第12講空間直線、平面的位置關(guān)系 考情分析在選擇、填空題中，空間線面位置關(guān)系的考查，主要以線線、線面位置關(guān)系的判斷、異面直線所成的角、點(diǎn)到平面距離的計(jì)算為主，難度中等偏下，近年，對(duì)點(diǎn)到平面距離的計(jì)算的考查有所增多，難度有所提升熱點(diǎn)題型分析熱點(diǎn)1空間線面位置關(guān)系的判斷1.空間中直線、平面之間的位置關(guān)系空間線面位置關(guān)系2.線面平行的判定及其性質(zhì)定理線面平行判定定理：a，b，aba；線面平行性質(zhì)定理：a，a，bab；面面平行判定定理：a，b，a，b，abP；面面平行性質(zhì)及線面平行定義：a，a；面面平行性質(zhì)定理：，a，bab.3.線面垂直的判定及其性質(zhì)定理線面垂直判定定理：a，b，abP，la，lbl；線面垂直性質(zhì)：a，lla；面面垂直判定定理：a，a；面面垂直性質(zhì)定理：，l，a，ala；線面垂直性質(zhì)定理：a，bab.1.已知直線m，l，平面，且m，l，給出下列命題：若，則ml；若，則ml；若ml，則；若ml，則.其中正確的命題是()A. B C D答案A解析對(duì)于，若，m，則m，又l，所以ml，故正確，排除B；對(duì)于，若ml，m，則l，又l，所以.故正確故選A.2.(2019·華南師大附中高三一模)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段CD1上的動(dòng)點(diǎn)，且E，F(xiàn)不重合，則直線AB1與直線EF的位置關(guān)系是()A.相交且垂直 B共面C.平行 D異面且垂直答案D解析根據(jù)題意作圖，如圖，連接A1B交AB1于M，易證AB1平面A1BCD1.在E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，EF平面A1BCD1，因此AB1EF.而EF恒不過(guò)點(diǎn)M，因此AB1與EF是異面垂直的，故選D.3.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有()AAG平面EFH BAH平面EFHC.HF平面AEF DHG平面AEF答案B解析根據(jù)折疊前、后AHHE，AHHF不變，得AH平面EFH，B正確；過(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直，A不正確；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAGAEF，過(guò)H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，C不正確；由條件證不出HG平面AEF，D不正確故選B.命題真假性的判斷，是立體幾何位置關(guān)系題型的經(jīng)典形式這種考查方式直接檢驗(yàn)對(duì)定理的掌握程度，常出現(xiàn)的錯(cuò)誤是按照給出的條件結(jié)論作圖分析，不能全面考慮空間中的各種線面位置關(guān)系要解答好這類(lèi)題目，可以從下面三點(diǎn)考慮：(1)必須牢固掌握定理的內(nèi)容，條件的個(gè)數(shù)，結(jié)論是什么(2)要學(xué)會(huì)在文字、符號(hào)、圖形三種語(yǔ)言之間熟練轉(zhuǎn)換將題目中所給出的已知條件，轉(zhuǎn)化為圖形進(jìn)行分析；同時(shí)，借助空間幾何模型(如從長(zhǎng)方體，四面體等)，觀察線面位置關(guān)系，再結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行判斷如第2題利用正方體中線面進(jìn)行分析，有利于從多角度考查符合條件的前提下，可以有何種結(jié)論(3)當(dāng)從正面入手較難時(shí)，也可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷.熱點(diǎn)2線線、線面角和距離的計(jì)算1異面直線成角：如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a，b所成的角(夾角)如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，記作ab，其范圍是：.2.線面成角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角規(guī)定：直線垂直于平面，它們所成的角是直角；直線與平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是零度角因此，線與面所成角的范圍是：.注意：線面成角是斜線與平面內(nèi)直線所成的所有角中的最小角3.點(diǎn)面距：空間中點(diǎn)到面的垂線段長(zhǎng)常利用三棱錐體積轉(zhuǎn)換的方法，進(jìn)行點(diǎn)到面距離的計(jì)算1.(2019·永州模擬)三棱錐ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，M，N分別是棱AD，BC的中點(diǎn)，則異面直線BM與AN所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案D解析如圖，連接DN，取DN的中點(diǎn)O，連接MO，BO，M是AD的中點(diǎn)，MOAN，BMO(或其補(bǔ)角)是異面直線BM與AN所成的角設(shè)三棱錐ABCD的所有棱長(zhǎng)為2，則ANBMDN，則MOANNODN，則BO.在BMO中，由余弦定理得cosBMO，異面直線BM與AN所成角的余弦值為.2.(2019·湖北八校一聯(lián))已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱長(zhǎng)均為2，A1AD60°，BAD90°，平面A1ADD1平面ABCD，則直線BD1與平面ABCD所成的角的正切值為()A. B. C. D.答案C解析如圖，斜四棱柱ABCDA1B1C1D1，延長(zhǎng)AD，過(guò)D1作D1EAD的延長(zhǎng)線于E，連接BE，BD，BD1，因?yàn)槠矫鍭1ADD1平面ABCD，平面A1ADD1平面ABCDAD，所以D1E平面ABCD，即BE為BD1在平面ABCD內(nèi)的射影，所以D1BE為直線BD1與平面ABCD所成的角，因?yàn)镈1E2sin60°，BE，所以tanD1BE.