第6講函數(shù)的單調(diào)性1(2016·北京卷)下列函數(shù)中，在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)的是(D)Ay Bycos xCyln(x1) Dy2x 選項(xiàng)A中，y在(，1)和(1，)上為增函數(shù)，故y在(1,1)上為增函數(shù)；選項(xiàng)B中，ycos x在(1,1)上先增后減；選項(xiàng)C中，yln(x1)在(1，)上為增函數(shù)，故yln(x1)在(1,1)上為增函數(shù)；選項(xiàng)D中，y2x()x在R上為減函數(shù)，故y2x在(1,1)上是減函數(shù)2已知f(x)是R上的減函數(shù)，則滿足f(|)<f(1)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是(C)A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，) 因?yàn)閒(x)是R上的減函數(shù)，所以f(|)<f(1)|>1，所以0<|x|<1，所以x(1,0)(0,1)3(2017·全國卷)函數(shù)f(x)在(，)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)若f(1)1，則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是(D)A2,2 B1,1C0,4 D1,3 因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)f(x)因?yàn)閒(1)1，所以f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)單調(diào)遞減，所以1x21，所以1x3.4(2018·棗莊期中)已知f(x)是(，)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是(C)A(0,1) B(0，)C，) D，1) 因?yàn)閒(x)logax(x1)是減函數(shù)，所以0a<1，且f(1)0.因?yàn)閒(x)(3a1)x4a(x<1)為減函數(shù)，所以3a1<0，所以a<，又因?yàn)閒(x)是(，)上的減函數(shù)，所以f(x)在(，1上的最小值大于或等于f(x)在1, )上的最大值所以(3a1)×14a0，所以a，所以a，)5函數(shù)f(x)log2(4xx2)的單調(diào)遞減區(qū)間是2,4). 因?yàn)?xx2>0，所以0<x<4，又ylog2t為增函數(shù)，所求函數(shù)的遞減區(qū)間為t4xx2,0<x<4的遞減區(qū)間是2,4)6(2018·北京卷)能說明“若f(x)f(0)對(duì)任意的x(0，2都成立，則f(x)在0，2上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是_f(x)sin_x(答案不唯一)_ 設(shè)f(x)sin x，則f(x)在0，上是增函數(shù)，在，2上是減函數(shù)由正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性知，當(dāng)x(0，2時(shí)，f(x)>f(0)sin 00，故f(x)sin x滿足條件f(x)>f(0)對(duì)任意的x(0，2都成立，但f(x)在0，2上不一直都是增函數(shù)7討論函數(shù)f(x)(a)在(2，)上的單調(diào)性 (方法1：利用單調(diào)性的定義)設(shè)x1，x2(2，)，且x1<x2，則f(x1)f(x2)，因?yàn)?<x1<x2，所以x2x1>0，(x12)(x22)>0，所以當(dāng)a<時(shí)，f(x1)>f(x2)，f(x)在(2，)上為減函數(shù)；當(dāng)a>時(shí)，f(x1)<f(x2)，f(x)在(2，)上為增函數(shù)(方法2：利用導(dǎo)數(shù))因?yàn)閒(x)，所以當(dāng)a>時(shí)，f(x)>0，f(x)在(2，)上為增函數(shù)；當(dāng)a<時(shí)，f(x)<0，f(x)在(2，)上為減函數(shù)8(2018·河北石家莊月考)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，而函數(shù)y在區(qū)間I上是減函數(shù)，那么稱函數(shù)yf(x)是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，區(qū)間I叫做“緩增區(qū)間”若函數(shù)f(x)x2x是區(qū)間I上的“緩增函數(shù)”，則“緩增區(qū)間”I為(D)A1，) B0，C0,1 D1， 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2x的對(duì)稱軸為x1，所以函數(shù)yf(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，又當(dāng)x1時(shí)，x1.(方法1：利用“雙勾函數(shù)”)因?yàn)閤時(shí)，即x時(shí)，取到最小值，所以在1，單調(diào)遞減，即1，為“緩增區(qū)間”(方法2：利用導(dǎo)數(shù))令g(x)x1(x1)，g(x)，由g(x)0，得1x.即函數(shù)在區(qū)間1，上單調(diào)遞減，故“緩增區(qū)間”為1，9(2017·山東卷)若函數(shù)exf(x)(e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)下列函數(shù)中所有具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為.f(x)2x；f(x)3x；f(x)x3；f(x)x22. 設(shè)g(x)exf(x)對(duì)于，g(x)ex·2x()x為增函數(shù)，故中f(x)具有M性質(zhì)對(duì)于，g(x)ex·3x()x單調(diào)遞減，故中f(x)不具有M性質(zhì)對(duì)于，g(x)ex·x3(xR)，g(x)ex·x3ex·3x2(x3)·ex·x2，當(dāng)x3時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞減，故中f(x)不具有M性質(zhì)對(duì)于，g(x)ex·(x22)(xR)，g(x)ex·(x22)ex·2x(x22x2)·ex(x1)21·ex0，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，故中f(x)具有M性質(zhì)綜上，具有M性質(zhì)的函數(shù)的序號(hào)為.10(2018·北京市高三綜合能力測(cè)試)已知f(x)不等式f(xa)>f(2ax)在a，a1上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 因?yàn)槎魏瘮?shù)y1x24x3的對(duì)稱軸為x2，所以該函數(shù)在(，0上單調(diào)遞減，且x24x33，同樣可知y2x22x3在(0，)單調(diào)遞減，且x23x3<3，所以f(x)在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以由f(xa)>f(2ax)，得xa<2ax，即2x<a，所以2x<a在a，a1上恒成立，所以2(a1)<a，所以a<2.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，2)5