小題專項訓(xùn)練8立體幾何一、選擇題1若直線a平面，直線b直線a，點(diǎn)Ab且A，則b與的位置關(guān)系是()AbABb CbDb或b 【答案】B【解析】由a，bab或b.又b過內(nèi)一點(diǎn)，故b.2(2019年陜西模擬)已知平面內(nèi)有一個點(diǎn)M(1，1,2)，平面的一個法向量是m(2，1,2)，則下列點(diǎn)P中，在平面內(nèi)的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)【答案】A【解析】記P(x，y，z)，則(x1，y1，z2)，當(dāng)，即·m2(x1)(y1)2(z2)0，即2xy2z7時，點(diǎn)P(x，y，z)在平面內(nèi)，驗證知只有A滿足故選A3設(shè)平面與平面相交于直線m，直線a在平面內(nèi)，直線b在平面內(nèi)，且bm，則“ab”是“ ”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，bm，得b.又直線a在平面內(nèi)，所以ab；但直線a，m不一定相交，所以“ab”是“ ”的必要不充分條件故選B4(2019年江蘇宿遷期末)如圖，一個底面水平放置的倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，容器內(nèi)有一定量的水，水深為h.若在容器內(nèi)放入一個半徑為1的鐵球后，水面所在的平面恰好經(jīng)過鐵球的球心O(水沒有溢出)，則h的值為()ABCD【答案】D【解析】作ODAC，垂足為D，則球的半徑rOD1，此時OA2r2，倒圓錐的底面半徑OC2tan 30°.放入小球之前，水深為h.，則底面半徑為htan 30°h.由題意得2h2×2××13，解得h.故選D5如圖，兩個圓錐和一個圓柱分別有公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一球面上若圓柱的側(cè)面積等于兩個圓錐的側(cè)面積之和，且該球的表面積為16，則圓柱的體積為()A2BC6D8【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為R，則4R216，解得R2.設(shè)圓錐的高O1AO2Bx，底面圓半徑O1CO2Dy，則圓錐的母線長AC，圓柱的高為42x.由圓柱的側(cè)面積等于兩個圓錐的側(cè)面積之和，得2y(42x)2y，則y23x216x16.在RtOO1C中，可得(2x)2y24，解得(舍去)或所以圓柱的體積為Vy2(42x)6.故選C6(2018年廣東珠海一模)如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，ADBC，AA13，ABBCCD，BCD120°，則直線A1B與B1C所成的角的余弦值為()ABC D【答案】A【解析】以A為原點(diǎn)，在平面ABCD中，過點(diǎn)A的AD的垂線為x軸，AD為y軸，AA1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(0,0,3)，B，B1，C，(0，3)設(shè)直線A1B與B1C所成的角為，則cos .故選A7已知ABCD為空間四邊形，ABCD，ADBC，ABAD，M，N分別是對角線AC與BD的中點(diǎn)，則MN與()AAC，BD之一垂直BAC，BD都垂直CAC，BD都不垂直DAC，BD不一定垂直【答案】B【解析】ADBC，ABCD，BDBD，ABDCDB.連接AN，CN，MN，則ANCN.在等腰ANC中，M為AC的中點(diǎn)，MNAC.同理可得MNBD.