故選C.3.(2019·牡丹江模擬)已知三棱錐PABC的外接球O，PC為球O的直徑，且PC2，PAPB，AB1，那么頂點(diǎn)P到平面ABC的距離為_(kāi)答案解析如圖，PC是球O的直徑，PAC和PBC都是直角，由PC2，PAPB，可得ACBCAB1.點(diǎn)O為PC的中點(diǎn)，BOAO1，故三棱錐OABC為正三棱錐，則點(diǎn)O到平面ABC的距離d.頂點(diǎn)P到平面ABC的距離為2d.選擇、填空題中，考查角度問(wèn)題，常常涉及各類(lèi)角的基本定義和性質(zhì)，而錯(cuò)誤常出現(xiàn)在不能準(zhǔn)確找出線線、線面所成的角因此，準(zhǔn)確找出線線、線面角，并牢記它們的范圍是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵對(duì)于距離問(wèn)題，三棱錐體積轉(zhuǎn)化是一個(gè)重要方法做題時(shí)還可以根據(jù)已知條件，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.真題自檢感悟1.(2017·全國(guó)卷)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QDAB.QD平面MNQQ，QD與平面MNQ相交，直線AB與平面MNQ相交B項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D項(xiàng)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故選A.2.(2018·全國(guó)卷)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長(zhǎng)方體的體積為()A.8 B6 C8 D8答案C解析在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，連接BC1，根據(jù)線面角的定義可知AC1B30°，因?yàn)锳B2，tan30°，所以BC12，從而求得CC12，所以該長(zhǎng)方體的體積為V2×2×28.故選C.3.(2018·全國(guó)卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A. B. C. D.答案C解析在正方體ABCDA1B1C1D1中，CDAB，所以異面直線AE與CD所成的角為EAB，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，則由E為棱CC1的中點(diǎn)，可得CEa，所以BEa，則tanEAB.故選C.4.(2019·全國(guó)卷)設(shè)，為兩個(gè)平面，則的充要條件是()A.內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行B.內(nèi)有兩條相交直線與平行C.，平行于同一條直線D.，垂直于同一平面答案B解析若，則內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與平行，反之則不成立；若，平行于同一條直線，則與可以平行也可以相交；若，垂直于同一個(gè)平面，則與可以平行也可以相交，故A，C，D中條件均不是的充要條件根據(jù)平面與平面平行的判定定理知，若一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則兩平面平行，反之也成立因此B中條件是的充要條件故選B.5(2019·全國(guó)卷)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則()A.BMEN，且直線BM，EN是相交直線B.BMEN，且直線BM，EN是相交直線C.BMEN，且直線BM，EN是異面直線D.BMEN，且直線BM，EN是異面直線答案B解析如圖，取CD的中點(diǎn)F，DF的中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)N，MG，GB.ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨設(shè)AB2，則FN1，EF，EN2.EMMD，DGGF，MGEF且MGEF，MG平面ABCD，MGBG.MGEF，BG ，BM.BMEN.連接BD，BE，點(diǎn)N是正方形ABCD的中心，點(diǎn)N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中線，BM，EN必相交故選B.6.(2019·北京高考)已知l，m是平面外的兩條不同直線給出下列三個(gè)論斷：lm；m；l.以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：_.答案若m且l，則lm成立(或若lm，l，則m)解析已知l，m是平面外的兩條不同直線，由lm與m，不能推出l，因?yàn)閘可以與平行，也可以相交不垂直；由lm與l能推出m；由m與l可以推出lm.故正確的命題是或.7.(2019·全國(guó)卷)已知ACB90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC2，點(diǎn)P到ACB兩邊AC，BC的距離均為，那么P到平面ABC的距離為_(kāi)答案解析如圖，過(guò)點(diǎn)P作PO平面ABC于O，則PO為P到平面ABC的距離再過(guò)O作OEAC于E，OFBC于F，連接PC，PE，PF，則PEAC，PFBC.又PEPF，所以O(shè)EOF，所以CO為ACB的平分線，即ACO45°.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以O(shè)E1，所以PO .專(zhuān)題作業(yè)一、選擇題1.