第85講不等式的證明1(2018·廣州二模)已知函數(shù)f(x)|2x1|2x1|，不等式f(x)2的解集為M.(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|ab|1. (1)f(x)2，即|2x1|2x1|2，當(dāng)x時(shí)，得(2x1)(12x)2，解得x，故x；當(dāng)<x<時(shí)，得(2x1)(12x)2，即22.故<x<；當(dāng)x時(shí)，得(2x1)(2x1)2，解得x，故x；所以不等式的解集為Mx|x(2)a，bM，即a，b，所以|a|，|b|.當(dāng)(ab)(ab)0時(shí)，| ab | ab |( ab)(ab)|2a|1；當(dāng)(ab)( ab)0時(shí)，| ab | ab |( ab)(ab)|2b|1；所以當(dāng)a，bM時(shí)，| ab | ab |1.2(2018·黃石模擬)已知關(guān)于x的不等式|x2|x3|m1|有解，記實(shí)數(shù)m的最大值為M.(1)求M的值；(2)正數(shù)a，b，c滿足a2bcM，求證：1. (1)|x2|x3|(x2)(x3)|5， 若不等式|x2|x3|m1|有解，則滿足|m1|5，解得6m4.所以M4.(2)證明：由(1)知正數(shù)a，b，c滿足a2bc4，所以(ab)(bc)()(2)(22)1，當(dāng)且僅當(dāng)ac，ab2時(shí)，取等號(hào)3(2017·福州市畢業(yè)班綜合質(zhì)量檢測(cè))已知xR，使不等式|x1|x2|t成立(1)求滿足條件的實(shí)數(shù)t的集合T；(2)若m>1，n>1，對(duì)tT，不等式log3m·log3nt恒成立，求mn的最小值 (1)令f(x)|x1|x2|則1f(x)1.因?yàn)閤R使得不等式|x1|x2|t成立，所以t1，即Tt|t1(2)由(1)知，log3m·log3n1，因?yàn)閙>1，n>1，所以log3m>0，log3n>0，又log3mlog3n22，所以mn9，當(dāng)且僅當(dāng)mn3時(shí)，取等號(hào)所以mn的最小值為9.4(2017·河北石家莊二模)設(shè)函數(shù)f(x)|x1|2x1|的最大值為m.(1)作出函數(shù)f(x)的圖象；(2)設(shè)a>0,b>0,c>0,若a22c23b2m，求ab2bc的最大值 (1)f(x)畫(huà)出圖象如下圖所示(2)由(1)知m，因?yàn)閙a22c23b2(a2b2)2(c2b2)2ab4bc，所以ab2bc，所以ab2bc的最大值為.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立5(經(jīng)典真題)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件 因?yàn)?)2ab2，()2cd2，由題設(shè)abcd，ab>cd，得()2>()2，所以>.(2)若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd，因?yàn)閍bcd，所以ab>cd.由(1)得>.若>，則()2>()2，即ab2>cd2，因?yàn)閍bcd，所以ab>cd.所以(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2，因此|ab|<|cd|.綜上，>是|ab|<|cd|的充要條件6(2018·鄭州三模)已知a>0，b>0，函數(shù)f(x)|xa|2xb|的最小值為1.(1)證明：2ab2；(2)若a2btab恒成立，求實(shí)數(shù)t的最大值 (1)證明：因?yàn)閍<，所以f(x)顯然f(x)在(，)單調(diào)遞減，在(，)單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f()a1，即2ab2.(2)因?yàn)閍2btab恒成立，所以t恒成立，()(2ab)(5)，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，取得最小值，所以t，即實(shí)數(shù)t的最大值為.4