課時跟蹤練(四十二)A組基礎(chǔ)鞏固1.如圖所示，某空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖相同，則此幾何體的表面積為()A6 B.C4 D2解析：此幾何體為一個組合體，上為一個圓錐，下為一個半球組合而成表面積為S×2×24.答案：C2(2019·漳州模擬)如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，畫出的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是()A9 B. C18 D27解析：根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，將三棱錐A-BCD還原到長方體中，長方體的長、寬、高分別為6、3、3，所以該幾何體的體積V××6×3×39，故選A.答案：A3某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()A2 B. C. D3解析：由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底(12)×23.所以Vx·33，解得x3.答案：D4一塊硬質(zhì)材料的三視圖如圖所示，正視圖和俯視圖都是邊長為10 cm的正方形，將該材料切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑最接近()A3 cm B4 cm C5 cm D6 cm解析：由題意，知該硬質(zhì)材料為三棱柱(底面為等腰直角三角形)，所以最大球的半徑等于側(cè)視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑，設(shè)為r cm，則10r10r10，所以r1053.答案：A5(2019·佛山一模)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A. B15 C. D18解析：由題意可知該幾何體的直觀圖是如圖所示的多面體ABC-ABCD，將幾何體補成四棱柱ABCD-ABCD，其底面是直角梯形(上底長為1，高為3，下底長為3)，故該幾何體的體積為V棱柱ABCD-ABCDV棱錐D-ACD3××3××3×1×318.故選C.答案：C6(2017·全國卷)長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為_解析：因為長方體的頂點都在球O的球面上，所以長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑設(shè)球的半徑為R，則2R.所以球O的表面積為S4R24×14.答案：147(2018·天津卷)如圖，已知正方體ABCD­A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1­BB1D1D的體積為_解析：因為正方體棱長為1，所以矩形BB1D1D的長和寬分別為1，.因為四棱錐A1­BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1對角線長的一半，即為，所以V四棱錐A1­BB1D1DSh×(1×)×.答案：8已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為_解析：設(shè)正方體的棱長為a，則6a218，所以a.設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R3，所以R.故球的體積VR3×.答案：9.現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍若AB6 m，PO12 m，則倉庫的容積解：由PO12 m，知O1O4PO18 m.因為A1B1AB6 m，所以正四棱錐P­A1B1C1D1的體積V錐·A1B·PO1×62×224 m3；正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積V柱AB2·O1O62×8288 m3.所以倉庫的容積VV錐V柱24288312 m3.故倉庫的容積是312 m3.10.如圖，長方體ABCD­A1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，點E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.過點E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值解：(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示(2)如圖，作EMAB，垂足為M，則AMA1E4，EB112，EMAA18.因為四邊形EHGF為正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四邊形A1EHA×(410)×856，S四邊形EB1BH×(126)×872.因為長方體被平面分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為.B組素養(yǎng)提升11(2019·云南民族大學(xué)附中月考)九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著書中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，若某“陽馬”的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該陽馬的外接球的體積為()A100 cm3 B. cm3C400 cm3 D. cm3解析：由三視圖可知該“陽馬”的底面是鄰邊長為6 cm，2 cm的長方形，垂直于該底面的側(cè)棱長為6 cm，則該“陽馬”的外接球的半徑R5 cm，其外接球的體積V×53 cm3.故選B.答案：B12(2019·東莞模擬)已知三棱錐D-ABC的外接球的球心O恰好是線段AB的中點，且ACBCBDADCD2，則三棱錐D-ABC的體積為()A. B.C. D.解析：因為三棱錐D-ABC的外接球的球心O恰好是線段AB的中點，且ACBCBDADCD2，所以O(shè)DOAOCOBCD，易知ODAB，OCAB，因為ODOCO，所以AB平面COD，過D作DEOC，交OC于E，因為DE平面COD，所以ABDE，又OCABO，所以DE平面ABC.因為SABCAB·OC×2×2，DE，所以三棱錐D-ABC的體積VSABC·DE×2×.故選A.答案：A13球O為正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球，AB2，E，F(xiàn)分別為棱AD，CC1的中點，則直線EF被球O截得的線段長為_解析：設(shè)EF與球面交于M，N兩點，過球心與E，F(xiàn)的截面如圖所示因為AB2，E，F(xiàn)分別為棱AD，CC1的中點，所以EF，OF，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得OF，所以O(shè)O.由球O為正方體ABCD-A1B1C1D1的內(nèi)切球，可得ON1，由勾股定理得ON，故MN.所以直線EF被球O截得的線段長為.答案：14.(2019·河南六市模擬)已知空間幾何體ABCDE中，BCD與CDE均是邊長為2的等邊三角形，ABC是腰長為3的等腰三角形，平面CDE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)試在平面BCD內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點F與E的連線EF均與平面ABC平行，并給出證明；(2)求三棱錐E-ABC的體積解：(1)如圖所示，取DC的中點N，取BD的中點M，連接MN，則MN即為所求證明：連接EM，EN，取BC的中點H，連接AH，因為ABC是腰長為3的等腰三角形，H為BC的中點，所以AHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，AH平面ABC，所以AH平面BCD，同理可證EN平面BCD.所以ENAH.因為EN平面ABC，AH平面ABC，所以EN平面ABC.又M、N分別為BD，DC的中點，所以MNBC，因為MN平面ABC，BC平面ABC，所以MN平面ABC.又MNENN，MN平面EMN，EN平面EMN，所以平面EMN平面ABC，又EF平面EMN，所以EF平面ABC，即直線MN上任意一點F與E的連線EF均與平面ABC平行(2)連接DH，取CH的中點G，連接NG，則NGDH，由(1)可知EN平面ABC，所以點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等，又BCD是邊長為2的等邊三角形，所以DHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，DH平面BCD，所以DH平面ABC，所以NG平面ABC，因為DH，N為CD的中點，所以NG，又SABC·BC·AH×2×2，所以VEABC·SABC·NG.9