第15講概率與統(tǒng)計考情分析統(tǒng)計的主要內(nèi)容包括隨機抽樣、用樣本估計總體、變量的相關(guān)關(guān)系；概率部分以考查古典(幾何)概型、互斥事件、對立事件等為主，主要以選擇或填空的方式呈現(xiàn)，多為低、中檔題目熱點題型分析熱點1抽樣方法與用樣本估計總體1.抽樣方法2樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)；(2)中位數(shù)：樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的一個或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，是樣本數(shù)據(jù)的“中心點”；(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即(x1x2xn)，是樣本數(shù)據(jù)的平均水平；(4)方差與標準差：是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，表示樣本數(shù)據(jù)的離散程度，標準差(方差)越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差(方差)越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小方差：s2(x1)2(x2)2(xn)2；標準差：s.3直方圖的兩個結(jié)論(1)小長方形的面積組距×頻率；(2)各小長方形的面積之和等于1.4直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的關(guān)系(1)眾數(shù)：是直方圖中最高矩形的底邊中點橫坐標；(2)中位數(shù)：是直方圖中平分所有矩形面積和，且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；(3)平均數(shù)：是每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和1(2019·東三省三校一模)如圖是某居民小區(qū)年齡在20歲到45歲的居民上網(wǎng)情況的頻率分布直方圖，現(xiàn)已知年齡在30,35)，35,40)，40,45的上網(wǎng)人數(shù)呈現(xiàn)遞減的等差數(shù)列，且年齡在30,35)的頻率為0.3，則由此頻率分布直方圖估計該小區(qū)在20歲到45歲的居民上網(wǎng)年齡的()A平均數(shù)為32.5 B眾數(shù)為32.25C中位數(shù)為 D在40,45的頻率為0.15答案C解析由題意可知20,25)，25,30)，30,35)的頻率分別為0.05,0.35,0.3.設(shè)35,40)，40,45的頻率分別為a，b.因為已知年齡在30,35)，35,40)，40,45的上網(wǎng)人數(shù)呈現(xiàn)遞減的等差數(shù)列，所以他們的頻率也成遞減的等差數(shù)列，則有ab0.3且2ab0.3，解得a0.2，b0.1，故選項D不正確；居民上網(wǎng)年齡的平均數(shù)為22.5×0.0527.5×0.3532.5×0.337.5×0.242.5×0.132.25，所以A不正確；根據(jù)眾數(shù)和直方圖的關(guān)系，可得上網(wǎng)年齡的眾數(shù)為27.5，故B不正確；由前面計算可知中位數(shù)在30,35)組中，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得x，故選C2一個總體中的100個個體的號碼分別為0,1,2，99，并依次將其分為10個小組，組號為0,1,2，9.要用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定如果在第0組隨機抽取的號碼為m，那么依次錯位地得到后面各組的號碼，即第k組(k1,2，9)中抽取的號碼個位數(shù)字為mk或mk10(如果mk10)，當m5時，第8組抽取的號碼為_答案83解析因為m5，k8，則mk13，則第8組中抽取號碼的個位數(shù)字為mk103，所以第8組抽取的號碼為83.3(2019·江蘇高考)已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10，則該組數(shù)據(jù)的方差是_答案解析這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，故方差為s2×(68)2(78)2(88)2(88)2(98)2(108)2.1對于以統(tǒng)計圖為載體的概率與統(tǒng)計問題，認真觀察圖表，從中提取有用信息和數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵特別是利用頻率直方圖解題時，常把直方圖的高誤認為是頻率而導致錯誤因此，應注意每個小矩形的面積為頻率，所有面積和為1.