每日一題規(guī)范練(第五周)題目1 已知Sn為等比數(shù)列an的前n項和，公比q2，且S23，等差數(shù)列bn滿足b2a3，b3b5.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)Tn是數(shù)列bn的前n項和，求Tn的最大值解：(1)因為等比數(shù)列an滿足公比q2，前2項和S23，所以S2a1a2a12a13，解得a11，所以ana1×qn12n1.(2)由題及(1)知，b2a34.因為b3b50，所以b40，則數(shù)列bn的公差d20，故當n3或4時，Tn取得最大值，此時T3T4b1b2b33b212.題目2 如圖，在四邊形ABCD中，ADB45°，BAD105°，AD，BC2，AC3.(1)求邊AB的長及cos ABC的值；(2)若記ABC，求sin的值解：(1)在ABD中，ABD180°(45°105°)30°，由，得AB×.在ABC中，AC2AB2BC22AB×BC×cos ABC，所以323222×2cos ABC，所以cos ABC.(2)由(1)知cos ，所以sin ，sin 2，cos 2 .所以sinsin 2cos cos 2sin .題目3 (2019·長沙雅禮中學檢測)某公司為評估兩套促銷活動方案(方案1的運作費用為5元/件；方案2的運作費用為2元/件)，在某地區(qū)部分營銷網(wǎng)點進行試點(每個試點網(wǎng)點只采用一種促銷活動方案)，運作一年后，對比該地區(qū)上一年度的銷售情況，制作相應(yīng)的等高條形圖如圖所示(1)請根據(jù)等高條形圖提供的信息，為該公司今年選擇一套較為有利的促銷活動方案(不必說明理由)；(2)已知該公司產(chǎn)品的成本為10元/件(未包括促銷活動運作費用)，為制定本年度該地區(qū)的產(chǎn)品銷售價格，統(tǒng)計上一年度的8組售價xi(單元：元/件，整數(shù))和銷售yi(單位：件)(i1，2，8)如下表所示：售價3335373941434547銷量840800740695640580525460請根據(jù)下列數(shù)據(jù)計算相應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R2，并根據(jù)計算結(jié)果，選擇合適的回歸模型進行擬合；根據(jù)所選回歸模型，分析售價x定為多少時？利潤z可以達到最大項目1 200ln x5 00027x1 700x21 20052 446.9513 142122.89124 650附：相關(guān)指數(shù)R21.解：(1)由等高條形圖可知，年度平均銷售額與方案1的運作相關(guān)性強于方案2.(2)由已知數(shù)據(jù)可知，回歸模型1 200ln x5 000對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R0.579 2；回歸模型27x1 700對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R0.894 6；回歸模型x21 200對應(yīng)的相關(guān)指數(shù)R0.999 0.因為RRR，所以采用回歸模型x21 200進行擬合最為合適由(1)可知，采用方案1的運作效果比方案2好，故利潤z(x15)，z(x30)(x40)，當x(0，40)時，z0，z(x15)單調(diào)遞增；當x(40，)時，z0，z(x15)單調(diào)遞減，故當售價x40時，利潤z達到最大題目4 如圖，四邊形ABCD是菱形，EA平面ABCD，EFAC，CF平面BDE，G是AB中點(1)求證：EG平面BCF；(2)若AEAB，BAD60°，求二面角A-BE-D的余弦值(1)證明：設(shè)ACBDO，連接EO，OG.因為G是AB中點，O是AC，BD的中點，所以O(shè)GBC.又OG平面BCF，知OG平面BCF.因為CF平面BDE，且平面BDE平面ACFEEO，所以EOCF.由EO平面BCF，知EO平面BCF.又EOOGO，所以平面EOG平面BCF.又EG平面EOG，故EG平面BCF.(2)解：由(1)知EOCF，AOOC，又EFAC，所以EFOA.則四邊形AOFE為平行四邊形，所以AEFO.又EA底面ABCD，ACBD，則OA，OB，OF兩兩垂直如圖建立空間直角坐標系O-xyz，設(shè)AEAB2，又因為BAD60°，所以DGAB，OA，OB1，則E(，0，2)，B(0，1，0)，D(0，1，0)，G，所以(0，2，0)，(，1，2)設(shè)平面BDE的法向量n(x，y，z)，得可取n(2，0，)因為EADG，EAABA，所以DG平面EAB，所以平面EAB的法向量可取.所以cosn，.所以二面角A-BE-D的余弦值為.題目5 已知函數(shù)f(x)ax2ex1.(1)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線的斜率為e，求a的值；(2)求證：當x0時，f(x)0.(1)解：由函數(shù)f(x)ax2ex1，可得f(x)ex2ax.因為曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線的斜率為e，所以f(1)e2ae，所以a0.(2)證明：由(1)知，f(x)ex2ax.令h(x)f(x)，則h(x)ex2a.當0a時，h(x)0，函數(shù)h(x)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增所以f(x)f(0)1，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增因此f(x)f(0)0，滿足題意當a時，令h(x)ex2a0，解得xln 2a.當x(0，ln 2a)時，h(x)0，f(x)h(x)單調(diào)遞減；當x(ln 2a，)時，h(x)0，f(x)h(x)單調(diào)遞增所以f(x)minf(ln 2a)eln 2a2aln 2a2a(1ln 2a)因為a，所以1ln 2a0，所以f(x)min0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，故f(x)f(0)0，滿足題意綜上，當x0時，f(x)0.題目6 設(shè)橢圓1(ab0)的左焦點為F，上頂點為B，已知橢圓的離心率為，點A的坐標為(b，0)，且|FB|·|AB|6.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l：ykx(k0)與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于Q.若sin AOQ(O為原點)，求k的值解：(1)設(shè)橢圓的焦點為2c，由已知有，又由a2b2c2，可得2a3b.由已知可得，|FB|a，|AB|b，由|FB|·|AB|6，可得ab6，從而a3，b2.所以，橢圓的方程為1.(2)設(shè)點P的坐標為(x1，y1)，點Q的坐標為(x2，y2)由已知，y1y20.故|PQ|sin AOQy1y2.又因為|AQ|，而OAB，故|AQ|y2.由sin AOQ，可得5y19y2.由方程組消去x，可得y1.易知直線AB的方程為xy20，由方程組消去x，可得y2.代入5y19y2，可得5(k1)3，將等式兩邊平方，整理得56k250k110，解之得k或k.故實數(shù)k的值為或.題目7 1.選修44：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，圓C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，圓C2的極坐標方程為2cos.(1)求圓C1的普通方程和圓C2的直角坐標方程；(2)判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系解：(1)由圓C1的參數(shù)方程(為參數(shù))，得圓C1的普通方程為x2(y2)24.由圓C2的極坐標方程2cos，可得22cos 2sin ，轉(zhuǎn)換為圓C2的直角坐標方程為x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.(2)由(1)知，圓C1的半徑r12，圓心坐標為(0，2)，圓C2的半徑r2，圓心坐標為(1，1)，所以圓心距d，所以r1r22，r1r22，所以圓C1與C2相交2選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|x2|x1|.(1)若關(guān)于x的不等式f(x)a有解，求實數(shù)a的取值范圍；(2)解不等式f(x)x22x.解：(1)f(x)|x2|x1|故f(x)的值域為3，3，所以f(x)的最大值是3，若f(x)a成立有解，則有af(x)max，即a3，所以a的取值范圍是(，3)(2)當x1時，x22x3，得x1；當1x2時，x22x2x1，得1x2；當x2時，x22x3，得x2.綜上，不等式的解集為(，1)(1，)- 7 -