第2講 橢圓、雙曲線、拋物線A級(jí)基礎(chǔ)通關(guān)一、選擇題1已知橢圓1(ab0)的離心率為，則()Aa22b2 B3a24b2Ca2b D3a4b解析：由e，則a2c.又a2b2c2，所以3a24b2.答案：B2(2019·天一聯(lián)考)設(shè)雙曲線C：1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)點(diǎn)F1的直線與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，其中M在左支上，點(diǎn)N在右支上，若F2MNF2NM，則|MN|()A8 B4 C8 D4解析：由F2MNF2NM，知|F2M|F2N|，又|MF2|MF1|4，|NF1|NF2|4.兩式相加，得|NF1|MF1|8，故|MN|NF1|MF1|8.答案：C3已知橢圓C：1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF，BF.若|AB|10，|BF|8，cos ABF，則C的離心率為()A. B. C. D.解析：如圖所示，在AFB中，|AB|10，|BF|8，cos ABF，由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cos ABF100642×10×8×36，所以|AF|6，BFA90°，設(shè)F為橢圓的右焦點(diǎn)，連接BF，AF.根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形AFBF是矩形所以|BF|6，|FF|10，所以2a86，2c10，解得a7，c5，所以e.答案：B4(2019·長(zhǎng)郡中學(xué)模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)F2關(guān)于雙曲線漸近線的對(duì)稱點(diǎn)A滿足F1AOAOF1(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的漸近線方程為()Ay±x By±2xCy±x Dy±x解析：設(shè)F2A與漸近線yx交于點(diǎn)M，且O，M分別為F1F2、F2A的中點(diǎn)，故OMF1A，則F1AF2A，OAOF1c.又F1AOAOF1，所以F1OA為正三角形，所以MOF2，故雙曲線的漸近線為y±x.答案：A5(2019·全國(guó)卷)設(shè)F為雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點(diǎn)若|PQ|OF|，則C的離心率為()A. B. C2 D.解析：設(shè)雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c，0)由圓的對(duì)稱性及條件|PQ|OF|可知，PQ是以O(shè)F為直徑的圓的直徑，且PQOF.設(shè)PQ與OF交于點(diǎn)M，連接OP，如圖所示則|OP|a，|OM|MP|，由|OM|2|MP|2|OP|2，得2·a2，故，離心率e.答案：A二、填空題6(2019·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線x21(b0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是_解析：因?yàn)殡p曲線x21(b0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，4)，則91(b0)，解得b，即雙曲線方程為x21，因此雙曲線的漸近線方程為y±x.答案：y±x7(2019·珠海調(diào)研)已知直線l是拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線，半徑為3的圓過(guò)拋物線頂點(diǎn)O和焦點(diǎn)F，且與直線l相切，則拋物線的方程為_解析：由已知圓心在OF的中垂線上，故圓心到準(zhǔn)線的距離為p，所以p3，所以p4，故拋物線的方程為y28x.答案：y28x8(2019·全國(guó)卷)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限若MF1F2為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為_解析：設(shè)F1為橢圓的左焦點(diǎn)，分析可知點(diǎn)M在以F1為圓心，焦距為半徑的圓上，即在圓(x4)2y264上因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓1上，所以聯(lián)立方程可得解得又因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，)答案：(3，)三、解答題9(2018·全國(guó)卷)設(shè)拋物線C：y24x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為yk(x1)(k>0)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k216>0，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由題設(shè)知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程為yx1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y2(x3)，即yx5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則解得或因此所求圓的方程為(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.10(2018·全國(guó)卷)已知斜率為k的直線l與橢圓C：1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M(1，m)(m>0)(1)證明：k<；(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且0.證明：|，|，|成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則1，1.兩式相減，并由k得·k0.由題設(shè)知1，m，于是k.由題設(shè)得0<m<，故k<.(2)解：由題意得F(1，0)設(shè)P(x3，y3)，則(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及題設(shè)得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m<0.又點(diǎn)P在C上，所以m，從而P(1，)，|，于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|，即|，|，|成等差數(shù)列設(shè)該數(shù)列的公差為d，則2|d|x1x2| .將m代入得k1，所以l的方程為yx，代入C的方程，并整理得7x214x0.故x1x22，x1x2，代入解得|d|.所以該數(shù)列的公差為或.B級(jí)能力提升11(2019·全國(guó)卷)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，則C的方程為()A.y21 B.1C.1 D.1解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)連接F1A，令|F2B|m，則|AF2|2m，|BF1|3m.由橢圓的定義知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，則點(diǎn)A為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)如圖不妨設(shè)A(0，b)，由F2(1，0)，2，得B.由點(diǎn)B在橢圓上，得1，得a23，b2a2c22，橢圓C的方程為1.答案：B12(2019·天津卷)設(shè)橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)M為直線PB與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)N在y軸的負(fù)半軸上，若|ON|OF|(O為原點(diǎn))，且OPMN，求直線PB的斜率解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意2b4，得b2.又e，且a2b2c24c2，解之得a，c1.所以橢圓的方程為1.(2)由題意，設(shè)P(xP，yP)(xP0)，M(xM，0)設(shè)直線PB的斜率為k(k0)，又B(0，2)，則直線PB的方程為ykx2，與橢圓方程聯(lián)立整理得(45k2)x220kx0，可得xP，代入ykx2得yP，進(jìn)而直線OP的斜率為.在ykx2中，令y0，得xM.由題意得N(0，1)，所以直線MN的斜率為.由OPMN，得·1，化簡(jiǎn)得k2，從而k±.所以，直線PB的斜率為或.- 7 -