第1講解答題的解法研究一 數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩方面的內(nèi)容：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，比如應(yīng)用曲線的方程來精確的闡明曲線的幾何性質(zhì)我們在解決數(shù)學(xué)問題時，應(yīng)將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實現(xiàn)抽象概念與具體形象的互化，從而得到原題的解總體目標：通過數(shù)形結(jié)合，抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化解題途徑：根據(jù)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡常見的手段：構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合、分離變量法等等典例1記實數(shù)x1，x2，xn中最小數(shù)為minx1，x2，xn，求定義在區(qū)間0，)上的函數(shù)f(x)minx21，x3,13x的最大值【方法點睛】利用函數(shù)的圖象求最值，避免分段函數(shù)的討論，正確作出函數(shù)的圖象是解決此類問題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快和準為原則典例2關(guān)于x的方程sin2xcos2xa1在上有兩個不同的根，求實數(shù)a的取值范圍【方法點睛】本題要解的是一個帶參數(shù)的三角方程，直接解比較困難，可以從函數(shù)的角度來研究本方程的解通過變形，左邊看成函數(shù)y1sin的圖象的一部分，右邊看成y2的圖象因此，方程的解可通過“數(shù)形結(jié)合”方法輕松獲得對于三角方程的解的個數(shù)問題，經(jīng)?？煽紤]此思想方法解決典例3在平面直角坐標系xOy中，點B與點A(1,1)關(guān)于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.(1)求動點P的軌跡方程；(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x3交于點M，N，問：是否存在點P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由【方法點睛】本題的想法看似簡單，即設(shè)P(x0，y0)，分別寫出直線AP和BP的方程，根據(jù)已知條件用x0，y0分別表示出PAB與PMN的面積，從而得到x0，y0的一個關(guān)系式，再結(jié)合點P(x0，y0)在橢圓x23y24上，得到第二個方程，從而問題轉(zhuǎn)化為解方程組，這是很多學(xué)生很容易想到的做法，可是這看似簡單的想法計算卻非常不簡單如果能先作出圖形，根據(jù)PAB與PMN的面積相等，得到M是NC中點，易知B為AC中點，從而AM，BN都是中線，因此P為ANC的重心，而A，N，C三點橫坐標易求得，故P點的橫坐標也就易求出來了代入橢圓，很快求出P點的縱坐標在解析幾何求解過程中，如果適當(dāng)考慮其中的幾何關(guān)系，計算量將大大減少，“數(shù)形結(jié)合”，事半功倍，提高解題效率典例4已知函數(shù)f(x)|2x3|x1|.(1)若不等式f(x)a的解集是空集，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若存在x0R，使得2f(x0)t24|t|成立，求實數(shù)t的取值范圍【方法點睛】本題如果從不等式角度進行考慮，非常不好描述，而且不易求出正確解根據(jù)題意，將不等式恒成立問題和存在性問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域與參數(shù)的比較問題，思路清晰明了，再通過數(shù)形結(jié)合，很快求出相關(guān)函數(shù)的值域，繼而求出參數(shù)的取值范圍在求解過程中，“數(shù)形結(jié)合”大大簡化了計算量二 轉(zhuǎn)化與化歸思想數(shù)學(xué)思想中的一條重要原則是轉(zhuǎn)化與化歸，不斷地變更數(shù)學(xué)問題，使要解決的問題化難為易，或變未知為已知，或把某一數(shù)學(xué)分支中的問題轉(zhuǎn)化為另外一個數(shù)學(xué)分支中的問題，最終求出原題的解總體目標：化難為易，化生為熟，化繁為簡解題途徑：函數(shù)、方程、不等式間的轉(zhuǎn)化；數(shù)與形間的轉(zhuǎn)化；一般與特殊的轉(zhuǎn)化；整體與局部的轉(zhuǎn)化；正面與反面的轉(zhuǎn)化等等常見的方法：換元法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、設(shè)參法、特殊法，拆分與整合等典例1設(shè)f(x)是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，若f(1axx2)f(2a)對任意a1,1恒成立，求x的取值范圍【方法點睛】將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，在轉(zhuǎn)化過程中，用到了構(gòu)造函數(shù)法，次元、主元調(diào)換法，最后通過解不等式得到答案典例2(2017·浙江高考)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，求|ab|ab|的最小值和最大值【方法點睛】一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的效果典例3已知函數(shù)f(x).(1)當(dāng)x0時，f(x)(m>0)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)求證：f(x)ln x<.【方法點睛】對于恒成立問題和存在性問題，經(jīng)?？煽紤]用分離變量的辦法將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的問題在求函數(shù)值域時，經(jīng)常用構(gòu)造法，通過導(dǎo)數(shù)來分析單調(diào)性，求得函數(shù)的值域，繼而建立與參數(shù)有關(guān)的不等式，最終求得參數(shù)的取值范圍當(dāng)然在本題中導(dǎo)函數(shù)的零點不易求出，我們用了設(shè)而不求的方法，間接解決問題實際上，在解決數(shù)學(xué)題時“無處不轉(zhuǎn)化”典例4已知橢圓C：1(a>b>0)的四個頂點所構(gòu)成的菱形面積為6，且橢圓的焦點為拋物線yx28與x軸的交點(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點，若ADBD，且D(3,0)，求ABD面積的最大值【方法點睛】在求橢圓方程時，經(jīng)常把條件轉(zhuǎn)化為方程組，方程組解出來即得到橢圓方程在解答圓錐曲線相關(guān)問題時，經(jīng)常借助相關(guān)點的坐標來研究相關(guān)性質(zhì)，如定點、共線、最值等問題轉(zhuǎn)化的基本方向：消元，降次，化簡三 