第2講 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系專題復(fù)習(xí)檢測(cè)A卷1(2019年?yáng)|北三校聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)，F(xiàn)(，0)為其右焦點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2，則橢圓C的方程為()A1B1C1Dy21【答案】B【解析】由題意得解得橢圓C的方程為1.2(2019年福建福州模擬)拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，直線xy0與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若P(1,1)為線段AB的中點(diǎn)，則拋物線C的方程為()Ay2x2By22xCx22yDy22x【答案】B【解析】由題意可知A，B兩點(diǎn)中必有一點(diǎn)是原點(diǎn)，不妨設(shè)A(0,0)由P(1,1)是線段AB的中點(diǎn)，可得B(2,2)設(shè)拋物線方程為y2ax，將B(2,2)代入，可得222a，解得a2，即拋物線方程為y22x.3若一個(gè)圓的圓心是拋物線x24y的焦點(diǎn)，且該圓與直線yx3相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A(x1)2y21Bx2(y1)21C(x1)2y22 Dx2(y1)22【答案】D【解析】拋物線x24y的焦點(diǎn)為(0,1)，即圓心為(0,1)，設(shè)該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2(y1)2r2(r>0)該圓與直線yx3相切，r.該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2(y1)22.4(2019年上海嘉定區(qū)期末)過(guò)點(diǎn)P(1,1)作直線與雙曲線x21交于A，B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，則這樣的直線()A存在一條，方程為2xy10B存在兩條，方程為2x±(y1)0C存在無(wú)數(shù)條D不存在【答案】D【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22，y1y22，xy1，xy1.兩式相減，得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0，所以x1x2(y1y2)，即kAB2.故所求直線方程為y12(x1)，即y2x1.聯(lián)立化簡(jiǎn)得2x24x30，無(wú)解，故這樣的直線不存在故選D5過(guò)橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)F作斜率為1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)若向量與向量a(3，1)共線，則該橢圓的離心率為()ABCD【答案】B【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(xiàn)(c,0)直線l的方程為yxc，聯(lián)立化簡(jiǎn)得(a2b2)x22ca2xa2c2a2b20，x1x2，y1y2x1x22c.向量.向量與向量a(3，1)共線，3×0，a23b2，e.故選B6(2019年江西南昌模擬)已知P(1,1)為橢圓1內(nèi)一定點(diǎn)，經(jīng)過(guò)P引一條弦交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且此弦被P點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程為_(kāi)【答案】x2y30【解析】易知此弦所在直線的斜率存在，所以設(shè)其方程為y1k(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y，得(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0.x1x2.又x1x22，2，解得k.故此弦所在的直線方程為y1(x1)，即x2y30.7雙曲線C：y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l過(guò)F2，且交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B上方)，若230，則直線l的斜率k_.【答案】【解析】由題意知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB：yk(x2)，代入雙曲線方程，整理得(13k2)x212k2x12k230，x1x2，x1x2.230，x12x260.由可得k或k(舍去)8設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PAl，A為垂足如果直線AF的斜率為，那么|PF|_.【答案】8【解析】由題意，直線l的方程為x2，焦點(diǎn)F為(2,0)，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，c)，則，解得c4.又PAl，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4.由(4)28x，得x6.|PF|x8.9已知M(3，y0)(y0>0)為拋物線C：y22px(p>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，且|MF|5.(1)求拋物線C的方程；(2)MF的延長(zhǎng)線交拋物線于另一點(diǎn)N，求N的坐標(biāo)【解析】(1)|MF|35，p4.拋物線方程為y28x.(2)由題意知MF不垂直于x軸，故設(shè)MF所在直線方程為yk(x2)，聯(lián)立整理得k2x2(4k28)x4k20.xM·xN4.xM3，xN.N為MF的延長(zhǎng)線與拋物線的交點(diǎn)，可知yN<0.yN，N.10(2019年貴州貴陽(yáng)適應(yīng)性考試)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓1(ab0)的離心率為，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，AB4.(1)求橢圓的方程；(2)若|AB|CD|，求直線AB的方程【解析】(1)由題意知e，2a4.又a2b2c2，解得a2，b.橢圓方程為1.(2)當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時(shí)，另一條弦所在直線的斜率不存在，由題意知|AB|CD|7，不滿足條件當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則直線CD的方程為y(x1)將直線AB方程代入橢圓方程中，整理得(34k2)x28k2x4k2120.x1x2，x1·x2.|AB|x1x2|·.同理，|CD|.|AB|CD|，解得k±1.直線AB的方程為xy10或xy10.B卷11(2017年新課標(biāo))過(guò)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)F，且斜率為的直線交C于點(diǎn)M(M在x軸上方)，l為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在l上，且MNl，則M到直線NF的距離為()AB2C2D3【答案】C【解析】由題知F(1,0)，則MF所在直線的方程為y(x1)，與拋物線聯(lián)立，化簡(jiǎn)，得3x210x30，解得x1，x23，M(3,2)由MNl可得N(1,2)，又F(1,0)，則NF所在直線的方程為xy0，M到直線NF的距離d2.故選C12(2019年山西太原五中模擬)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,5)的橢圓，截直線y3x2所得弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則該橢圓方程為()A1B1C1D1【答案】C【解析】由已知c5，設(shè)橢圓的方程為1，聯(lián)立消去y，得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0.設(shè)直線y3x2與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2.由題意知x1x21，即1，解得a275，所以該橢圓方程為1.13(2019年新課標(biāo))已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)若，·0，則C的離心率為_(kāi)【答案】2【解析】如圖，由，可得點(diǎn)A為BF1的中點(diǎn)又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)ABF2.由·0，可得BF1BF2，所以O(shè)ABF1.因?yàn)闈u近線OA，OB的方程分別為yx，yx，所以直線BF1的斜率為.方法一：直線BF1的方程為y(xc)聯(lián)立解得即A.聯(lián)立解得即B.又由點(diǎn)A為BF1的中點(diǎn)，可得2·，化簡(jiǎn)得b23a2，所以c2a2b24a2，e2.方法二：由直角三角形的性質(zhì)可得BOF22BF1F2，所以tan BOF2tan 2BF1F2，即，化簡(jiǎn)得b23a2，以下同方法一14(2019年北京)已知拋物線C：x22py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點(diǎn)M，N，直線y1分別交直線OM，ON于點(diǎn)A和點(diǎn)B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)【解析】(1)拋物線C：x22py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)，可得42p，即p2，所以拋物線C的方程為x24y，準(zhǔn)線方程為y1.(2)證明：拋物線C：x24y的焦點(diǎn)為F(0，1)設(shè)直線l方程為ykx1(k0)由可得x24kx40.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得x1x24k，x1x24.直線OM的方程為yx.令y1，得x，即A.同理可得B.設(shè)y軸上的點(diǎn)D(0，n)，則，則·(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令·0，即4(n1)20，則n1或3.綜上所述，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)y軸上的兩個(gè)定點(diǎn)(0,1)和(0，3)- 7 -