故選B8(2018年福建福州模擬)已知直線a，b異面，給出以下命題：一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在無數(shù)個平行于a的平面與b交于一定點(diǎn)則其中真命題的個數(shù)是()A1B2C3 D4【答案】C【解析】對于，若存在平面，使得b，則有ba，而直線a，b未必垂直，不正確；對于，注意到過直線a，b外一點(diǎn)M分別引直線a，b的平行線a1，b1，顯然由直線a1，b1可確定平面，此時平面與直線a，b均平行，正確；對于，注意到過直線b上的一點(diǎn)B作直線a2與直線a平行，顯然由直線b與a2可確定平面，此時平面與直線a平行，且b，正確；對于，在直線b上取一定點(diǎn)N，過點(diǎn)N作直線c與直線a平行，經(jīng)過直線c的平面(除由直線a與c所確定的平面及直線c與b所確定的平面之外)均與直線a平行，且與直線b相交于一定點(diǎn)N，正確綜上，正確故選C9已知三棱錐SABC中，底面ABC為邊長等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為()ABCD【答案】A【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，0)設(shè)平面SBC的法向量為n(x，y，z)，則可取n(3，2)又(2,0,0)，所以當(dāng)為AB與平面SBC所成的角時，sin |cos，n|.10(2019年江西模擬)如圖所示，在棱長為6的正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)作該正方體的截面，則截面的周長為() A183B63C69D1034【答案】B【解析】在平面A1B1C1D1中，雙向延長EF，分別與A1D1，A1B1的延長線交于點(diǎn)P，Q，連接AP交DD1于點(diǎn)M，連接AQ交BB1于點(diǎn)N，則過A，E，F(xiàn)三點(diǎn)該正方體的截面為五邊形AMEFN.易得D1PB1QAD2，則DMBN4，D1MB1N2，所以AMAN2，MENF，EF3.所以截面的周長為63.故選B11已知球O1和球O2的半徑分別為1和2，且球心距為.若兩球體的表面相交得到一個圓，則該圓的面積為()A2BCD【答案】C【解析】作出兩球面相交的一個截面圖如圖所示，AB為相交圓的直徑由條件知O1A1，O2A2，O1O2，AO1O2為直角三角形由三角形面積公式，得AC，所求圓的面積為·2.12(2018年河北唐山模擬)設(shè)點(diǎn)A，B，C為球O的球面上三點(diǎn)，O為球心，球O的表面積為100，且ABC是邊長為4的正三角形，則三棱錐OABC的體積為()A12B24C24D12【答案】D【解析】球O的表面積為1004r2，球O的半徑為5.如圖，取ABC的中心H，連接OH，連接AH并延長交BC于點(diǎn)M，則AM6，AHAM4，OH3，三棱錐OABC的體積為V××(4)2×312.二、填空題13設(shè)一正方體外接球的體積為V1，內(nèi)切球的體積為V2，則_.【答案】3【解析】設(shè)正方體的邊長為1，則外接球半徑r1，內(nèi)切球半徑r2，所以3.14已知平面，和直線m，給出條件：m；m；m；.當(dāng)滿足條件_時，有m.(填所選條件的序號)【答案】【解析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理得，當(dāng)m，時，m，故滿足條件時，有m.15(2018年遼寧沈陽三模)如圖，將一塊邊長為10 cm的正方形鐵片裁下四個全等的等腰三角形(陰影部分)把余下的部分沿虛線折疊后圍成一個正四棱錐，若被裁下陰影部分的總面積為20 cm2，則正四棱錐的體積為_cm3.【答案】【解析】如圖，設(shè)所截等腰三角形的底邊邊長為x cm，由4××5×x20，解得x2.所得四棱錐的底面邊長為4，四棱錐的斜高EF3，四棱錐的高為OE，所以該容器的體積V×(4)2×.16(2018年甘肅天水一模)四棱錐PABCD的三視圖如圖，且四棱錐PABCD的五個頂點(diǎn)都在同一個球面上，E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，直線EF被球面所截得的線段長為2，則該球的表面積為_【答案】12【解析】將三視圖還原為直觀圖如圖中四棱錐PABCD，可得四棱錐PABCD的五個頂點(diǎn)位于同一個正方體的頂點(diǎn)處，且與該正方體內(nèi)接于同一個球設(shè)外接球的球心為O，則O也是正方體的中心，設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連接OG，OA，AG.直線EF被球面所截得的線段長為2，即正方體面對角線長也是2，AGa，得a2.在RtOGA中，OGa1，AG，則AO，即外接球半徑R，所求外接球的表面積為4R212.- 7 -