第1課時坐標(biāo)系與參數(shù)方程考情分析坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考選考內(nèi)容之一，要求考查：一是直線與圓的極坐標(biāo)方程，以及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；二是直線、圓與圓錐曲線的參數(shù)方程，以及參數(shù)方程與普通方程的互化熱點題型分析熱點1極坐標(biāo)方程1圓的極坐標(biāo)方程若圓心為M(0，0)，半徑為r，則圓的極坐標(biāo)方程為220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標(biāo)方程：(1)當(dāng)圓心位于極點，半徑為r時，r；(2)當(dāng)圓心為M(a,0)，半徑為a時，2acos；(3)當(dāng)圓心為M，半徑為a時，2asin.2直線的極坐標(biāo)方程若直線過點M(0，0)，且極軸與此直線所成的角為，則此直線的極坐標(biāo)方程為sin()0sin(0)幾個特殊位置的直線的極坐標(biāo)方程：(1)直線過極點：0和0；(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cosa；(3)直線過點M，且平行于極軸：sinb.(2019·全國卷)在極坐標(biāo)系中，O為極點，點M(0，0)(0>0)在曲線C：4sin上，直線l過點A(4,0)且與OM垂直，垂足為P.(1)當(dāng)0時，求0及l(fā)的極坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)M在曲線C上運動且P在線段OM上時，求P點軌跡的極坐標(biāo)方程解(1)因為M(0，0)在曲線C上，當(dāng)0時，04sin2.由已知，得|OP|OA|cos2.設(shè)Q(，)為l上除P外的任意一點在RtOPQ中，cos|OP|2.經(jīng)檢驗，點P在曲線cos2上，所以l的極坐標(biāo)方程為cos2.(2)設(shè)P(，)，在RtOAP中，|OP|OA|cos4cos，即4cos.因為P在線段OM上，且APOM，所以的取值范圍是.所以，P點軌跡的極坐標(biāo)方程為4cos，.1直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只要運用公式xcos和ysin直接帶入并化簡即可2極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)時常通過變形，構(gòu)造形如cos，sin，2的形式，進(jìn)行整體代換其中方程的兩邊同乘以(或同除以)及方程兩邊平方是常用的變形方法但對方程進(jìn)行變形時，方程必須同解，因此應(yīng)注意變形過程的檢驗(2018·江蘇高考)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為sin2，曲線C的方程為4cos，求直線l被曲線C截得的弦長解因為曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos，所以曲線C是以直角坐標(biāo)(2,0)為圓心，直徑為4的圓因為直線l的極坐標(biāo)方程為sin2，則直線l過A(4,0)(直角坐標(biāo))，傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個交點設(shè)另一個交點為B，則OAB.連接OB，因為OA為直徑，從而OBA，所以AB4cos2.因此，直線l被曲線C截得的弦長為2.熱點2參數(shù)方程1直線的參數(shù)方程經(jīng)過點P0(x0，y0)，且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))t的幾何意義是直線上的點P到點P0(x0，y0)的數(shù)量，即|t|PP0|(t可正、可負(fù)、可零)若M1，M2是l上的兩點，其對應(yīng)參數(shù)分別為t1，t2，則|M1M2|t1t2|；線段M1M2的中點M所對應(yīng)的參數(shù)為.2圓的參數(shù)方程圓(xa)2(yb)2r2的參數(shù)方程為(為參數(shù))3橢圓的參數(shù)方程橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))；橢圓1(a>b>0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2018·全國卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O的參數(shù)方程為(為參數(shù))，過點(0，)且傾斜角為的直線l與O交于A，B兩點(1)求的取值范圍；(2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程解(1)O的直角坐標(biāo)方程為x2y21.當(dāng)時，l與O交于兩點當(dāng)時，記tank，則l的方程為ykx.l與O交于兩點當(dāng)且僅當(dāng)<1，解得k<1或k>1，即或.綜上，的取值范圍是.(2)l的參數(shù)方程為.設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為tA，tB，tP，則tP，且tA，tB滿足t22tsin10.于是tAtB2sin，tPsin.又點P的坐標(biāo)(x，y)滿足所以點P的軌跡的參數(shù)方程是.將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有：(1)代入消參法：將參數(shù)解出來代入另一個方程消去參數(shù)，直線的參數(shù)方程通常用代入消參法；(2)三角恒等消參法：利用sin2cos21消去參數(shù)，圓和橢圓的參數(shù)方程都是運用三角恒等消參法；(3)常見的消參關(guān)系式：t·1；224；221.(2019·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2cossin110.(1)求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C上的點到直線l距離的最小值解(1)因為1<1，且x2221，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x21(x1)，直線l的直角坐標(biāo)方程為2xy110.(2)由(1)可設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)，<<)曲線C上的點到直線l的距離為.當(dāng)時，4cos11取得最小值7，故曲線C上的點到直線l距離的最小值為.