淮陰師范學(xué)院畢業(yè)論文畢 業(yè) 論 文學(xué)生姓名XXX學(xué) 號1610010XXX學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)題 目淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法指導(dǎo)教師 XXX 副教授/博士2014年5月摘 要: 反證法是從反面的角度來思考問題的證明方法.在此文章中主要闡明了反證法的概念、證明的一般步驟、反證法的種類及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.關(guān)鍵詞：反證法，適用范圍，假設(shè)Abstract: Proof by contradiction is a method to prove the problem from the opposite point of view. In this article, we mainly dicuessed the definition of proof by contradiction and the general steps ofit. Furthermore, we applied it in Mathematics in middle school.Keyword:Proofbycontradiction, scope of application, hypothesis目 錄1引言42反證法的概述43 反證法的適用范圍54運用反證法應(yīng)該注意的問題10總結(jié)11參考文獻(xiàn)12致謝131 引言1589年，意大利的科學(xué)家伽利略登上了比薩斜塔，同時丟了兩個不同質(zhì)量的鐵球.用實驗推翻了古希臘科學(xué)家亞里士多德的“不同重量的物體從高處下落的速度與其重量成正比”的論斷.而在此之前伽利略做了如下的推理論證：假設(shè)假設(shè)亞里士多德的斷言是正確的.設(shè)物體比物體的重量重很多，則應(yīng)比先落地.現(xiàn)在把物體和綁在一起成為物體，則=+.一方面，由于比要重，它應(yīng)該比先落地.另一方面，由于比落得快，、一起的時候，應(yīng)該是“拉了的后腿”迫使的下落速度減慢，所以，物體應(yīng)該比后落地.這樣一來，應(yīng)比先落地又應(yīng)比后落地，這樣產(chǎn)生了矛盾，所以假設(shè)是不成立的.因此亞里士多德的斷言是錯誤的.伽利略的論證是有力的，邏輯性極強(qiáng)的，而伽利略的這種方法就是我們現(xiàn)在將要介紹的反證法.反證法在初中高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很多的運用，乃至大學(xué)或者更高的學(xué)習(xí)中都會用到反證法.它不僅是一種解題方法，更是一種鍛煉學(xué)生逆向思維的手段.本文重點總結(jié)了反證法的概念，反證法的一般步驟，以及反證法的種類和適用范圍等方面，同時指出了使用反證法時應(yīng)該注意的問題.2 反證法的概述2.1 反證法的概念反證法就是指“證明某個命題時，先假設(shè)它的結(jié)論的否定成立，然后從這個假設(shè)出發(fā).根據(jù)命題的條件和已知的真命題，經(jīng)過推理論證得出與已知事實（條件，公理，定義，定理，法則，公式等）相矛盾的結(jié)果.這樣就證明了結(jié)論的否定是不成立的，從而間接的肯定了原命題的結(jié)論成立.”這種證明方法叫做反證法.還有人將反證法總結(jié)為證明逆否命題的方法.他們認(rèn)為證明原命題的真假，就是證明原命題的逆否命題是否成立.若一個命題為“若則”,當(dāng)為真，則（其中表示命題的否定）為真，當(dāng)為假，則為假.2.2 運用反證法的步驟運用反證法證題一般分為三個步驟：1）假設(shè)原命題不成立；2）從這個結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出矛盾；3）由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確.即先提出假設(shè)，然后推出矛盾，最后肯定結(jié)論.2.3 反證法的種類應(yīng)用反證法的關(guān)鍵在于歸謬，因此，反證法又稱為歸謬法.