對于第1題這類，利用直方圖考查眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的問題，關(guān)鍵在于相應的計算公式是否掌握，特別是中位數(shù)問題，找準中位數(shù)所在的區(qū)間是解題關(guān)鍵；2對于抽樣方法的問題，要明確總體的基本特征符合哪種抽樣特點對于系統(tǒng)抽樣通常是等距抽樣，但也有例外情況，如第2題給出的規(guī)則即為每組號碼錯后一位，如果還按照等距原則計算，就會出現(xiàn)錯解85.因此解決系統(tǒng)抽樣的問題時，要認真審題，分析題目給出的抽取規(guī)則，按照規(guī)則進行抽樣；3對于樣本的數(shù)字特征的一系列問題(如第3題)，解題關(guān)鍵在于計算公式的準確使用和計算準確，應掌握簡便運算的方法，減小計算量，提高準確率熱點2統(tǒng)計案例1線性回歸方程方程x稱為線性回歸方程，利用最小二乘法估計公式斜率和截距分別為， ，其中(，)是樣本點的中心，且回歸直線恒過該點2相關(guān)系數(shù)r，當r>0時，表明變量x與y正相關(guān)，r<0時，表明變量x與y負相關(guān)若|r|0.75,1時，相關(guān)性很強；|r|0.3,0.75)時，相關(guān)性一般；|r|0,0.25時，相關(guān)性較弱3殘差分析R21，當R2越大時，殘差平方和(yii)2越小，擬合效果越好；當R2越小時，殘差平方和越大，擬合效果越差4獨立性檢驗隨機變量K2(K2也可以表示為2)，當K2>3.841時，則有95%的把握說兩個事件有關(guān)；當K2>6.635時，則有99%的把握說兩個事件有關(guān)1(2019·衡水中學調(diào)研)已知變量x，y之間的線性回歸方程為0.7x10.3，且變量x，y之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯誤的是()x681012y6m32A變量x，y之間呈負相關(guān)關(guān)系B可以預測，當x20時，3.7Cm4D該回歸直線必過點(9,4)答案C解析由題意得，由0.7<0，得變量x，y之間呈負相關(guān)，故A正確；當x20時，則0.7×2010.33.7，故B正確；由數(shù)據(jù)表格可知×(681012)9，×(6m32)，則0.7×910.3，解得m5，故C錯誤；由數(shù)據(jù)表易知，樣本點中心為(9,4)，故D正確故選C2為了判斷高中三年級學生選修文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如圖所示2×2列聯(lián)表：理科文科總計男131023女72027總計203050已知P(K23.841)0.05，P(K25.024)0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k4.844，則有_的把握認為選修文科與性別有關(guān)答案95%解析由題意，K24.844，因為4.844>3.841，所以有95%的把握認為選修文科與性別有關(guān)1線性回歸分析是對有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的線性回歸方程才有實際意義；同時，根據(jù)回歸方程預測僅是一個預測值，而不是真實發(fā)生的值2獨立檢驗得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表在分析問題時一定要注意不可對某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計計算的結(jié)果做出錯誤的解釋熱點3古典概型、幾何概型1古典概型P(A).2幾何概型P(A).1(2019·全國卷)兩位男同學和兩位女同學隨機排成一列，則兩位女同學相鄰的概率是()A B C D答案D解析設(shè)兩位男同學分別為A，B，兩位女同學分別為a，b，則用“樹形圖”表示四位同學排成一列所有可能的結(jié)果如圖所示由圖知，共有24種等可能的結(jié)果，其中兩位女同學相鄰的結(jié)果(畫“”的情況)共有12種，故所求概率為.故選D2(2019·西安調(diào)研)若函數(shù)f(x)在區(qū)間0，e上隨機取一個實數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是()A B1 C D答案B解析當0x<1時，恒有f(x)ex<e，不滿足題意當1xe時，f(x)ln xe.由ln xee，得1xe.所求事件的概率P1.1運用古典概型和幾何概型計算公式的前提，是當所述試驗的所有基本事件是等可能的2幾何概型的考查重點是幾何測度的選擇，通常為長度、面積、體積、弧長、夾角等真題自檢感悟1(2018·全國卷)右圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，ACABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為.在整個圖形中隨機取一點，此點取自，的概率分別記為p1，p2，p3，則()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3答案A解析不妨取ABAC2，則BC2，所以區(qū)域的面積為SABC2；區(qū)域的面積為2；區(qū)域的面積為(2)2，所以根據(jù)幾何概型的概率公式，易得p1p2，故選A2(2018·全國卷)我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如30723.