第六節(jié)雙曲線2019考綱考題考情1雙曲線的概念平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫焦距。集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c為常數(shù)且a0，c0。(1)當ac時，M點的軌跡是雙曲線。(2)當ac時，M點的軌跡是兩條射線。(3)當ac時，M點不存在。2雙曲線的標準方程和幾何性質1雙曲線定義的四點辨析(1)當02a|F1F2|時，動點的軌跡不存在。2方程1(mn0)表示的曲線(1)當m0，n0時，表示焦點在x軸上的雙曲線。(2)當m0，n2，故|PF2|6。答案62(選修11P53練習T3改編)以橢圓1的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線方程為_。解析設要求的雙曲線方程為1(a0，b0)，由橢圓1，得焦點為(1,0)，頂點為(2,0)。所以雙曲線的頂點為(1，0)，焦點為(2,0)。所以a1，c2，所以b2c2a23，所以雙曲線標準方程為x21。答案x21二、走近高考3(2018浙江高考)雙曲線y21的焦點坐標是()A(，0)，(，0) B(2,0)，(2,0)C(0，)，(0，) D(0，2)，(0,2)解析由題可知雙曲線的焦點在x軸上，因為c2a2b2314，所以c2，故焦點坐標為(2,0)，(2,0)。故選B。答案B4(2018江蘇高考)在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線1(a0，b0)的右焦點F(c,0)到一條漸近線的距離為c，則其離心率的值是_。解析不妨設雙曲線的一條漸近線方程為yx，所以bc，所以b2c2a2c2，得c2a，所以雙曲線的離心率e2。答案25(2018全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則點(4,0)到C的漸近線的距離為()AB2 CD2解析由離心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以雙曲線C的漸近線方程為yx。由點到直線的距離公式，得點(4,0)到C的漸近線的距離為2。故選D。解析：離心率e的雙曲線是等軸雙曲線，其漸近線方程是yx，由點到直線的距離公式得點(4,0)到C的漸近線的距離為2。故選D。答案D三、走出誤區(qū)微提醒：忽視雙曲線定義的條件致誤；忽視雙曲線焦點的位置致誤。6平面內到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，4)的距離之差等于6的點的軌跡是_。解析由|PF1|PF2|60，b0)的離心率為2，左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點A在雙曲線C上，若AF1F2的周長為10a，則AF1F2的面積為()A2a2Ba2C30a2D15a2解析由雙曲線的對稱性，不妨設A在雙曲線的右支上，由e2，得c2a，所以AF1F2的周長為|AF1|AF2|F1F2|AF1|AF2|4a，又AF1F2的周長為10a，所以|AF1|AF2|6a，又因為|AF1|AF2|2a，所以|AF1|4a，|AF2|2a，在AF1F2中，|F1F2|4a，所以cosF1AF2。所以sinF1AF2，所以SAF1F2|AF1|AF2|sinF1AF24a2aa2。故選B。答案B雙曲線定義的應用主要有兩個考查方向：一是利用定義求雙曲線的標準方程；二是利用雙曲線上點P與兩焦點的距離的差的絕對值|PF1|PF2|2a(其中02a0) B1(x0)C1(y0) D1(x0)(2)已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2y21的左、右焦點，點P在C上，F(xiàn)1PF260，則|PF1|PF2|等于()A2 B4C6 D8解析(1)由題設知點P的軌跡方程是焦點在x軸上的雙曲線的右支，設其方程為1(x0，a0，b0)，由題設知c3，a2，b2945，所以點P的軌跡方程為1(x0)。(2)由雙曲線的方程得a1，c，由雙曲線的定義得|PF1|PF2|2。在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos60，即(2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|，解得|PF1|PF2|4。