第36講 數(shù)列的概念及其表示法1數(shù)列an的前n項和Snn27n3，則(D)AS3最小 BS4最小CS7最小 DS3、S4最小 因為Snn27n3(n)2(nN*)，所以n3或n4時取到最小值2(2018·北京海淀模擬)數(shù)列an的前n項和為Sn，若SnSn12n1(n2)，且S23，則a1a3的值為(C)A1 B3C5 D6 由條件，當(dāng)n2時，an2n1，令n2，則S2S13，又S23，所以a10.a32×315.故a1a35.3(2018·河南洛陽模擬)設(shè)數(shù)列an滿足a12a222a32n1an(nN*)，則數(shù)列an的通項公式是(C)Aan BanCan Dan 設(shè)2n1an的前n項和為Tn，因為數(shù)列an滿足a12a222a32n1an，所以Tn，所以2n1anTnTn1(n2)，所以an(n2)，經(jīng)檢驗，當(dāng)n1時也成立，所以an .4(2018·哈師大附中模擬)已知an是遞增數(shù)列，對于任意的正整數(shù)n，均有ann2n，則實數(shù)的取值范圍是(B)A2，) B(3，)CR D 因為an是遞增數(shù)列，對于任意的正整數(shù)n均有ann2n，所以(n1)2(n1)>n2n，所以>(2n1)，所以>3.5數(shù)列1，2，3，4，的一個通項公式為ann. 每一項都可以分成三部分，整數(shù)部分、分子、分母，注意到整數(shù)部分就等于序號n，分子是序號n的平方，分母是分子加1，所以ann.6已知數(shù)列an滿足a10，an1an2n，那么a1009900. 因為anan12(n1)，所以ana1212(n1)n(n1)，因為a10，所以ann(n1)所以a100100×999900.7已知數(shù)列an的前n項和Snn2kn(其中kN*)，且Sn的最大值為8，求數(shù)列an的通項公式 因為Sn(nk)2k2，所以當(dāng)nk時，Sn的最大值為k2.所以k28，所以kN*，所以k4.所以Snn24n.當(dāng)n2時，anSnSn1n24n(n1)24(n1)(2n1)4n；當(dāng)n1時，a1S141.所以ann(nN*)8(2018·山東濟南模擬)已知數(shù)列an中，a2102，an1an4n，則數(shù)列中的最小項是(B)A第6項 B第7項C第8項 D第9項 由an1an4n，得a2a14，又a2102，所以a198.當(dāng)n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)984×14×24(n1)982n(n1)，又n1時適合上式，故an982n(n1)，nN*.故2n22226，當(dāng)且僅當(dāng)2n，即n7時，等號成立9(2018·石家莊二模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn()n，如果存在正整數(shù)n，使得(man)(man1)<0成立，則實數(shù)m的取值范圍是_(，)_ 因為Sn()n，所以a1S1，a2S2S1，a2nS2nS2n1()2n()2n1()2n2()2n3×()2n>0，a2n1S2n1S2n()2n1()2n×()2n()2n×()2n<0，所以數(shù)列an的奇數(shù)項為遞增的等比數(shù)列，且各項為負；偶數(shù)項為遞減的等比數(shù)列，且各項為正所以a1<a3<<a2n1<m<a2n<<a4<a2，如果存在正整數(shù)n，使得(man)(man1)<0成立，則a1<m<a2，所以<m<.即實數(shù)m的取值范圍是(，)10已知數(shù)列an滿足an2，且an>0.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)證明Sna1a2an<；(3)數(shù)列an是否存在最大項？若存在最大項，求出該項和相應(yīng)的項數(shù)；若不存在，說明理由 (1)由an2，得a2an10，由一元二次方程的求根公式得：an±，因為an>0，所以an.(2)證明：因為an，所以Sna1a2an(1)()()1.因為11<0，所以1<.所以Sna1a2an<.(3)(方法1)因為an>0，所以<1，所以an1<an，所以數(shù)列an是遞減數(shù)列，所以數(shù)列an有最大項，最大項為第一項a11.(方法2)由an知數(shù)列an各項滿足函數(shù)f(x)，因為f(x)，x>0時，<，所以x>0時，f(x)<0，即函數(shù)f(x)在(0，)上為減函數(shù)，由此得到an為遞減數(shù)列，所以數(shù)列an有最大項，最大項為第一項a11.5