第2講 不等式選講（選修4-5）A級基礎(chǔ)通關(guān)1已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|.(1)設(shè)a1，求不等式f(x)7的解集；(2)已知a1，且f(x)的最小值等于3，求實(shí)數(shù)a的值解：(1)a1時(shí)，f(x)|x1|2|x1|.當(dāng)x1時(shí)，f(x)7即為3x17，解得2x1.當(dāng)1x1時(shí)，x37，解得1x1.當(dāng)x1時(shí)，3x17，解得1x.綜上，f(x)7的解集為.(2)因?yàn)閍1，所以f(x)作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖所示所以f(x)minf(a)|a1|.因此|a1|3(a1)，所以a2.2(2019·天一聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)2|x1|xm|(m0)(1)當(dāng)m2時(shí)，求不等式f(x)1的解集；(2)g(x)f(x)2，g(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，C，若ABC的面積為12，求m的值解：(1)當(dāng)m2時(shí)，不等式f(x)1化為2|x1|x2|1.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x50，解得5x1.當(dāng)1x2時(shí)，不等式化為3x1，解得1x.當(dāng)x2時(shí)，不等式化為3x0，解集為.綜上，原不等式的解集為.(2)由題設(shè)得g(x)所以函數(shù)g(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A(m4，0)，B(0，m)，C.于是ABC的面積S·|m|m(m3)令Sm(m3)12，得m3或m6(舍去)故實(shí)數(shù)m的值是3.3已知函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)若存在x使不等式af(x)0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若不等式af(x)0對任意正數(shù)a恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍解：(1)f(x)|x1|x2|x1x2|3.題設(shè)條件等價(jià)于af(x)min3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(3，)(2)a0，a4(a2時(shí)取等號)，因?yàn)椴坏仁絘f(x)0對任意正數(shù)a恒成立，所以f(x)4，所以|x1|x2|4x，因此實(shí)數(shù)x的取值范圍為.4已知函數(shù)f(x)|x1|2xm|(mR)(1)若m2時(shí)，解不等式f(x)3；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)|2x3|在x0，1上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)當(dāng)m2時(shí)，不等式為|x1|2x2|3，若x1，則原不等式可化為x12x23，解得x，所以x1；若1x1，則原不等式可化為1x2x23，解得x0，所以1x0；若x1，則原不等式可化為x12x23，不等式無解綜上，不等式的解集為.(2)當(dāng)x0，1時(shí)，由f(x)|2x3|.得1x|2xm|32x，則x22xm2x.因此，x2m23x.由f(x)|2x3|在x0，1上有解知(x2)minm(23x)max，則3m2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為3，25已知定義在R上的函數(shù)f(x)|xm|x|，mN*，若存在實(shí)數(shù)x使得f(x)2成立(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)若，1，f()f()6，求證：.(1)解：因?yàn)閨xm|x|xmx|m|，要使|xm|x|2有解，則|m|2，解得2m2.因?yàn)閙N*，所以m1.(2)證明：因?yàn)椋?，f()f()21216，所以4，所以()，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)“”成立，故.6(2017·全國卷)已知函數(shù)f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1，1，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x2x4，g(x)|x1|x1|當(dāng)x1時(shí)，f(x)g(x)x2x42x，解得1x.當(dāng)1x1時(shí)，f(x)g(x)(x2)·(x1)0，則1x1.當(dāng)x1時(shí)，f(x)g(x)x23x40，解得1x4，又x1，所以不等式此時(shí)的解集為空集綜上所述，f(x)g(x)的解集為.(2)當(dāng)x1，1時(shí)，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1，1等價(jià)于當(dāng)x1，1時(shí)，f(x)2.又f(x)在1，1的最小值必為f(1)與f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范圍為1，1B級能力提升7(2019·全國卷)設(shè)x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，證明：a3或a1.(1)解：因?yàn)?x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)·(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，所以由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時(shí)等號成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值為.(2)證明：因?yàn)?x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，所以由已知得(x2)2(y1)2(za)2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時(shí)等號成立所以(x2)2(y1)2(za)2的最小值為.由題設(shè)知，解得a3或a1.故a3或a1得證8已知函數(shù)f(x)|x1|1x|，g(x)|xa2|xb2|，其中a，b均為正實(shí)數(shù)，且ab2.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)當(dāng)xR時(shí)，求證f(x)g(x)(1)解：f(x)|x1|1x|當(dāng)x1時(shí)，f(x)21，不等式f(x)1無解當(dāng)1x1時(shí)，f(x)2x1，解得x1.當(dāng)x1時(shí)，f(x)21恒成立綜上，不等式f(x)1的解集為.(2)證明：當(dāng)xR時(shí)，f(x)|x1|1x|x11x|2，g(x)|xa2|xb2|xa2(xb2)|a2b2|a2b2.而a2b2(ab)22ab(ab)22×2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號成立，即a2b22，因此f(x)2a2b2g(x)，故不等式f(x)g(x)成立- 5 -