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1、導數的基本公式與運算法則,基本初等函數的導數公式,(x ) = x -1 .,(ax) = ax lna .,(ex) = ex.,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,(tan x) = sec2x .,(cot x) = - csc2x .,(sec x) = sec x tan x .,(csc x) = - csc x cot x .,另外還有反三角函數的導數公式：,定理2. 1設函數 u(x)、v(x) 在 x 處可導，,在 x 處也可導，,(u(x) v(x) = u(x) v (x);,(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x

2、);,導數的四則運算,且,則它們的和、差、積與商,推論 1(cu(x) = cu(x) (c 為常數).,推論 2,乘法法則的推廣：,補充例題： 求下列函數的導數：,解根據推論 1 可得 (3x4) = 3(x4)，,(5cos x) = 5(cos x)，,(cos x) = - sin x，,(ex) = ex，,(1) = 0，,故,f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1) ,= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1),= 12x3 - ex - 5sin x .,f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1,又(

3、x4) = 4x3，,例 1設 f (x) = 3x4 ex + 5cos x - 1，求 f (x) 及 f (0).,例 2設 y = xlnx ，,求 y .,解根據乘法公式，有,y = (xlnx),= x (lnx) + (x)lnx,解根據除法公式，有,教材P32 例2 求下列函數的導數：,解：,高階導數,如果可以對函數 f(x) 的導函數 f (x) 再求導，,所得到的一個新函數，,稱為函數 y = f(x) 的二階導數，,記作 f (x) 或 y 或,如對二階導數再求導，則稱三階導數，,記作 f (x) 或,四階或四階以上導數記為 y(4)，y(5)， ，y(n),或 ，,而把

4、 f (x) 稱為 f (x) 的一階導數.,例3 求下列函數的二階導數,解：,二階以上的導數可利用后面的數學軟件來計算,推論設 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均可導，則復合函數 y = f ( (x) 也可導，,以上法則說明：復合函數對自變量的導數等于復合 函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數.,先將要求導的函數分解成基本初等函數,或常數與基本初等函數的和、差、積、商.,任何初等函數的導數都可以按常數和基本初等函數的求導公式和上述復合函數的求導法則求出.,復合函數求導的關鍵: 正確分解初等函數的復合結構.,求導方法小結：,例5：求下列函數的導數,（1）

5、（2） （3） （4）,二元函數的偏導數的求法,求 對自變量 (或 )的偏導數時,只須將另一自變量 (或 )看作常數,直接利用一元函數求導公式和四則運算法則進行計算.,例1 設函數,求,解：,例2 設函數,解：,類似可得,二元函數的二階偏導數,函數 z = f ( x , y ) 的兩個偏導數,一般說來仍然是 x , y 的函數，,如果這兩個函數關于 x , y 的偏導數也存在，,則稱它們的偏導數是 f (x , y)的二階偏導數.,依照對變量的不同求導次序，,二階偏導數有四個：（用符號表示如下）,其中 及 稱為二階混合偏導數.,類似的，可以定義三階、四階、 、n 階偏導數，,二階及二階以上的偏導數稱為高階偏導數，,稱為函數 f ( x , y ) 的一階偏導數.,注：當兩個二階導數連續(xù)時，它們是相等的 即,例 3,試求函數的四個二階偏導函數,思考題一,求曲線 上與 軸平行的切線方程.,思考題一解答,令,切點為,所求切線方程為,和,