每日一題規(guī)范練(第一周)題目1 在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若m，n，且m·n.(1)求角A的大小；(2)若a2，三角形面積S，求bc的值解：(1)因?yàn)閙，n，且m·n，所以cos2sin2，則cos A.又A(0，)，所以A.(2)SABCbcsin A，所以bc4，又由余弦定理得a2b2c22bc·cos Ab2c2bc，所以(bc)216，故bc4.題目2 在公差不為0的等差數(shù)列an中，a1，a4，a8成等比數(shù)列，數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn，且數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由a1，a4，a8成等比數(shù)列可得，aa1·a8，(a13d)2a1(a17d)，所以a6a1d9d2a7a1d.因?yàn)閐0，所以a19d.由數(shù)列an的前10項(xiàng)和為45，得S1010a145d45，則90d45d45，故d，a19×3.因此數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.(2)bn9.所以Tn9()91.題目3 某市在2019年2月份的高三期末考試中對數(shù)學(xué)成績數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，全市10 000名學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(120，25)，現(xiàn)某校隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績分析，結(jié)果這50名學(xué)生的成績?nèi)拷橛?5分至145分之間，現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組85，95)，第二組95，105)，第六組135，145，得到如圖所示的頻率分布直方圖(1)試估計(jì)該校數(shù)學(xué)成績的平均分?jǐn)?shù)；(2)若從這50名學(xué)生中成績在125分(含125分)以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在全市前13名的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望附：若XN(，2)，則P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4.解：(1)由頻率分布直方圖可知125，135)的頻率為1(0.010×100.024×100.030×100.016×100.008×10)0.12.所以估計(jì)該校全體學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績約為90×0.1100×0.24110×0.3120×0.16130×0.12140×0.08112(分)(2)由于0.001 3，根據(jù)正態(tài)分布得P(1203×5X1203×5)0.997 4.故P(X135)0.001 3，即0.001 3×10 00013.所以前13名的成績?nèi)吭?35分以上根據(jù)頻率分布直方圖可知這50人中成績在135分以上(包括135分)的有50×0.084人，而在125，145的學(xué)生有50×(0.120.08)10(人)所以X的取值為0，1，2，3.所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以X的分布列為：X0123P所以E(X)0×1×2×3×1.2.題目4 如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2.E是PB的中點(diǎn)(1)求證：平面EAC平面PBC；(2)若二面角P-AC-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值(1)證明：因?yàn)镻C平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC.因?yàn)锳B2，ADCD1，所以ACBC.所以AC2BC2AB2，所以ACBC.又BCPCC，所以AC平面PBC.因?yàn)锳C平面EAC，所以平面EAC平面PBC.(2)解：如圖，以C為原點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)F，分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，1，0)設(shè)P(0，0，a)，(a0)，則E.所以(1，1，0)，(0，0，a)，.取m(1，1，0)，則m·m·0，所以m(1，1，0)為平面PAC的法向量設(shè)n(x，y，z)為平面EAC的法向量，則n·n·0，所以則取z2，得一個(gè)法向量n(a，a，2)依題意|cosm，n|，則a2.于是n(2，2，2)，(1，1，2)設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，則sin |cos·n|，故直線PA與平面EAC所成角的正弦值為.題目5 設(shè)橢圓E：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)若橢圓E的離心率為，ABF2的周長為4.(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦AB的直線交橢圓E于點(diǎn)C，D，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，證明：O，M，N三點(diǎn)共線(1)解：由題意知，4a4，a.又e，所以c，b，所以橢圓E的方程為1.(2)證明：當(dāng)直線AB，CD的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對稱性知，中點(diǎn)M，N在x軸上，O，M，N三點(diǎn)共線；當(dāng)直線AB，CD的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，且設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)則兩式相減，得0.所以，所以·，·.則k·kOM，所以kOM.同理可得kON.所以kOMkON，從而點(diǎn)O，M，N三點(diǎn)共線題目6 已知函數(shù)f(x)(ax)ex1，xR.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)設(shè)g(x)(xt)2，當(dāng)a1時(shí)，存在x1(，)，x2(0，)，使方程f(x1)g(x2)成立，求實(shí)數(shù)m的最小值解：(1)由f(x)(ax)ex1，得f(x)(a1x)ex.令f(x)0，則(a1x)ex0，所以xa1.當(dāng)x(，a1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(a1，)時(shí)，f(x)0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，a1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a1，)所以當(dāng)xa1時(shí)，函數(shù)f(x)有極大值且為f(a1)ea11，f(x)沒有極小值(2)當(dāng)a1時(shí)，由(1)知，函數(shù)f(x)在xa10處有最大值f(0)e010.又因?yàn)間(x)(xt)20，所以方程f(x1)g(x2)有解，必然存在x2(0，)，使g(x2)0，所以xt，ln x，等價(jià)于方程ln x有解，即mxln x在(0，)上有解記h(x)xln x，x(0，)，所以h(x)ln x1，令h(x)0，得x.當(dāng)x時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，h(x)0，h(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x時(shí)，h(x)min，所以實(shí)數(shù)m的最小值為.題目7 1.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l的極坐標(biāo)方程為sin 2cos ，求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離解：(1)由，消去，得(x3)2(y1)24，將代入得(cos 3)2(sin 1)24，化簡得26cos 2sin 60.(2)由sin 2cos ，得sin 2cos 1，即2xy10.圓心C(3，1)到直線2xy10的距離d，所以C上點(diǎn)到直線的最大距離為dr2.2選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|xm|2xn|，m，n(0，)(1)若m2，n3，求不等式f(x)5的解集；(2)若f(x)1恒成立，求2mn的最小值解：(1)若m2，n3，則f(x)|x2|2x3|.當(dāng)x2時(shí)，x22x35，得x，所以x2.當(dāng)2x時(shí)，x22x35，得x0，所以2x0.當(dāng)x時(shí)，x22x35，得x2，所以x2.綜上，不等式解集為(，0)(2，)(2)|xm|2xn|xm|xm|m.依題意，有m1，即2mn2.故2mn的最小值為2.- 8 -