在不超過30的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的概率是()A B C D答案C解析不超過30的素數(shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10個，隨機選取兩個不同的數(shù)，共有45種方法，因為7231119131730，所以隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C3(2019·全國卷)生物實驗室有5只兔子，其中只有3只測量過某項指標若從這5只兔子中隨機取出3只，則恰有2只測量過該指標的概率為()A B C D答案B解析設(shè)5只兔子中測量過某項指標的3只為a1，a2，a3，未測量過這項指標的2只為b1，b2，則從5只兔子中隨機取出3只的所有可能情況為(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10種可能其中恰有2只測量過該指標的情況為(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6種可能故恰有2只測量過該指標的概率為.故選B4(2019·江蘇高考)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是_答案解析解法一：設(shè)3名男同學分別為A，B，C,2名女同學分別為a，b，則所有等可能事件分別為AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10個，選出的2名同學中至少有1名女同學包含的基本事件分別為Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7個，故所求概率為.解法二：同解法一，得所有等可能事件共10個，選出的2名同學中沒有女同學包含的基本事件分別為AB，AC，BC，共3個，故所求概率為1.專題作業(yè)一、選擇題1(2019·銀川二模)某對夫婦計劃生育3個孩子，則這個家庭中有2個女孩和1個男孩的概率是()A B C D答案B解析分別用1,2來表示男孩與女孩，用(1,1,1)表示三個小孩均為男孩，則所有的基本事件有(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8個，而有2個女孩和1個男孩的基本事件有(1,2,2)，(2,1,2)，(2,2,1)，共3個，所以所求的概率為P.故選B2(2019·宣城模擬)一支田徑隊共有運動員98人，其中女運動員42人，用分層抽樣的方法抽取一個樣本，每名運動員被抽到的概率都是，則男運動員應抽取()A18人 B16人 C14人 D12人答案B解析田徑隊共有運動員98人，其中女運動員有42人，男運動員有56人，每名運動員被抽到的概率都是，男運動員應抽取56×16(人)，故選B3右面莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名同學在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16.8，則x和y的值分別為()A2,5 B5,5 C5,8 D8,8答案C解析由莖葉圖及甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為15，得x5，又乙組的平均數(shù)為16.8，所以16.8，解得y8，故選C4(2019·新鄉(xiāng)模擬)從區(qū)間0，內(nèi)任取一個實數(shù)x，則sinxcosx>1的概率為()A B C D答案B解析由sinxcosx>1，得sin>，因為x0，所以sinxcosx>1的解集為，由幾何概型可知所求概率P，故選B52021年某省新高考將實行“312”模式，即語文、數(shù)學、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學、生物四選二，共有12種選課模式某同學已選了物理，記事件A：“他選擇政治和地理”，事件B：“他選擇化學和地理”，則事件A與事件B()A是互斥事件，不是對立事件B是對立事件，不是互斥事件C既是互斥事件，也是對立事件D既不是互斥事件也不是對立事件答案A解析事件A與事件B不能同時發(fā)生，是互斥事件，該同學還可以有其他選擇，例如他還可以選擇化學和政治，所以事件A與事件B不是對立事件故選A6如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率是()A B C D答案C解析設(shè)被污損的數(shù)字為x，則甲×(8889909192)90，乙×(8383879990x)，若甲乙，則x8.若甲>乙，則x可以為0,1,2,3,4,5,6,7，故P.7(2019·蘭州實戰(zhàn)考試)采用系統(tǒng)抽樣的方法從1000人中抽取50人做問卷調(diào)查，將他們隨機編號1,2，1000.適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8.