按照反設(shè)所涉及到的情況多少，反證法可以分為歸謬反證法和窮舉反證法兩種.1）若結(jié)論的反面只有一種情況，那么，反設(shè)單一只須駁倒這種情況便可以達(dá)到反設(shè)的目的，這叫歸謬反證法.2）若結(jié)論的反面不止一種情況，那么，要將各個反面情形都一一駁倒，最終才能肯定原命題正確，這叫窮舉反證法.3 反證法的適用范圍我們知道，若一個數(shù)學(xué)命題形如“若A則B”式，一般都能夠用反證法來證明.證題的實踐告訴我們，下面幾種命題用反證法來證明時，顯得更加方便、有效.3.1 否定性命題否定性命題即結(jié)論以“沒有”、“不是”、“不能”等形式出現(xiàn)的命題.這樣的命題在用直接證法時一般不易入手，而此時使用反證法則能另辟蹊徑，有望成功.例1 設(shè)、是公比不相等的兩個等比數(shù)列.，證明數(shù)列不是等比數(shù)列.證明 假設(shè)是等比數(shù)列.則 ,即,整理得到 . 因為 ，是等比數(shù)列，所以 , .由式可得 .設(shè) , ，則 .因為 ，所以 .即 ，所以 與已知條件兩個等比數(shù)列公比不相等矛盾.所以不是等比數(shù)列.分析 在這題中要求證明不是等比數(shù)列，而直接證明一個數(shù)列不是等比數(shù)列并沒有條件可尋，因此，在此時使用反證法，假設(shè)是等比數(shù)列，一個數(shù)列是等比數(shù)列是有條件的，這使得證明變得有跡可循.3.2 限定性命題限定性命題即結(jié)論中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等詞語的命題.這類命題在證明時巧妙運用反證法會給證明帶來意想不到的簡便效果.例2 把44位同學(xué)分成若干小組，使每組至少有1人，且任意兩組的人數(shù)不相等，則證明至多分成8組.證明 假設(shè)44位同學(xué)分成組，且 .因為任意兩組人數(shù)不相等，所以 個小組的同學(xué)總共至少有人數(shù)為.因為，所以總共人數(shù)人，超過了已知的44人，與已知矛盾.所以 至多分成8組.例3 設(shè),則，至少有一個不大于.證明 假設(shè)，都大于.即 , , .將三個式子相加，得+. （1）又因為 , ,.將三個式子相加，得+. （2）結(jié)合（1）（2）兩式，發(fā)現(xiàn)相互矛盾,則假設(shè)是錯誤的.所以，至少有一個不大于.3.3 無窮性命題無窮性命題即涉及到各種“無限”結(jié)論的命題.證明無窮性命題時，直接證明故然能夠得到結(jié)論，但運用反證法來證明可以簡易很多.例4證明 質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的.證明 假設(shè)質(zhì)數(shù)的個數(shù)是有限的.不妨設(shè)有個質(zhì)數(shù)，則可以將全體質(zhì)數(shù)列舉如下.令，其中，是自然數(shù).且不能被中任何一數(shù)整除，所以是質(zhì)數(shù).這與假設(shè)只有個質(zhì)數(shù)矛盾，因此質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無窮的.3.4 唯一性命題唯一性命題即結(jié)論有“有且僅有”，“只有一個”等詞語的論題.由做題的實踐經(jīng)驗告訴我們，在證明唯一性命題時，使用反證法最為直接有效.例5 證明 過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線平行.已知點，直線.求證過點和直線平行的直線有且只有一條.證明 假設(shè)過點還有一條直線與直線平行. 因為 點在直線外,所以 點和直線確定一個平面.在平面內(nèi)過點能作出一條直線與直線平行.（由平面幾何知識得）所以直線存在.因為直線/ /,所以直線/.這與直線，共過點矛盾，故假設(shè)不成立,所以直線是唯一的.故，過直線外一點，有且只有一條直線和這條直線平行.3.5 整除性命題 整除性命題即結(jié)論有“能夠整除”或者“能夠被整除”等相近詞語的論題.例6 設(shè)，都是整數(shù)，能被整除，證明 和都能被整除.證明 分三種情況： ，都不能被整除.因為不能被整除，故不能被整除.同理 不能被整除.所以 不能被整除，與已知相矛盾. 能被整除，不能被整除.由此可知，能被整除，不能被整除,所以不能被整除，與已知相矛盾. 不能被整除，能被整除,與同理，不能被整除，與已知相矛盾.由、與已知矛盾可知，假設(shè)不成立.所以原命題成立.3.6 某些存在性命題某些存在性命題即某些結(jié)論有“存在使、“存在滿足條件的”等詞語的論題.這些命題在證明時需要更加靈活的運用反證法.例7設(shè)，求證：對于，存在有滿足條件的，使得成立.