設(shè)l表示直線，表示平面給出四個(gè)結(jié)論：如果l，則內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與l平行；如果l，則內(nèi)任意的直線與l平行；如果，則內(nèi)任意的直線與平行；如果，對(duì)于內(nèi)的一條確定的直線a，在內(nèi)僅有唯一的直線與a平行以上四個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.0 B1 C2 D3答案C解析若l，則平面內(nèi)的直線與l平行或異面，故正確，錯(cuò)誤；再由面面平行的性質(zhì)知正確；對(duì)于，在內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線與a平行，錯(cuò)誤故選C.2.(2019·荊州模擬)對(duì)于空間中的兩條直線m，n和一個(gè)平面，下列命題中的真命題是()A.若m，n，則mn B.若m，n，則mnC.若m，n，則mn D.若m，n，則mn答案D解析對(duì)A，直線m，n可能平行、異面或相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，直線m與n可能平行，也可能異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，m與n垂直而非平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，垂直于同一平面的兩直線平行，故D正確.3(2019·青島模擬)如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A. B.C. D.答案D解析如圖，連接BC1，易證BC1AD1，則A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角連接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為.故選D.4.(2019·宿遷模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，則點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為()A.1 B. C2 D2答案B解析如圖，連接AC，DB交于點(diǎn)O，在正方體ABCDA1B1C1D1中，DBAC，BB1AC，BB1DBB，AC平面BDD1B1.點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為CO，又AB2，COAC.故選B.5.在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，點(diǎn)D在棱BB1上，若BD3，則AD與平面AA1C1C所成角的正切值為()A. B. C. D.答案D解析如右圖，取A1C1和AC的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，取EF上一點(diǎn)P使得PFBD3，連接DP，BF，AP.因?yàn)锳BCA1B1C1為正三棱柱，所以AA1面ABC，ABC是等邊三角形所以AA1BF，BFAC，因此BF面AA1C1C.知EFAA1又EFAA1，所以BDPF，又BDPF，所以四邊形BDPF是平行四邊形，故DPBF.所以DP面AA1C1C，即AP是AD在面AA1C1C內(nèi)的射影，所以DAP是AD與面AA1C1C所成角又因?yàn)锳B4，所以DPBF2，AD5，則AP，所以tanDAP.故選D.6.(2017·全國(guó)卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則()A.A1EDC1 BA1EBDC.A1EBC1 DA1EAC答案C解析如圖，連接AE，A1E，D1E，B1C，BC1，A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，B，D錯(cuò)誤；A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯(cuò)誤故選C.7.在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則()A.MNC1D1 BMNBC1C.MN平面ACD1 DMN平面ACC1答案D解析對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)镸，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，所以點(diǎn)N平面CDD1C1，點(diǎn)M平面CDD1C1，所以直線MN是平面CDD1C1的斜線，又因?yàn)橹本€C1D1在平面CDD1C1內(nèi)，故直線MN與直線C1D1不可能平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，正方體中易知NBNC1，因?yàn)辄c(diǎn)M是BC1的中點(diǎn)，所以直線MN 與直線BC1不垂直，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，假設(shè)MN平面ACD1，可得MNCD1.因?yàn)镹是CD1的中點(diǎn)，所以MCMD1，這與MCMD1矛盾故假設(shè)不成立所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，分別取B1C1，C1D1的中點(diǎn)P，Q，連接PM，QN，PQ.因?yàn)辄c(diǎn)M是BC1的中點(diǎn)，所以PMCC1且PMCC1.同理QNCC1且QNCC1.所以PMQN且PMQN，所以四邊形PQNM為平行四邊形，所以PQMN.在正方體中，CC1PQ，PQAC，因?yàn)锳CCC1C，AC平面ACC1，CC1平面ACC1，所以PQ平面ACC1.因?yàn)镻QMN，所以MN平面ACC1.故選D.8.(2017·全國(guó)卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120°，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案C解析將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD.由題意知ABC120°，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60°.在ABD中，由余弦定理知BD222122×2×1×cos60°3，所以BD，所以B1D1.