若抽到的50人中，編號落入?yún)^(qū)間1,400的人做問卷A，編號落入?yún)^(qū)間401,750的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中做問卷C的人數(shù)為()A12 B13 C14 D15答案A解析根據(jù)系統(tǒng)抽樣的特點可知，所有做問卷調(diào)查的人的編號構(gòu)成首項為8，公差d20的等差數(shù)列an，所以an820(n1)20n12，令75120n121000，解得n，又nN*，所以39n50，則做問卷C的共有12人，故選A8(2019·蘭州一模)已知某種商品的廣告費支出x(單位：萬元)與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應數(shù)據(jù)：x24568y304050m70根據(jù)表中提供的全部數(shù)據(jù)，用最小二乘法得出y與x的線性回歸方程為6.5x17.5，則表中m的值為()A45 B50 C55 D60答案D解析由回歸直線恒過(，)，可得5，38，即386.5×517.5，解得m60，故選D9法國學者貝特朗發(fā)現(xiàn)，在研究事件A“在半徑為1的圓內(nèi)隨機地取一條弦，其長度超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”的概念的過程中，基于對“隨機地取一條弦”的含義的不同理解，事件A的概率P(A)存在不同的答案，該問題被稱為“貝特朗悖論”現(xiàn)給出一種解釋：若固定弦的一個端點，另一個端點在圓周上隨機選取，則P(A)()A B C D答案B解析設(shè)固定弦的一個端點為A，則另一個端點在圓周上且在BC劣弧上隨機選取，即可滿足題意，則P(A)，故選B10(2017·全國卷)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A B C D答案D解析從5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，所以所求概率P.故選D11已知正三棱錐SABC的底面邊長為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得VPABC<VSABC的概率是()A B C D答案A解析由題意知，當點P在三棱錐的中截面ABC以下時，滿足VPABC<VSABC，又V錐SABC×V錐SABCV錐SABC事件“VPABC<VSABC”的概率P.二、填空題12某同學同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，則雙曲線1的離心率e>的概率是_答案解析由題意得e >，即b>2a.同時拋擲兩顆骰子，得到的點數(shù)a，b滿足b>2a的情況有：當a1時，b3,4,5,6，共4種情況；當a2時，b5,6，共2種情況，所以滿足題意的情況共有6種，又同時擲兩顆骰子有36種情況，所求概率為.13從2,3,4,5,8,9這6個數(shù)中一次取出兩個數(shù)分別作為對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則得到的對數(shù)是整數(shù)的概率為_答案解析設(shè)取得的第一個數(shù)為對數(shù)的底數(shù)，第二個數(shù)為對數(shù)的真數(shù)，則從2,3,4,5,8,9這六個數(shù)中一次取出兩個數(shù)的基本事件有(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,8)，(4,9)，(5,8)，(5,9)，(8,9)，共15個，其中得到的對數(shù)是整數(shù)的有(2,4)，(2,8)，(3,9)，共3個，故所求事件概率為.14按文獻記載，百家姓成文于北宋初年，表1記錄了百家姓開頭的24大姓氏表1趙錢孫李周吳鄭王馮陳褚衛(wèi)蔣沈韓楊朱秦尤許何呂施張表2記錄了2018年中國人口最多的前10大姓氏表21李2王3張4劉5陳6楊7趙8黃9周10吳從百家姓開頭的24大姓氏中隨機選取1個姓氏，則這個姓氏是2018年中國人口最多的前10大姓氏的概率為_答案解析2018年中國人口最多的前10大姓氏也是百家姓的前24大姓氏的是趙、李、周、吳、王、陳、楊、張，共8個，故所求概率為.15在平面區(qū)域內(nèi)隨機取一點(a，b)，則函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上是增函數(shù)的概率為_答案解析不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA，OB)，則SAOB×4×48.函數(shù)f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則應滿足a>0，且x1，即滿足可得對應的平面區(qū)域如圖中陰影部分(包括邊界OC，BC，不包括邊界OB)，由解得a，b，即點C坐標為，所以SCOB×4×.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可知所求的概率為.- 14 -