答案(1)B(2)B考點二雙曲線的標準方程【例2】(1)(2019德州二中模擬)“0n2”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件(2)已知以原點為中心，實軸在x軸上的雙曲線的一條漸近線方程為yx，焦點到漸近線的距離為6，則此雙曲線的標準方程為()A1 B1C1 D1(3)若雙曲線經(jīng)過點(3，)，且漸近線方程是yx，則雙曲線的標準方程是_。解析(1)若方程1表示雙曲線，則(n1)(n3)0，解得1n3，則0n2的范圍小于1n3，所以“0n2”是“方程1表示雙曲線”的充分不必要條件。故選A。(2)因為雙曲線的一條漸近線方程是yx，所以。又因為6，所以c10。因為c2a2b2，所以a264，b236。所以雙曲線方程為1。故選C。(3)設雙曲線的方程是y2(0)。因為雙曲線過點(3，)，所以21。故雙曲線的標準方程為y21。答案(1)A(2)C(3)y211利用待定系數(shù)法求雙曲線標準方程的關鍵是：設出雙曲線方程的標準形式，根據(jù)已知條件，列出關于參數(shù)a，b，c的方程并求出a，b，c的值。2與雙曲線1有相同漸近線時可設所求雙曲線方程為(0)。3雙曲線的焦點到漸近線的距離是b?！咀兪接柧殹?1)若實數(shù)k滿足0k9，則曲線1與曲線1的()A離心率相等B虛半軸長相等C實半軸長相等D焦距相等(2)已知焦點在y軸上的雙曲線C的一條漸近線與直線l：xy0垂直，且C的一個焦點到l的距離為3，則雙曲線C的標準方程為()A1 B1C1 D1解析(1)由0k0，b0)，因為雙曲線C的一條漸近線與直線l：xy0垂直，所以雙曲線C的一條漸近線為yx。設雙曲線的一個焦點為(0，c)，則其到直線l的距離為3。所以c2。由雙曲線的一條漸近線為yx，可知。因為a2b2c2，所以a29，b23。故雙曲線的標準方程為1。答案(1)D(2)A考點三雙曲線的簡單幾何性質微點小專題方向1：雙曲線的漸近線【例3】(2019福州四校聯(lián)考)過雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別作雙曲線的兩條漸近線的平行線，若這4條直線所圍成的四邊形的周長為8b，則該雙曲線的漸近線方程為()AyxByxCyxDy2x解析由雙曲線的對稱性得該四邊形為菱形，因為該四邊形的周長為8b，所以菱形的邊長為2b，由勾股定理得4條直線與y軸的交點到x軸的距離為，又4條直線分別與兩條漸近線平行，所以，解得ab，所以該雙曲線的漸近線的斜率為1，所以該雙曲線的漸近線方程為yx。故選A。答案A雙曲線1(a0，b0)的漸近線是令0，即得兩漸近線方程0。漸近線的斜率也是一個比值，可類比離心率的求法解答。方向2：雙曲線的離心率【例4】(2018全國卷)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，b0)的左，右焦點，O是坐標原點。過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P。若|PF1|OP|，則C的離心率為()AB2CD解析不妨設一條漸近線的方程為yx，則F2到y(tǒng)x的距離db，在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO與RtF2PO中，根據(jù)余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e。故選C。答案C雙曲線的離心率e是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關于a，b，c的一個關系式，利用b2c2a2消去b，然后變形成關于e的關系式，并且需注意e1。方向3：雙曲線幾何性質的綜合應用【例5】(2019太原模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左支交于點A，與右支交于點B，若|AF1|2a，F(xiàn)1AF2，則()A1 BCD解析如圖所示，由雙曲線定義可知|AF2|AF1|2a。又|AF1|2a，所以|AF2|4a，因為F1AF2，所以SAF1F2|AF1|AF2|sinF1AF22a4a2a2。設|BF2|m，由雙曲線定義可知|BF1|BF2|2a，所以|BF1|2a|BF2|，又知|BF1|2a|BA|，所以|BA|BF2|。又知BAF2，所以BAF2為等邊三角形，邊長為4a，所以SABF2|AB|2(4a)24a2，所以。故選B。答案B雙曲線幾何性質的綜合應用涉及知識較寬，如雙曲線定義、標準方程、對稱性、漸近線、離心率等多方面的知識，在解決此類問題時要注意與平面幾何知識的聯(lián)系?！