分類整合思想方法在解某些數(shù)學(xué)問題時，我們常常會遇到這樣一種情況：解到某一步之后，發(fā)現(xiàn)問題的發(fā)展是按照不同的方向進行的當(dāng)被研究的問題包含了多種情況時，就必須抓住主導(dǎo)問題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內(nèi)，根據(jù)問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究，這就是分類整合思想方法分類整合是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練學(xué)生的思維條理性和概括性，因此在高考試題中占有重要的位置總體目標：大化小，整體化為部分，一般化為特殊解題途徑：根據(jù)問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別進行研究，研究的基本方向是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起常見的方法：化整為零、積零為整、構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法、數(shù)形結(jié)合、分離變量法等等典例1(2018·全國卷)已知f(x)|x1|ax1|.(1)當(dāng)a1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x(0,1)時不等式f(x)>x成立，求a的取值范圍【方法點睛】本題(1)(2)問都涉及到絕對值不等式，要把絕對值去掉，解答才得以繼續(xù)進行，在第(1)問中，通過對變量x進行分類討論，絕對值不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式，原不等式從而得到解答；(2)問中對參數(shù)a進行討論，去掉絕對值，求出參數(shù)范圍典例2設(shè)bR，數(shù)列an的前n項和Sn3nb，試判斷an是否是等比數(shù)列？并說明理由【方法點睛】本題中參數(shù)b的值影響著a1的值，進而影響著數(shù)列的通項公式因此需要對參數(shù)b分類討論，并以a1的值是否滿足an2·3n1為標準典例3設(shè)a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinxcosx2a2的最大值和最小值【方法點睛】本題通過作變量代換tsinxcosx，將原函數(shù)變成關(guān)于t的二次函數(shù)(帶參數(shù)a)，然后根據(jù)對稱軸和區(qū)間的關(guān)系進行分類討論，繼而求出原函數(shù)的最大值典例4已知f(x)xaex(aR，e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)e2x對xR恒成立，求實數(shù)a的取值范圍【方法點睛】參數(shù)的變化取值導(dǎo)致不同的結(jié)果，需對參數(shù)進行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等分類討論要標準明確、統(tǒng)一，層次分明，分類要做到“不重不漏”四 函數(shù)與方程思想函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程、不等式、或方程與不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，達到解決問題的目的總體目標：動態(tài)化靜態(tài)，抽象化具體，函數(shù)方程相互轉(zhuǎn)化解題途徑：根據(jù)研究問題的需要，通過構(gòu)造方程或函數(shù)，然后研究方程和函數(shù)的性質(zhì)，從而解決原問題常見的方法：構(gòu)造法、轉(zhuǎn)化法、動靜結(jié)合、數(shù)形結(jié)合、分離變量法等等典例1(2018·全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a17，S315.(1)求an的通項公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值【方法點睛】本題已知數(shù)列的屬性(等差或等比數(shù)列)，因此可以構(gòu)造關(guān)于a1和d(q)的方程組，通過a1和d(q)，從而求出數(shù)列的通項公式，將前n項和Sn表示為n的函數(shù)，繼而求出其最小值求解過程體現(xiàn)方程思想和函數(shù)思想典例2已知sincos，(0，)，求tan的值【方法點睛】本題表面看是一個未知數(shù)，但是很難直接求出其大小本題通過韋達定理構(gòu)造一個一元二次方程，其兩根分別為sin，cos，求出方程的兩個解(也就是sin，cos的值)，從而求出tan的值典例3(2018·全國卷)已知函數(shù)f(x)exax2.(1)若a1，證明：當(dāng)x0時，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一個零點，求a.【方法點睛】本題第(1)問是個不等式問題，我們將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決通過構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值為0，從而證明了原不等式，充分體現(xiàn)了函數(shù)思想的應(yīng)用第(2)問是函數(shù)零點個數(shù)問題，通過構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，從而討論出不同a的值得到不同的零點個數(shù)典例4設(shè)橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線ykx(k0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點(1)若6，求k的值；(2)求四邊形AEBF面積的最大值【方法點睛】幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經(jīng)常出現(xiàn)，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數(shù)關(guān)系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數(shù)，然后借助于函數(shù)最值的求法來求解，這是求面積、線段長最值(范圍)問題的基本方法典例5(2017·全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)若a1，求C與l的交點坐標；(2)若C上的點到l距離的最大值為，求a.【方法點睛】本題第(1)問先將直線和橢圓的參數(shù)方程化為普通方程，然后聯(lián)立，求出交點坐標第(2)問先將C上的點到直線的距離用表示出來，判斷3cos4sin的范圍，討論a，去掉絕對值得到距離的最大值的方程，求得a最后結(jié)果- 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