課時跟蹤練(五十五)A組基礎鞏固1已知點M(a，b)在圓O：x2y21外，則直線axby1與圓O的位置關系是()A相切 B相交 C相離 D不確定解析：由題意知點M在圓外，則a2b2>1，圓心到直線的距離d<1，故直線與圓相交答案：B2已知圓x2y22x2ya0截直線xy20所得弦的長度為4，則實數(shù)a的值是()A2 B4 C6 D8解析：由x2y22x2ya0，得(x1)2(y1)22a，所以圓心坐標為(1，1)，半徑r，圓心到直線xy20的距離為，所以22()22a，解得a4.答案：B3(2019·深圳調研)在平面直角坐標系中，直線yx與圓O：x2y21交于A，B兩點，的始邊是x軸的非負半軸，終邊分別在射線OA和OB上，則tan()的值為()A2 B C0 D2解析：由題可知tan tan ，那么tan()2，故選A.答案：A4(2019·湖北四地七校聯(lián)考)若圓O1：x2y25與圓O2：(xm)2y220相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是()A3 B4 C2 D8解析：連接O1A，O2A，由于O1與O2在點A處的切線互相垂直，因此O1AO2A，所以|O1O2|2|O1A|2|O2A|2，即m252025，設AB交x軸于點C.在RtO1AO2中，sin AO2O1，所以在RtACO2中，ACAO2·sin AO2O12×2，所以AB2AC4.故選B.答案：B5(2018·全國卷)直線xy20分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x2)2y22上，則ABP面積的取值范圍是()A2，6 B4，8C，3 D2，3解析：設圓(x2)2y22的圓心為C，半徑為r，點P到直線xy20的距離為d，則圓心C(2，0)，r，所以圓心C到直線xy20的距離為2，可得dmax2r3，dmin2r.由已知條件可得AB2，所以ABP面積的最大值為AB·dmax6，ABP面積的最小值為AB·dmin2.綜上，ABP面積的取值范圍是2，6故選A.答案：A6已知圓C1：x2y26x70與圓C2：x2y26y270相交于A，B兩點，則線段AB的中垂線方程為_解析：因為圓C1的圓心C1(3，0)，圓C2的圓心C2(0，3)，所以直線C1C2的方程為xy30，AB的中垂線即直線C1C2，故其方程為xy30.答案：xy307從圓x22xy22y10外一點P(3，2)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為_解析：由x22xy22y10，得(x1)2(y1)21，則圓心為C(1，1)，|PC|.設兩切點分別為B，D，則|CD|1，所以sin CPD，則cos DPB12 sin2CPD1，即兩條切線夾角的余弦值為.答案：8一題多解(2016·全國卷)已知直線l：xy60與圓x2y212交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點則|CD|_解析：法一由圓x2y212知圓心O(0，0)，半徑r2.所以圓心(0，0)到直線xy60的距離d3，|AB|2 2.過C作CEBD于E.如圖所示，則|CE|AB|2.因為直線l的方程為xy60，所以kAB，則BPD30°，從而BDP60°.所以|CD|4.法二設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y23y60，解得y1，y22，所以A(3，)，B(0，2)過A，B作l的垂線方程分別為y(x3)，y2x，令y0，得xC2，xD2，所以|CD|2(2)4.答案：49已知兩圓C1：x2y22x6y10和C2：x2y210x12y450.(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(1)證明：圓C1的圓心為C1(1，3)，半徑r1，圓C2的圓心為C2(5，6)，半徑r24，兩圓圓心距d|C1C2|5，r1r24，|r1r2|4，所以|r1r2|dr1r2，所以圓C1和圓C2相交(2)解：圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減，得4x3y230，所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x3y230.圓心C2(5，6)到直線4x3y230的距離為3，故公共弦長為22.10已知點P(1，2)，M(3，1)，圓C：(x1)2(y2)24.(1)求過點P的圓C的切線方程；(2)求過點M的圓C的切線方程，并求出切線長解：由題意得圓心為C(1，2)，半徑r2.(1)因為(11)2(22)24，所以點P在圓C上又kPC1，所以切線的斜率k1.所以過點P的圓C的切線方程是y(2)x(1)，即xy120.(2)因為(31)2(12)254，所以點M在圓C外部當過點M的直線的斜率不存在時，直線方程為x3，即x30.又點C(1，2)到直線x30的距離d312r，所以直線x30是圓的切線當切線的斜率存在時，設切線方程為y1k(x3)，即kxy13k0，則圓心C到切線的距離dr2，解得k.所以切線方程為y1(x3)，即3x4y50.綜上可得，過點M的圓C的切線方程為x30或3x4y50.因為|MC|，所以過點M的圓C的切線長為1.B組素養(yǎng)提升11(2019·廣州綜合測試二)已知kR，點P(a，b)是直線xy2k與圓x2y2k22k3的公共點，則ab的最大值為()A15 B9C1 D解析：由題意得解得3k1.因為點P是直線與圓的公共點，所以即abk2k，所以當k3時，ab取得最大值9，故選B.答案：B12(2019·茂名模擬)若圓x2y24x4y100上至少有三個不同點到直線l：axby0的距離為2，則直線l的斜率的取值范圍是()A2，1 B2，2C. D0，)解析：圓x2y24x4y100可化為(x2)2(y2)218，則圓心坐標為(2，2)，半徑為3.由圓x2y24x4y100上至少有三個不同點的直線l：axby0的距離為2可得，圓心到直線l：axby0的距離d32，即，則a2b24ab0.若a0，則b0，不符合題意，故a0且b0，則可化為10，由于直線l的斜率k，所以10可化為10，解得k2，2，故選B.答案：B13一題多解(2018·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，A為直線l：y2x上在第一象限內的點，B(5，0)，以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·0，則點A的橫坐標為_解析：法一設A(a，2a)，a>0，則C，所以圓C的方程為(ya)2a2，由得所以·(5a，2a)·2a24a0，所以a3或a1，又a>0，所以a3，所以點A的橫坐標為3.法二由題意易得BAD45°.設直線DB的傾斜角為，則tan ，所以tan ABOtan(45°)3，所以kABtan ABO3.所以AB的方程為y3(x5)，由得xA3.答案：314已知直線l：4x3y100，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方(1)求圓C的方程；(2)過點M(1，0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由解：(1)設圓心C(a，0)，則2，解得a0或a5(舍)所以圓C的方程為x2y24.(2)當直線ABx軸時，x軸平分ANB.當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為yk(x1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(k21)x22k2xk240，所以x1x2，x1x2.若x軸平分ANB，則kANkBN，即0，則0，即2x1x2(t1)(x1x2)2t0，即2t0，解得t4，所以當點N坐標為(4，0)時，能使得x軸平分ANB.7