绢}點對應練】1(方向1)已知雙曲線C：1(m0，n0)的離心率與橢圓1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線C的漸近線方程為()A4x3y0B3x4y0C4x3y0或3x4y0D4x5y0或5x4y0解析由題意知，橢圓中a5，b4，所以橢圓的離心率e，所以雙曲線的離心率為，所以，所以雙曲線的漸近線方程為yxx，即4x3y0。故選A。答案A2(方向2)已知橢圓M：1(ab0)，雙曲線N：1。若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為_；雙曲線N的離心率為_。解析設橢圓的右焦點為F(c,0)，雙曲線N的漸近線與橢圓M在第一象限內的交點為A，由題意可知A，由點A在橢圓M上得，1，所以b2c23a2c24a2b2，因為b2a2c2，所以(a2c2)c23a2c24a2(a2c2)，所以4a48a2c2c40，所以e8e40，所以e42，所以e橢1(舍去)或e橢1，所以橢圓M的離心率為1，因為雙曲線的漸近線過點A，所以一條漸近線方程為yx，所以，故雙曲線的離心率e雙2。答案123(方向3)已知離心率為的雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點，且OMMF2，O為坐標原點，若SOMF216，則雙曲線的實軸長是()A32 B16C8 D4解析由題意知F2(c,0)，不妨令點M在漸近線yx上，由題意可知|F2M|b，所以|OM|a。由SOMF216，可得ab16，即ab32，又a2b2c2，所以a8，b4，c4，所以雙曲線C的實軸長為16。故選B。答案B考點四直線與雙曲線的位置關系【例6】已知雙曲線C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率e，虛軸長為2。(1)求雙曲線C的標準方程；(2)若直線l：ykxm與曲線C相交于A，B兩點(A，B均異于左、右頂點)，且以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點D，求證：直線l過定點。解(1)設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)。由已知得，2b2，又a2b2c2，所以a2，b1，所以雙曲線的標準方程為y21。(2)證明：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(14k2)x28kmx4(m21)0，所以64m2k216(14k2)(m21)0，x1x20，x1x20，所以可得，所以a2。于是，由雙曲線的定義得|6|PF2|2a4，解得|PF2|2或|PF2|10。又|PF1|6ac2，所以點P可能在雙曲線的右支上，也可能在左支上，故所求|PF2|2或|PF2|10均有可能。故選D。答案D2(配合例2使用)已知雙曲線C的兩個焦點F1，F(xiàn)2都在x軸上，對稱中心為原點O，離心率為。若點M在C上，且MF1MF2，M到原點的距離為，則C的方程為()A1 B1Cx21 Dy21解析由題意可知，OM為RtMF1F2斜邊上的中線，所以|OM|F1F2|c。由M到原點的距離為，得c，又e，所以a1，所以b2c2a2312。故雙曲線C的方程為x21。故選C。答案C3(配合例4使用)過雙曲線1(a0，b0)的右焦點F作圓x2y2a2的切線FM，切點為M，交y軸于點P，若，且雙曲線的離心率e，則()A1 B2C3 D4解析如圖，|OF|c，|OM|a，OMPF，所以|MF|b，根據(jù)射影定理得|PF|，所以|PM|b，所以。因為e212，所以。所以2。故選B。答案B4(配合例5使用)已知雙曲線C：x21(b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是雙曲線C上的任意一點，過點P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于A，B兩點，若四邊形PAOB(O為坐標原點)的面積為，且0，則點P的橫坐標的取值范圍為()ABCD解析由題易知四邊形PAOB為平行四邊形，且不妨設雙曲線C的漸近線OA：bxy0，OB：bxy0。設點P(m，n)，則直線PB的方程為ynb(xm)，且點P到漸近線OB的距離為d。由解得所以B，所以|OB|bmn|，所以SPAOB|OB|d。又因為m21，所以b2m2n2b2，所以SPAOBb。又SPAOB，所以b2，所以雙曲線C的方程為x21，所以c3，所以F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)，所以(3m)(3m)n20，即m29n20，又因為m21，所以m298(m21)0，解得m或m，所以點P的橫坐標的取值范圍為。故選A。答案A