證明 假設(shè)對于一切的，使恒成立.令 ，則 .令 ，則 .令 ,得 .而 , 則產(chǎn)生矛盾.所以假設(shè)不成立，原命題成立.3.7 不等性命題不等性命題即如不等式等形式的論題. 在使用反證法時要注意結(jié)論的反面情況，若結(jié)論的反面情況有無窮多種，那么就不能夠使用反證法.例8 當(dāng)，證明 .證明 假設(shè)則，即,因為，故.于是.又因為，即,所以，即, 此式不成立.所以假設(shè)不成立，當(dāng)時.例9 已知，且，證明.證明 假設(shè).把代入前式可得,即 .因為，所以.因為，則與矛盾.所以假設(shè)不成立，原命題成立.3.8 起始性命題學(xué)科中的起始性命題即是基本的定理、公理.此類命題因為已知條件和能應(yīng)用的定理、公式、法則較少，或能推論出的結(jié)論很少，故用直接證明法較難，應(yīng)用反證法來證明.例10 證明 兩條相交直線有且只有一個交點.已知直線，相交于點，證明 ，只有一個交點.證明 假設(shè)直線，相交不止一個交點.則至少有兩個交點，.則直線是由，兩點確定的直線，直線是由，兩點確定的直線.即由，兩點確定了兩條直線，.與已知公理“兩點只確定一條直線”矛盾.所以 假設(shè)不成立，則兩條相交直線有且只有一個交點.例11 證明在一個三角形中，不能有兩個鈍角.已知是的三個內(nèi)角，求證 中不能有兩個鈍角.證明 假設(shè)中有兩個鈍角.不妨設(shè).則,.則 .與已知公理“三角形的內(nèi)角和為”矛盾.故假設(shè)不成立，即在一個三角形中，不能有兩個鈍角.例12直線與平面相交于，過點在平面內(nèi)引直線、，證明 . （圖1）證明 假設(shè)不垂直于平面.如圖1所示，作并與平面相交于點，此時、不重合，連接.由作于，于，根據(jù)三垂線定理知：,.因為, 是公共邊，所以 .因此=.又=，所以 .所以 .因此，是的平分線.同理，是的平分線.而和是兩條不重合的直線，不可能同時作為和的平分線.產(chǎn)生矛盾.所以假設(shè)不正確.所以原命題成立，.分析 在證明此類基本命題時，使用反證法證明比起直接證明有的好處是不必要再結(jié)合另外太多的定理，給論題的證明縮小了范圍，同時也帶來了方便和新的開拓思路.4 運用反證法應(yīng)該注意的問題 4.1 必須正確否定結(jié)論運用反證法證明命題的第一步就是：假設(shè)命題的結(jié)論不成立.即假設(shè)結(jié)論的反面成立.在這一步驟中，須注意反設(shè)的正確，如果錯誤的“否定結(jié)論”，即使推理再好也會前功盡棄.要做出正確的反設(shè)，必須注意以下幾點：1）分清命題的條件與結(jié)論、結(jié)論與反設(shè)間的邏輯關(guān)系.2）結(jié)論的反面常常不止一種，則需要反設(shè)后，分別就各種情況歸謬，做到無一遺漏.3）一些常用詞的否定形式列表詞語詞語的否定詞語詞語的否定是不是必有1個1個也沒有一定是一定不是至少有個至多個都是不都是至多有1個至少有2個大于小于或等于至多有個至少有個小于大于或等于所有都成立存在一個不成立且或所有不成立存在一個成立4.2 必須明確推理特點否定結(jié)論從而導(dǎo)出矛盾是反證法的任務(wù).但何時出現(xiàn)矛盾，出現(xiàn)什么矛盾是不可預(yù)測的，也沒有一個機(jī)械標(biāo)準(zhǔn).但一般總是在相關(guān)領(lǐng)域里考慮（相關(guān)的公理、定義、定理等），這是反證法的推理特點.因此，在推理前不必要先規(guī)定好要得出什么矛盾，只要正確的否定結(jié)論，嚴(yán)格遵循推理規(guī)則進(jìn)行每一步有理有據(jù)的推理，總會出現(xiàn)矛盾.而矛盾一經(jīng)出現(xiàn)，證明即告結(jié)束.4.3 了解矛盾種類反證法推理過程中，出現(xiàn)的矛盾是多樣的，推理導(dǎo)出的結(jié)果可能與題設(shè)或部分題設(shè)矛盾，也可能與已知的定義或公理，定理或性質(zhì)相矛盾，可能與臨時假設(shè)矛盾，也可能是推出一對相互矛盾的結(jié)果.總 結(jié)反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，是一種重要的證明方法.反證法在數(shù)學(xué)命題的證明中有著直接證明所起不到的作用，若恰當(dāng)?shù)氖褂梅醋C法，就可以化繁為簡、化難為易、化不可能為可能.反證法在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的很多方面有著特殊的、不可替代的作用.