）內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得而，即不可能找到一點(diǎn)使得f（x）的三階導(dǎo)數(shù)為零，所以假設(shè)不成立，即方程至多有3個(gè)根13證明：令，其在0,上連續(xù)，在（0,）內(nèi)可導(dǎo)又,所以由羅爾定理可知至少存在一點(diǎn)，使

14、得即14證明：令，此函數(shù)在0,1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，又因?yàn)?，由介值定理可知，在1/2,1之間存在c使得F（c）=0=F(0)，由羅爾定理可知，在0,c內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得15提示：令，對(duì)f（x）和g（x）用柯西中值定理即可得證16提示：令，f（x）、g（x）在a,b上用柯西中值定理可證習(xí)題3-1（B）17證明：因?yàn)閒（x）在0,3上連續(xù)，所以f（x）在0,2上連續(xù)，且在0,2上必有最大值M和最小值m，于是 故 由介值定理知，至少存在一點(diǎn)，使 因?yàn)閒（c）=1=f（3），且f（x）在c,3上連續(xù)，在（c,3）內(nèi)可導(dǎo)，所以由羅爾定理可知，必存在 18證明：，因?yàn)閒（x）在a,b上連續(xù)，(a

15、,b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0,則 由羅爾定理知在（a，b）內(nèi)必存在一點(diǎn)c使得，由于所以，即內(nèi)單調(diào)減在（a，x）（x0都有等式成立（2） 可知 函數(shù)的定義域?yàn)?則 曲線是凹的 根據(jù)定義可知對(duì)任意的 都有等式成立（3） 可知 函數(shù)的定義域?yàn)?則 曲線是凹的 根據(jù)定義可知對(duì)任意的x，y 0且都有等式成立 即： 成立8. 求函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)解：函數(shù)的定義域?yàn)?令x0曲線y凸拐點(diǎn)凹 由表可知：曲線在內(nèi)是凸的，在內(nèi)是凹的,拐點(diǎn)為（）9. 求函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn) 解：函數(shù)的定義域?yàn)?故函數(shù)的圖形沒(méi)有拐點(diǎn)，處處是凹的10. 設(shè)在的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，如果，而試問(wèn)是否為拐點(diǎn)，為什么？

16、 解： 假定 則單調(diào)遞增 時(shí) 時(shí) 故是的拐點(diǎn)11. 若對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩點(diǎn)與及任意兩個(gè)數(shù)與（）有不等式（或?qū)?yīng)地，相反的不等式成立），則稱曲線在區(qū)間上是凹（凸）的習(xí)題3-61. 求曲線的漸近線解： 故y=x+2 為曲線的斜漸近線2. 求曲線的漸近線解： 故x=2,x=3為曲線的鉛直漸近線 故y=1 為曲線的水平漸近線3. 求曲線的漸近線解： 故y=1 為曲線的水平漸近線 故x=為曲線的鉛直漸近線4.描繪曲線的圖形Y=x-1是漸進(jìn)線垂直漸近線時(shí) X=0或-2再求判斷凹凸性5描繪曲線的圖形偶函數(shù)時(shí)只需判斷有對(duì)稱性可畫出6. 描繪曲線的圖形時(shí)， Y=0是水平漸進(jìn)線，是垂直漸近線7.描繪曲線的圖形漸近線方程8. 描繪曲線的圖形 9. 描繪曲線的圖形 10.描繪曲線的圖形奇函數(shù) 第三章：第7節(jié)1：解：2：解：由于：則有：時(shí)，；時(shí)，3：解：對(duì)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：4：解：由得：兩邊對(duì)求導(dǎo)可得：5：解：由得： 6：解：由可得：7：解：由兩邊對(duì)得8：證明：由得： 得證.9：解：由得根據(jù)可得：漸屈線參數(shù)方程為：即：.10：解：由得：由得：漸屈線參數(shù)方程為：所以漸屈線方程為：即：.11：解：由得：根據(jù)公式得：根據(jù)的公式可得：則有所求曲率圓方程為：.12：解：由得：根據(jù)得：.13：解：由已知：可令則有：14：解：由得15：解：可另：，則有：