熱點3極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用解決極坐標(biāo)與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用問題的一般思路：(1)在已知極坐標(biāo)方程求曲線交點、距離、線段長、切線等幾何問題時，如果不能直接用極坐標(biāo)解決，或用極坐標(biāo)解決較麻煩時，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程解決轉(zhuǎn)化時要注意兩坐標(biāo)系的關(guān)系，注意，的取值范圍，取值范圍不同對應(yīng)的曲線不同；(2)解答參數(shù)方程的有關(guān)問題時，首先要弄清參數(shù)是誰，代表的幾何意義是什么；其次要認(rèn)真觀察方程的表現(xiàn)形式，以便于尋找最佳化簡途徑(2016·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo)解(1)C1的普通方程為y21，C2的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(cos，sin)因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值，d().當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時，d()取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標(biāo)為.解決極坐標(biāo)、參數(shù)方程的綜合問題時應(yīng)注意下面三點：(1)在對于參數(shù)方程或極坐標(biāo)方程的應(yīng)用不夠熟練的情況下，可以先化成普通方程或直角坐標(biāo)方程，這樣思路可能更加清晰；(2)對于一些運算比較復(fù)雜的問題，用參數(shù)方程計算會比較簡捷如利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解決與距離有關(guān)的問題；利用圓或橢圓參數(shù)方程中的參數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)處理有關(guān)最值的問題；(3)利用極坐標(biāo)方程解決問題時，要注意題目所給的限制條件和隱含條件以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0<)，曲線C的極坐標(biāo)方程為cos28sin.(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，當(dāng)變化時，求|AB|的最小值解(1)由消去t，得xsinycos2cos0，所以直線l的普通方程為xsinycos2cos0.由cos28sin，得(cos)28sin，把xcos，ysin代入上式，得x28y，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x28y.(2)將直線l的參數(shù)方程代入x28y，得t2cos28tsin160，設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2，t1t2，所以|AB|t1t2| .當(dāng)0時，|AB|的最小值為8.專題作業(yè)1(2019·南昌模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若直線l1，l2的極坐標(biāo)方程分別為(R)，(R)，設(shè)直線l1，l2與曲線C的交點為O，M，N，求OMN的面積解(1)由曲線C的參數(shù)方程(為參數(shù))，得C的普通方程為x2(y2)24，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos22sin24sin0，即4sin.(2)不妨設(shè)直線l1：(R)與曲線C的交點為O，M，則M|OM|4sin2.又直線l2：(R)與曲線C的交點為O，N，則N|ON|4sin2.又MON，所以SOMN|OM|ON|×2×22.2(2018·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2)，求l的斜率解(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1.當(dāng)cos0時，l的直角坐標(biāo)方程為ytan·x2tan，當(dāng)cos0時，l的直角坐標(biāo)方程為x1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(13cos2)t24(2cossin)t80.因為曲線C截直線l所得線段的中點(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個解，設(shè)為t1，t2，所以x1x2(1t1cos)(1t2cos)2，所以(t1t2)cos0，又cos0，所以t1t20.又由得t1t2，故2cossin0，所以tan2，于是直線l的斜率ktan2.3(2017·全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))設(shè)l1與l2的交點為P，當(dāng)k變化時，P的軌跡為曲線C.(1)寫出C的普通方程；(2)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)l3：(cossin)0，M為l3與C的交點，求M的極徑解(1)消去參數(shù)t，得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去參數(shù)m，得l2的普通方程l2：y(x2)設(shè)P(x，y)，由題設(shè)，得消去k，得x2y24(y0)，所以C的普通方程為x2y24(y0)(2)C的極坐標(biāo)方程為2(cos2sin2)4(02，)，聯(lián)立得cossin2(cossin)故tan，從而cos2，sin2.代入2(cos2sin2)4，得25，所以交點M的極徑為.4(2019·鄭州第二次質(zhì)量檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點A的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為cosa，且l過點A，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)求曲線C1上的點到直線l的距離的最大值；(2)過點B(1,1)且與直線l平行的直線l1與曲線C1交于M，N兩點，求|BM|·|BN|的值解(1)由直線l過點A可得cosa，故a，則易得直線l的直角坐標(biāo)方程為xy20.根據(jù)點到直線的距離公式可得曲線C1上的點到直線l的距離d，其中sin，cos，所以dmax.即曲線C1上的點到直線l的距離的最大值為.(2)由(1)知直線l的傾斜角為，則直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))易知曲線C1的普通方程為1.把直線l1的參數(shù)方程代入曲線C1的普通方程可得t27t50，設(shè)M，N兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，所以t1t2，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義可知|BM|·|BN|t1t2|.- 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