它用其獨特的思維方式和證明方法對培養(yǎng)學(xué)生的邏輯性思維能力和創(chuàng)造性思維能力有著重要意義.數(shù)學(xué)的證明時千變?nèi)f化的，然而不變的是證明的步驟和證明的方法，反證法這種證明方法不僅可以在證明論題時單獨使用，也可以結(jié)合其他的證明方法一起使用，在證明論題時靈活多變.而在證明較為復(fù)雜的論題時，反證法可以多次使用，只要我們熟練的掌握了反證法，在證明時能夠正確又靈活的運用反證法，就能夠做到精巧、有力、方便直接、論證嚴(yán)謹(jǐn)、有理有據(jù)、巧解難題，提高我們解數(shù)學(xué)題的能力.然而，反證法卻是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中比較難教和難學(xué)的內(nèi)容.如何有效的提高和改良反證法的教學(xué)，是擺在中學(xué)數(shù)學(xué)教師面前的一個重要課題.我們要進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，讓學(xué)生真正的理解它、掌握它，從而能夠熟練而靈活的運用它.參 考 文 獻(xiàn)1 藍(lán)澗，南秀全，初中數(shù)學(xué)奧林匹克競賽全真試題M，武漢：湖北教育出版社，2012.2 曲一線. 五年高考三年模擬高考理數(shù)M，北京：首都師范大學(xué)出版社，2013.3 高瓏瓏. 反證法例說J，中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1997,4:19-21.4 龍朝陽. 反證法的理論基礎(chǔ)與適用范圍J. 安順師專學(xué)報，1999,2:3-4.5 程里春，張慶毓. 反證法M.廣州：廣東人民出版社，2001.6 趙刊. 常見反證法解題的幾種類型J. 中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2002,12:16-19.7 曹金敏. 淺談數(shù)學(xué)證明中的反證法J.現(xiàn)代交際，2010，12:40-43.致 謝在論文即將完成之際，我的心情十分激動，從論文的選題、資料的收集、內(nèi)容的排版到格式的規(guī)范，我得到了來自身邊的老師、朋友、同學(xué)以及前輩們的熱情幫助.首先，我要感謝我的論文指導(dǎo)老師，張新建老師，她是我見過最耐心最溫柔最令人折服的老師，一開始我對于論文很是不知所措，選題還是收集資料都很迷茫，是張老師給我指點迷津，幫助我選出適合我的論文題，又為我開拓研究思路，在初期填寫論文任務(wù)書時，我的填寫格式總是不符合要求，已經(jīng)晚上十一點了，是張老師守在電腦那頭悉心幫我指出問題，并為我改正，也因此加長了張老師的工作時間，也影響了她的休息，可是張老師并沒有任何怨言，她的耐心和對工作的一絲不茍給了我很大的啟發(fā)和感動.在修改論文的過程中，張老師精心點撥、熱忱鼓勵我，就算是再細(xì)小的問題，她也及時指出并告訴我怎樣改正，張老師用她嚴(yán)謹(jǐn)求實的態(tài)度和踏踏實實的精神再一次教給了我什么是老師，什么才叫為人師表，我要向張老師學(xué)習(xí)，雖然只有短短的幾個月，可張老師教會我的遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止寫論文那么簡單，她給了我終生受益之道，對張老師的感激之情是我無法用任何語言來表達(dá)的.其次，我要感謝我的朋友們，是他們在我遇到難題和寫作瓶頸的時候給我?guī)椭凸膭?我想我不會忘記我們一起寫論文，一起討論問題，一起相互監(jiān)督、相互加油打氣的日子，在我寫作論文的日子里，感謝有你們的陪伴和幫助.在此，我還要感謝已經(jīng)畢業(yè)的學(xué)長學(xué)姐們，雖然我并不認(rèn)識他們，也和他們不是同校畢業(yè)的，但是他們還是通過互聯(lián)網(wǎng)給了我許多建議和意見，告訴我寫論文常出現(xiàn)的問題，同時也幫助我規(guī)范了論文的格式.最后，我還要感謝我的母校，淮陰師范學(xué)院，在這四年里，我離開了家，離開了父母親，來到了淮師，母校就是我這四年里的母親，它養(yǎng)育了我，教育了我，相處四年，母校的教室、母校的操場、母校的一草一木我都會記在心間，在母校里是我一生中最美的時光，別了，淮師.由于我的學(xué)術(shù)水平有限，此篇論文難免有不足之處，懇請各位老師和學(xué)友們批評指正.13