每日一題規(guī)范練(第四周)題目1 (2019·合肥質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)cos 2xsin.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若，f()，求cos 2.解：(1)因?yàn)閒(x)cos 2xsin 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.所以函數(shù)f(x)的最小正周期T.(2)由f()可得sin.因?yàn)?，所?.又0sin，所以2，所以cos，所以cos 2coscossin××.題目2 若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)a10且2Snaan(nN*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若an0，令bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若Tnm恒成立，mZ，求m的最小值解：(1)當(dāng)n1時，2S1aa1，則a11.當(dāng)n2時，anSnSn1，則(anan1)(anan11)0anan1或anan11，所以an(1)n1或ann.(2)因?yàn)閍n0，所以ann.所以bn2.則Tn233.又mZ，所以mmin3.題目3 艾滋病是一種危害性極大的傳染病，由感染艾滋病病毒(HIV病毒)引起，它把人體免疫系統(tǒng)中最重要的CD4T淋巴細(xì)胞作為主要攻擊目標(biāo)，使人體喪失免疫功能下表是近八年來我國艾滋病病毒感染人數(shù)統(tǒng)計表：年份20112012201320142015201620172018年份代碼x12345678感染者人數(shù)y/萬人34.338.343.353.857.765.471.885(1)請根據(jù)該統(tǒng)計表，畫出這八年我國艾滋病病毒感染人數(shù)的折線圖；(2)請用相關(guān)系數(shù)說明：能用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；(3)建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測2020年我國艾滋病病毒感染人數(shù)參考數(shù)據(jù)：6.48；yi449.6， x iyi2319.5, 46.2，參考公式：相關(guān)系數(shù)r.回歸方程x中，解：畫出的折線圖如圖所示.(2)由統(tǒng)計表，4.5, 56.2所以296.3，×46.2299.376,所以r0.99.說明y與x的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系(3)因?yàn)?.05，56.27.05×4.524.48，所以7.05x24.48.當(dāng)x10時，7.05×1024.4894.98.所以預(yù)測2020年我國艾滋病感染累積人數(shù)為94.98萬人題目4 已知拋物線C：x22py(p0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(x0，3)為拋物線C上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為4，過點(diǎn)A(a，0)作拋物線C的切線AN(斜率不為0)，設(shè)切點(diǎn)為N.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：以FN為直徑的圓過點(diǎn)A.(1)解：由題知，|PF|yP，所以43，解得p2，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24y.(2)證明：設(shè)切線AN的方程為yk(xa)，k0，聯(lián)立消去y可得x24kx4ka0，由題意得16k216ka0，即ak，所以切點(diǎn)N(2a，a2)又F(0，1)，A(a，0)，所以(a，1)，(a，a2)因此·(a，1)·(a，a2)0.所以AFAN，即FAN90°，故以FN為直徑的圓過點(diǎn)A.題目5 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，D為AB的中點(diǎn)，AB2.AC1，CC1，ABC30°.(1)證明：AC1平面B1CD；(2)求直線DC1與平面B1CD所成角的正弦值(1)證明：連接BC1交B1C于點(diǎn)E，連接DE，因?yàn)樗倪呅蜝B1C1C是平行四邊形，所以點(diǎn)E是BC1的中點(diǎn)，又點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，所以DE是ABC1的中位線，所以DEAC1.又DE平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1平面B1CD.(2)解：由AB2，AC1，ABC30°，可得ACBC，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC1為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.則C(0，0，0)，B1(0，)，D，C1(0，0，)，所以，(0，)，設(shè)平面B1CD的法向量為n(x，y，z)，則n·0，n·0，即令z1，得n(，1，1)，所以cosn，所以直線DC1與平面B1CD所成角的正弦值為.題目6 已知曲線f(x)axln x2ax(a0)在點(diǎn)P(1，f(1)處的切線與直線xy10垂直(1)求函數(shù)f(x)的最小值；(2)若1m2，證明：f(x)x2mxln x.(1)解：由f(x)axln x2ax，且定義域?yàn)?0，)，得f(x)a(ln x1)2aaln xa.所以f(1)a.又曲線f(x)在點(diǎn)P(1，f(1)處的切線與直線xy10垂直，所以a×11，則a1.則f(x)xln x2x，f(x)ln x1.令f(x)0xe.則當(dāng)x(0，e)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(e，)時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的最小值為f(e)e.(2)證明：要證f(x)x2mxln x，即證xln x2xx2mxln x.又因?yàn)閤0，所以即證ln xx2m.記F(x)ln xx，則F(x)1，所以當(dāng)x(0，1)時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1時，F(xiàn)(x)有最大值F(1)1.又記G(x)2m，則G(x).所以當(dāng)x(0，e)時，G(x)0，G(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(e，)時，G(x)0，G(x)單調(diào)遞增，所以G(x)的最小值為G(e)2m.因?yàn)?m2，所以2m1，所以G(x)minF(x)max.所以f(x)x2mxln x成立題目7 1.選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(為參數(shù))，在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：(cos sin )4.(1)寫出曲線C1和C2的普通方程；(2)若曲線C1上有一動點(diǎn)M，曲線C2上有一動點(diǎn)N，求使|MN|最小時M點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1)由C1：消去，得普通方程為y21.將xcos ，ysin 代入曲線C2，得直角坐標(biāo)方程xy40.(2)在曲線C1上取點(diǎn)M(2cos ，sin )，結(jié)合圖形可知：|MN|最小值即為點(diǎn)M到直線C2的距離的最小值因?yàn)镸到直線C2的距離d，所以當(dāng)sin()1時，d最小，即|MN|最小此時，2cos sin ，聯(lián)立sin2cos21.得cos ，sin .故所求M的坐標(biāo)為.2選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|2xm|.(1)若不等式f(x)6的解集為x|2x4，求實(shí)數(shù)m的值；(2)在(1)的條件下，若不等式f(x)f 對一切滿足ab2的正實(shí)數(shù)a，b恒成立，求x的取值范圍解：(1)由|2xm|6，得62xm6，所以m62x6m.又不等式f(x)6的解集為x|2x4，所以解之得m2.(2)m2時，f(x)f|2x2|x4|又ab2，a0，b0，所以(ab)59.故f(x)f 9，則3x.所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為.- 8 -