又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，所以cos.故選C.9.(2019·永州模擬)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，則點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離是()A. B. C. D.答案A解析在AB1D1中，AB1AD1，B1D1，AB1D1的邊B1D1上的高為.SAB1D1××.設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離為h，則VA1AB1D1··h.又VA1AB1D1VAA1B1D1SA1B1D1·AA1××1×1×2，.解得h.故選A.10如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)在棱A1B1上點(diǎn)Q是棱CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在棱AD上，若EF1，DPx，AEy(x，y大于零)，則三棱錐PEFQ的體積()A.與x，y都有關(guān) B與x，y都無(wú)關(guān)C.與x有關(guān)，與y無(wú)關(guān) D與y有關(guān)，與x無(wú)關(guān)答案C解析三棱錐PEFQ的體積與點(diǎn)P到平面EFQ的距離和EFQ的面積有關(guān)，因?yàn)槠矫鍱FQ與平面CDA1B1是同一個(gè)平面，所以點(diǎn)P到平面EFQ的距離是P到平面CDA1B1的距離，且該距離就是P到線段DA1的距離，此距離只與x有關(guān)因?yàn)镋F1，點(diǎn)Q到EF的距離為線段B1C的長(zhǎng)度，為定值綜上可知，三棱錐PEFQ的體積只與x有關(guān).11. (2019·石家莊一模)如圖，四棱錐PABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與P，B重合)，過(guò)點(diǎn)M作平面平面PAD，截棱錐所得圖形的面積為y，若平面與平面PAD之間的距離為x，則函數(shù)yf(x)的圖象是()答案C解析過(guò)點(diǎn)M作MNAB，交AB于點(diǎn)N，則MN平面ABCD，過(guò)點(diǎn)N作NQAD，交CD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QHPD，交PC于點(diǎn)H，連接MH，則平面MNQH是所作的平面，由題意得，解得MN42x，由.即，解得QH(2x)，過(guò)點(diǎn)H作HENQ，在RtHEQ中，EQ2x，NE2(2x)x，MHx.yf(x)x24(0<x<2)函數(shù)yf(x)的圖象如圖故選C.二、填空題12如圖所示，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓上一點(diǎn)，且ABC30°，PAAB，則直線PC與平面ABC所成角的正切值為_(kāi)答案2解析因?yàn)镻A平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影，所以PCA即為PC與平面ABC所成的角在RtPAC中，ACABPA，所以tanPCA2.13如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知BCA90°，BAC60°，AC4，E為AA1的中點(diǎn)，點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CA1上，且A1H3HC，則線段FH的長(zhǎng)為_(kāi)答案解析由題意，知AB8，過(guò)點(diǎn)F作FDAB交AA1于點(diǎn)D，連接DH，則D為AE中點(diǎn)，F(xiàn)DAB4，又3，所以DHAC，F(xiàn)DH60°，DHAC3，由余弦定理，得FH.14.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，ACBC1，ACB90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E，要使AB1平面C1DF，則線段B1F的長(zhǎng)為_(kāi)答案解析設(shè)B1Fx，因?yàn)锳B1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF，由已知可得A1B1，設(shè)RtAA1B1斜邊AB1上的高為h，則DEh.又×2××h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E.由面積相等，得×××x，解得x.即線段B1F的長(zhǎng)為.15如圖，圓柱O1O2的底面圓半徑為1，AB是一條母線，BD是O1的直徑，C是上底面圓周上一點(diǎn)，CBD30°，若A，C兩點(diǎn)間的距離為，則圓柱O1O2的高為_(kāi)，異面直線AC與BD所成角的余弦值為_(kāi)答案2解析連接CD，則BCD90°，因?yàn)閳A柱O1O2的底面圓半徑為1，所以BD2.因?yàn)镃BD30°，所以CD1，BC，易知ABBC，所以AC，所以AB2，故圓柱O1O2的高為2.連接AO2并延長(zhǎng)，設(shè)AO2的延長(zhǎng)線與下底面圓周交于點(diǎn)E，連接CE，則AE2，CAE即為異面直線AC與BD所成的角又CE，所以cosCAE.16.(2019·惠州模擬)已知三棱錐SABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，AB2，SASBSC2，則三棱錐SABC的外接球的球心到平面ABC的距離是_答案解析三棱錐SABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形，SASBSC2，S在底面ABC內(nèi)的射影為AB的中點(diǎn)，設(shè)AB的中點(diǎn)為H，連接SH，CH，SH平面ABC，SH上任意一點(diǎn)到A，B，C的距離相等，易知SH，CH1，在RtSHC中，HSC30°.在平面SHC內(nèi)作SC的垂直平分線MO，交SH于點(diǎn)O，交SC于點(diǎn)M，則O為三棱錐SABC的外接球的球心SC2，SM1，又OSM30°，SO，OH，球心O到平面ABC的距離為.- 19 -