第48講直接證明與間接證明1否定“自然數(shù)a，b，c中恰有一個偶數(shù)”時正確的反設(shè)為(D)Aa，b，c都是奇數(shù)Ba，b，c都是偶數(shù)Ca，b，c中至少有兩個偶數(shù)Da，b，c中都是奇數(shù)或至少有兩個偶數(shù) 恰有一個偶數(shù)的否定有兩種情況，其一是無偶數(shù)(全為奇數(shù))，其二是至少有兩個偶數(shù)，選D.2(2016·寧夏銀川模擬)若a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：(ab)2(bc)2(ca)20；a>b與a<b及ab中至少有一個成立；ac，bc，ab不能同時成立其中判斷正確的個數(shù)是(C)A0 B1C2 D3 正確，中，ac，bc，ab可能同時成立，如a1，b2，c3.3設(shè)x，y，zR，ax，by，cz，則a，b，c三數(shù)(C)A至少有一個不大于2 B都小于2 C至少有一個不小于2 D都大于2 因為abcxyzxyz6，若a，b，c都小于2，則abc<6與上式矛盾，故a，b，c中至少有一個不小于2，選C.4已知函數(shù)yf(x)的定義域為D，若對于任意的x1，x2D(x1x2)，都有f()<，則稱yf(x)為D上的凹函數(shù)由此可得下列函數(shù)中的凹函數(shù)為(C)Aylog2x ByCyx2 Dyx3 可以根據(jù)圖象直觀觀察；對于C證明如下：欲證f()<，即證()2<.即證(x1x2)2<2x2x.即證(x1x2)2>0.顯然成立故原不等式得證5命題“ABC中，若A>B，則a>b”的結(jié)論的否定應(yīng)該是ab.6設(shè)a，b，u都是正實數(shù)，且a，b滿足1，則使得abu恒成立的u的取值范圍是(0,16. 因為1，所以ab(ab)()1×9910216.當(dāng)且僅當(dāng)，即a4，b12時取等號若abu恒成立，所以0<u16.7已知非零向量ab.求證：. 因為ab，所以a·b0.要證，只需證|a|b|ab|.平方得|a|2|b|22|a|b|2(|a|2|b|22a·b)，只需證|a|2|b|22|a|b|0，即(|a|b|)20，顯然成立故原不等式得證8(2018·合肥市二檢)已知函數(shù)f(x)，實數(shù)a，b滿足不等式f(2ab)f(43b)>0，則下列不等關(guān)系恒成立的是(C)Aba<2 Ba2b>2Cba>2 Da2b<2 由題意知f(x)f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，又f(x)1，所以f(x)是R上的減函數(shù)，由f(2ab)f(43b)>0，可得f(2ab)>f(43b)f(3b4)，故2ab<3b4，即ba>2，故選C. 9.(2016·南昌市高三一模)已知函數(shù)f(x)的定義域為D，若a，bD，f(a)，f(b)，f(c)分別為某個三角形的三邊長，則稱f(x)為“三角形函數(shù)”給出下列四個函數(shù)：f(x)ln x(x>1); f(x)4sin x；f(x)x(1x8); f(x).其中“三角形函數(shù)”的個數(shù)是(B)A1 B2C3 D4 因為f(a)，f(b)，f(c)分別為某個三角形的三邊長，所以應(yīng)滿足三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，因此不妨依次驗證四個函數(shù)是否滿足f(a)f(b)>f(c)f(x)ln x(x>1)，若f(a)f(b)ln ab>ln c，則可得ab>c，而ab>c不一定成立，如a2，b3，c8，因此，f(x)ln x(x>1)不是“三角形函數(shù)”；f(x)4sin x，若f(a)f(b)8sin asin b>4sin c，則可得4sin asin b>sin c，不等式恒成立，因此，f(x)4sin x是“三角形函數(shù)”；f(x)x(1x8)，假設(shè)f(a)f(b)ab>c，當(dāng)a1，b1，c8時不成立，所以f(x)x不是“三角形函數(shù)”；f(x)1，若f(a)f(b)2>1，則1>，因為<1，所以不等式一定成立，因此，f(x)是“三角形函數(shù)”綜上，是“三角形函數(shù)”10等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a11，S393.(1)求數(shù)列an的通項an與前n項和Sn；(2)設(shè)bn(nN*)，求證：數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列 (1)由已知得所以d2，故an2n1，Snn(n)(2)證明：由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數(shù)列，則bbpbr.即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.因為p，q，rN*，所以所以()2pr，所以(pr)20，所以pr.這與pr矛盾所以數(shù)列bn中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列4