第82講曲線的參數(shù)方程1(經(jīng)典真題)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q都在曲線C：(t為參數(shù))上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(0<<2)，M為PQ的中點(diǎn)(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) (1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，所以M(cos cos 2，sin sin 2)，M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，0<<2)(2)M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d(0<<2)當(dāng)時(shí)，d0，故M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)2(2017·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(s為參數(shù))設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最小值 直線l的普通方程為x2y80.因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，設(shè)P(2s2,2s)，從而點(diǎn)P到直線l的距離d.當(dāng)s時(shí)，dmin.因此當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,4)時(shí)，曲線C上的點(diǎn)P到直線l的距離取到最小值.3(2018·長(zhǎng)沙模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C1： (t為參數(shù))與曲線C2：(為參數(shù)，a>0)(1)若曲線C1與曲線C2有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，求a的值；(2)當(dāng)a3時(shí)，曲線C1與曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，求A，B兩點(diǎn)的距離 (1)曲線C1： 的直角坐標(biāo)方程為y32x.曲線C1與x軸的交點(diǎn)為(，0). 曲線C2： 的直角坐標(biāo)方程為1. 曲線C2與x軸的交點(diǎn)為(a,0)，(a,0). 由a>0，曲線C1與曲線C2有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，知a. (2)當(dāng)a3時(shí)，曲線C2： 為圓x2y29. 圓心到直線y32x的距離d. 所以A，B兩點(diǎn)的距離|AB|22.4(2016·全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin()2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo) (1)C1的普通方程為y21，C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(cos ，sin )因?yàn)镃2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值，d()|sin()2|，當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時(shí)，d()取得最小值，最小值為，此時(shí)P的直角坐標(biāo)為(，)5(2018·武漢二月調(diào)研)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)(1)求|AB|的值；(2)若F為曲線C的左焦點(diǎn)，求·的值 (1)由消去參數(shù)得：1.由消去參數(shù)t得：y2x4.將y2x4代入x24y216中，得17x264x16×110.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|x1x2|·.所以|AB|的值為.(2)由(1)知F(2，0)，所以·(x12，y1)·(x22，y2)(x12)(x22)(2x14)(2x24)x1x22(x1x2)124x1x22(x1x2)125x1x26(x1x2)605×6×6044.66. (2018·全國(guó)卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過(guò)點(diǎn)(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(diǎn)(1)求的取值范圍；(2)求AB的中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程 (1)O的直角坐標(biāo)方程為x2y21.當(dāng)時(shí)，l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)時(shí)，記tan k，則l的方程為ykx.l與O交于兩點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)|1，解得k1或k1，即(，)或(，)綜上，的取值范圍是(，)(2)l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，)設(shè)A，B，P對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足所以點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程是(為參數(shù)，)4